Los poligonales centrados son similares, pero los polígonos se acumulan alrededor de un centro, con sus lados paralelos
Todos los poligonales de esta clase se pueden pues generar mediante sumas de números naturales que representen los contornos de los polígonos. En el caso de los triángulos serían 1+3+6+9+12+…
Efectuando sumas parciales obtendríamos la sucesión 1, 4, 10, 19, 31,.., a la que nombraremos como “números triangulares centrados”.
En el caso de cuadrados se formaría la suma 1+4+8+12+16+…, y las sumas formarían la sucesión 1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los números “cuadrados centrados”.
Con el mismo método resultarían los “pentagonales centrados”, a partir de la suma 1+5+10+15+20…, que serían 1, 6, 16, 31, 51,…
En general, los polígonos de orden n y lado k, al sumarse formarían:
1+n+2n+3n+4n+...+kn=1+n*(1+2+3+4+5+...+k)=1+n*k*(k+1)/2
Si contamos el 1 como primer elemento, la suma del paréntesis tendría un elemento menos, y daría la expresión, si llamamos POLC al poligonal centrado:
POLC(n,k)=1+n*k*(k-1)/2=(n*k2-n*k+2)/2
Es decir:
En ella n representa el tipo de poligonal y k el lado.
Así, POLC(5,4)=(5*16-5*4+2)/2=62/2=31, tal como vimos en el listado de pentagonales.
POLC(3,5)=(3*25-3*5+2)/2=62/2=31, que sería el quinto triangular que obtuvimos más arriba.
Calculadora CALCUPOL
Estos cálculos se pueden evitar con nuestra calculadora de números figurados, “Calcupol”. Se descarga desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados
Con la tecla CEN (de centrado) y la secuencia de teclas 3 CEN 5 = obtendríamos el triangular centrado de lado 5, que ya sabemos vale 31.
Usaremos esta calculadora varias veces en esta serie de entradas.
Relación con los poligonales ordinarios
Si recordamos la fórmula de los números poligonales
k((n-2)*k-(n-4))/2
y la comparamos con la de los centrados
(n*k2-n*k+2)/2
resulta:
(n*k2-n*k+2)/2-(k2*(n-2)-k*(n-4)/2 =
=( n*k2-n*k+2-n*k2+2k2+n*k-4k)/2 =
= (2+2k2-4k)/2=(k-1)2
Así que si conocemos un poligonal ordinario, bastará sumarle el cuadrado del lado después de restarle una unidad. Lo vemos con Calcupol. El número poligonal de orden 7 (heptagonal) de lado 10 tiene un valor de 235 (secuencia de teclas 7 POL 10 =) y si le añadimos (10-1)2, obtenemos 235+81=316, que es el poligonal centrado del mismo orden y lado. Puedes comprobarlo con la secuencia 7 CEN 10 =
Relación con los triangulares ordinarios
La expresión
Se puede escribir así:
Esto nos indica que un poligonal centrado se forma añadiendo a 1 n números triangulares de lado n-1. En el caso, por ejemplo, del pentagonal de lado 4, se podrá descomponer en cinco triángulos de lado 3 y una unidad. La siguiente imagen, adaptación de otra de la Wikipedia, nos muestra claramente los triángulos:
Números triangulares centrados
Comenzamos el estudio particularizado para cada orden, siendo n=3 el caso de menos lados. Ya se comentó más arriba que los triangulares centrados se forman mediante triángulos concéntricos como los de la imagen:
Se considera la unidad como primer triángulo.
Ya se vio que se forman mediante la suma 1+3+6+9+12+...+3k, que da lugar a la expresión 1+3*k(k-1)/2, con lo que los primeros triangulares centrados serán; 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+9,….es decir: 1, 4, 10, 19,…
Completamos la sucesión con más términos:
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,… Están publicados en http://oeis.org/A005448
Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno.
Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 3. Borras la pantalla con CA y escribes 1. Después, cada vez que pulses PROX, aparecerán los siguientes términos: 4, 10, 19, 31,...
Es interesante deducir la expresión del término general, que ya conocemos, mediante nuestro interpolador lineal para números naturales
(lo puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton)
Si la aplicamos a los números 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64 descubrimos que sus diferencias de tercer orden son nulas, y que esto los convierte en valores de un polinomio de segundo grado.
La herramienta de interpolación nos proporciona también los coeficientes en las filas inferiores.
Si conoces la interpolación de Newton entenderás que el polinomio buscado es
1/1+3/1(x-1)+3/2(x-1)(x-2)=1+3x(x-1)/2
Esto comprueba lo indicado más arriba.
Propiedades
(1) A partir del 10, todos los triangulares centrados son suma de tres triangulares consecutivos.
TC(n)=T(n)+T(n-1)+T(n-2)
Es una cuestión de Álgebra:
T(x-2)+T(x-1)+T(x)=(x-2)(x-1)/2+(x-1)x/2+x(x+1)/2=(x2-3x+2+x2-x+x2+x)/2=(3x2-3x+2)/2=1+3x(x-1)/2= TC(x)
Por inducción
Se cumple para TC(4)=10=1+3+6=T(1)+T(2)+T(3)
Si se cumple para x, será TC(x)=T(x-2)+T(x-1)+T(x). Si añadimos 3x, se convertirá en TC(x+1), y bastará demostrar que T(x-2) se convierte en T(x+1)
En efecto:
(x-2)(x-1)/2+3x=(x2-3x+2+6x)/2=(x2+3x+2)/2=T(x+1)
Piénsalo bien, sólo hay que convertir T(x-2) en T(x+1)
(2) Relación con números combinatorios
TC(n+1) = C(n+3, 3)-C(n, 3)
Otra cuestión de Álgebra:
C(n+3, 3)-C(n, 3)=((n+3)(n+2)(n+1)-n(n-1)(n-2))/6
(n3+6n2+11n+6-n3+3n2-2n)/6=(9n2+9n+6)/6=1+3n(n+1)/2=TC(n+1)
Puedes ir restando números combinatorios situados debajo de la línea continua, con un salto de tres lugares, e irán resultando los triangulares centrados:
20-1=19; 35-4=31; 56-10=46; 84-20=64; 120-35=85…
(3) Triangulares centrados primos
Entre los triangulares de este tipo existen algunos que son primos. Sólo es una curiosidad. Los primeros son:
19, 31, 109, 199, 409, … https://oeis.org/A125602
(4) Recurrencia
Todas las sucesiones de números figurados admiten recurrencias, por ser fórmulas polinómicas. Los triangulares centrados también poseen una generación por recurrencia, además de la contenida en la definición, de añadir 3n al término anterior:
Elegimos esta:
TC(n) = 3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3), TC(1)=1, TC(2)=4, TC(3)=10.
Se cumple para el 19=3*10-3*4+1=30-12+1=19
Otro término lo cumplirá por simples cálculos algebraicos.
3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3)=3*(1+3(n-1)(n-2)/2)-3*(1+3(n-2)(n-3)/2)+1+3(n-3)(n-4)/2
Si no te apetece simplificar acude a cualquier CAS. Nosotros hemos usado Wolfram Alpha
Hemos obtenido la expresión
que coincide con 1+3n(n-1)/2, expresión de TC(n)
Existen otras recurrencias, que puedes intentar demostrar:
a(n) = a(n-1) + 3*n-3. - (Vincenzo Librandi)
a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 3. - (Ant King)
En la siguiente entrada estudiaremos los cuadrados, pentagonales y hexagonales centrados.
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