Números pentagonales (1)

Introducción

Dentro del repaso sistemático de los números poligonales que haremos en este curso, les toca el turno hoy a los pentagonales, poligonales de cinco lados. Además de las propiedades generales que comparten todos los tipos de poligonales, estos presentan algunas propiedades interesantes propias, como algún teorema muy conocido. Las recorremos.

Definición e inserción con los poligonales en general

Los números poligonales se forman mediante los contornos de polígonos regulares con lados de 1 a n puntos, con la condición de que compartan un vértice y sus dos lados contiguos. En nuestro caso se trata de pentágonos, pero ya conocerás los números triangulares, cuadrados o hexagonales, que presentan el mismo proceso de formación.

Quienes estudian estos números por primera vez tienen dificultades en entender este esquema, pues lo confunden con pentágonos concéntricos. La figura anterior la hemos construido con Excel, por lo que no presenta la regularidad en su diseño propia de programas de dibujo e imágenes.

Fórmula

Todos los números poligonales se pueden calcular con la siguiente fórmula (ver mi publicación “Números y formas” 

http://www.hojamat.es/publicaciones/numform.pdf):

En ella k es el números de lados y l la longitud de cada lado o índice. En nuestro caso de pentagonales haremos k=5 y al lado le llamaremos n. Quedará:

Con esta fórmula puedes obtener los primeros números pentagonales:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147,…

Los tienes publicados en http://oeis.org/A000326

Con la fórmula y una hoja de cálculo puedes obtener fácilmente una tabla:

Otra forma de deducir la fórmula

Según la propiedad general de los poligonales, los pentagonales serán equivalentes a tres triangulares de una unidad menos más la longitud del lado. En la imagen, los triangulares están dibujados con distintos colores y el lado final en azul.

Luego

 

Puedes contar las unidades de los primeros pentagonales en las siguientes imágenes, creadas con Excel:

N=4

Puedes contar a ojo que son 22 unidades, tal como predice la fórmula.

N=5

Son 35 unidades.

N=6

Los números pentagonales no deben confundirse con los números pentagonales centrados, que puedes estudiar en mi publicación enlazada más arriba.

Fórmula recursiva

Hemos copiado esta fórmula de OEIS:

a(0) = 0, a(1) = 1; for n >= 2, a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 3. - Miklos Kristof, Mar 09 2005

Si sustituimos cada término por la fórmula basta simplificar para obtener a(n). En la siguiente captura de pantalla (calculadora WIRIS) se puede observar la simplificación:

Como simple curiosidad, con esta función usaríamos la recurrencia explicada. No tiene utilidad, pero sirve para buscar rutas alternativas en casos similares:

Public Function penta2(n)

If n = 1 Then

penta2 = 1

ElseIf n = 2 Then

penta2 = 5

Else

penta2 = 2 * penta2(n - 1) - penta2(n - 2) + 3

End If

End Function

 No necesita explicación, ya que asigna el valor 1 al primer pentagonal, el 5 al segundo y al resto la recurrencia. Con ella podemos construir una tabla de valores, que coincida con lo ya explicado:

 

 

Criterio para reconocer pentagonales

En este blog hemos usado con frecuencia las funciones ESCUAD y ESTRIANGULAR para saber si un número es de ese tipo (cuadrado o triangular) o no. No es difícil construir una similar para los pentagonales. Basta seguir estos cálculos algebraicos. Sea P el posible número pentagonal y llamemos n a su orden. Entonces

P=n*(3n-1)/2; 2P=3n²-n; 3n²-n-2P=0

Al resolver esta ecuación de segundo grado vemos que el discriminante es 1+24P, luego debe ser un cuadrado perfecto. Ya tenemos un criterio, pues serán pentagonales los números que cumplan que 1+24P sea un cuadrado. Si esto se cumple, al resolver la ecuación obtendremos su índice.

Esta función devuelve un cero si el número no es pentagonal y si lo es, dará el valor de su índice u orden:

 Public Function ordenpentagonal(n)

Dim a, b

 

b = 0 ‘Iniciamos el orden con un cero, por si no es pentagonal

a = 1 + 24 * n ‘Discriminante

If escuad(a) Then b = (1 + Sqr(a)) / 6 ’ Si el discriminante es cuadrado, resolvemos

If b = Int(b) Then ordenpentagonal = b ‘Si b es entero, ese será el orden

End Function

 En la siguiente tabla puedes ver una lista de números consecutivos de los que solo 12 y 22 son pentagonales:

Con esta función puedes buscar directamente números pentagonales mayores. Por ejemplo, 1001 es el pentagonal 26 y 10045 es el número 82.

Uso de la calculadora “Calcupol”

En todas las entradas referidas a números poligonales nos referiremos a esta calculadora. Será inevitable repetir algunas instrucciones para cada tipo, pero el autor ignora en qué orden se pueden leer estas entradas, por lo que es preferible repetir a no explicar.

Si ya la conoces, puedes saltar estos párrafos.

Esta calculadora es una hoja de cálculo (En Excel o Calc) que puedes descargar desde mi página web:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/calcupol.xlsm

Para usar la calculadora para números pentagonales basta elegir Tipo Poligonal y Orden 5. No es necesario para calcularlos, pero sí para otras prestaciones.

Las operaciones fundamentales que puedes efectuar son:

Cálculo directo: Basta escribir (recuerda que todo va con el ratón) 5 POL y después el índice o longitud del lado (termina siempre con el signo =). Por ejemplo, si tecleas 5  POL  1  2  =   obtendrás el pentagonal número 12, que es el 210:

Identificación: Si ya has concretado Poligonal Orden 5, puedes usar la tecla  ES  para saber si un número es o no pentagonal. Escribe, por ejemplo, 2035 y pulsa esa tecla ES

(puedes borrar pantalla con la tecla  CA  )

Obtendrás una respuesta afirmativa

Y en pantalla aparecerá su índice, 37:

Borra pantalla y escribe 2040 y observarás la respuesta negativa:

Próximo y anterior

Con las teclas   PROX  y  ANT  podemos recorrer todos los número pentagonales. Si tienes en pantalla 2040, al pulsar   ANT  obtendrás de nuevo 2035 y si ahora usas  PROX  se saltará el valor 2040 y pasará al siguiente pentagonal 2147.

En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedads curiosas de estos números.