Números aritméticos (3) - Tipos de promedio

En esta tercera entrada de la serie sobre números aritméticos trataremos de los distintos tipos que puede presentar el promedio entero de los divisores de un números. Es un tema sin mucha trascendencia, pero abundante en curiosidades y pequeñas demostraciones.

Aritméticos con promedio primo

Estos son los más parecidos a nuestros números AROLMAR, ya que en estos últimos ha de ser primo el promedio de los factores primos, mientras que ahora tomaremos todos los divisores.

Deberemos unir a la función esaritmetico la condición de que SIGMA(n)/TAU(n) sea un número primo. Los primeros encontrados son:

También se obtienen con el Buscador y la condición

ES PRIMO(SUMDIV(N)/NUMDIV(N))

Están publicados en https://oeis.org/A048968

Para encontrarlos con PARI puedes usar lo siguiente:

is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),m=1);return(isprime(m))}
for(i=2,10^3,if(is(i),print1(i,", ")))

Comprobación:

 

Caso de p primo

Si el número es un primo p, deberá ser también primo (p+1)/2, que es el cociente entre SIGMA(P) Y TAU(p). Esta situación recuerda a los primos de Sophie Germain, pero en ellos es primo (q-1)/2, siendo q el asociado de p.

Están publicados en https://oeis.org/A005383

Según esta página, vendrán seguidos del doble de un primo, como se deduce fácilmente. Por ejemplo, el número 157 que está en la tabla viene seguido del 158=2*79.

Según Zak Seidov, Feb 16 2017, todos ellos, a partir del 13, han de ser del tipo 12k+1. La razón es sencilla, y, como siempre, distinguimos entre primos del tipo 6k+1 y 6k-1

Si p=6k+1, (p+1)/2=(6k+1+1)/2=3k+1, lo que obliga a que k sea par, quedando el tipo 12k+1

Si p=6k-1 (p+1)/2=(6k-1+1)/2=3k, múltiplo de 3 y no primo.

Caso de p compuesto

Es fácil ver que son los siguientes:

 

También están publicados

(ver https://oeis.org/A048969)

 Subcaso de cuadrados de primos

Observamos que en el listado figuran cuadrados de primos, y todas las bases son primos del tipo 6k+1, como ya se comprobó en el caso general.

En estos, SIGMA(n)=1+p+p², con lo que ha de ser primo (1+p+p²)/3. Además, al igual que p, deberá ser del tipo 6k+1:

(1+6k+1+(6k+1)²)/3=(2+6k+36k²+12k+1)/3=12k²+6k+1.

Es del tipo deseado.

Podemos construir una tabla que compare los valores de p con los de la media de sus divisores, ambos primos del tipo 6k+1:

 

Los promedios primos de la segunda columna están publicados en https://oeis.org/A338299, y los de la primera columna, en https://oeis.org/A240971

En esta página se comenta que, según la hipótesis de Schinzel, ambas sucesiones tienen carácter infinito.

Subcaso de libres de cuadrados

Por analogía con los AROLMAR, nos quedamos con los compuestos libres de cuadrados, pero en este caso sólo hemos encontrado el número 6, aunque se ha buscado hasta 10^6.

Caso en el que el promedio es divisor del número

Otra propiedad que pueden tener los números aritméticos es la de que el promedio de sus divisores sea también un divisor. Los algoritmos que hemos usado hasta ahora se pueden adaptar fácilmente a esta nueva propuesta. La función esaritmetico puede quedar así:

Function esaritmetico(n) As Boolean
Dim t, s, i, c

t = 0
s = 0
For i = 1 To n
If n / i = n \ i Then
t = t + 1
s = s + i
End If
Next i
c = s / t
If c = Int(c) And n / c = n \ c Then esaritmetico = True Else esaritmetico = False
End Function

Ha bastado añadir el trozo de código que está subrayado en el listado, y que equivale a afirmar que el promedio de divisores es también un divisor. Con esta función obtenemos los primeros ejemplos:

En la tabla figuran los valores de N, sus factores primos, el promedio de divisores y el cociente de N entre el mismo, que ha de ser entero.

Este procedimiento se puede adaptar al lenguaje PARI:

is(n)={if(sigma(n)%numdiv(n)==0,m=sigma(n)/numdiv(n),return(0));return(n%m==0)}

for(i=2,10^6,if(is(i),print1(i,", ")))

Nos devolverá un listado ya publicado:

6, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480,… (ver https://oeis.org/A007340)

Estos promedios resultan ser números de Ore, en los que la media armónica de los divisores también es entera. Los estudiaremos más adelante.

Otros casos para el promedio

Hemos estudiado el caso en el que el promedio de divisores es primo, pero puede presentar otra naturaleza, como cuadrado o triangular. Buscaremos algunos:

Promedio cuadrado

Los primeros números en los que el promedio de sus divisores es un cuadrado son;

 

Respecto a su descomposición, observamos que figuran primos, semiprimos, no libres de cuadrados y otros.

El caso de los primos está publicado y existe una expresión para ellos. Los primeros son estos:

7, 17, 31, 71, 97, 127, 199, 241, 337, 449, 577, 647, 881, 967, 1151, 1249, 1567,…

(https://oeis.org/A066436)

Son los primos de la forma 2n²-1, como fácilmente se comprueba:

SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n², luego p=2n²-1.

En efecto, todos los términos, al sumarles una unidad y dividir entre 2 resultará un cuadrado.

Promedio triangular

Como es un caso muy similar al anterior, omitiremos algunos pasos. Los primeros términos de la sucesión son:

1, 5, 6, 11, 14, 15, 19, 27, 29, 38, 41, 54, 56, 65, 68, 71, 78, 89, 91, 92, 94, 96, 109, 115, 118, 119, 128, 131, 132, 138, 140, 145, 154, 165, …

Y los primos contenidos en la sucesión:

5, 11, 19, 29, 41, 71, 89, 109, 131, 181, 239, 271, 379, 419, 461, 599, 701, 811, 929, 991, 1259, 1481, 1559, 1721, 1979,…( https://oeis.org/A002327)

Dejamos com ejercicio comprobar que todos tienen la forma n²-n-1. Por ejemplo: 11=4²-4-1, 599=25²-25-1.

Promedio oblongo

En este caso nos dedicaremos tan solo a los números primos cuyo promedio de divisores tenga la forma n(n-1), que es un número oblongo.

Los primeros en cumplir esta condición son:

3, 11, 23, 59, 83, 179, 263, 311, 419, 479, 683, 839, 1103, 1511, 2111, 2243, 2663, 2963, 3119

También están publicados, pero con otras definiciones, en https://oeis.org/A098828.

En realidad, existen diversas expresiones que los identifican, además de ser primos aritméticos con promedio de divisores oblongo. Estudiamos alguna:

SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p)/2=n(n-1), luego p=2n²-2n-1

Esta condición los identifica de forma algebraica. Por ejemplo, 839= =2*21²-2*21-1.

Si la escribimos como p=2n(n-1)-3, observaremos que el primer sumando es múltiplo de 4, con lo que todos los términos de la sucesión será primos del tipo 4k+3.

La condición que figura en A098828, como la diferencia p=3x²-y², siendo x e y consecutivos, resulta de inmediato:

2n²-2n-1=3n²-(k+1)²

Por ejemplo, 419=3*15²-16²

Otros tipos

Números de Fibonacci

Estos son los primeros números cuyo promedio de divisores pertenece a la sucesión de Fibonacci:

1, 3, 5, 6, 21, 41, 45, 65, 67, 68, 78, 96, 109, 382, 497, 517, 527, 658, 682, 705, 759, 805, 930, 966, 1155, 1557, 1973, 3211, 3653 (https://oeis.org/A272440)

Entre ellos se encuentran términos de esa sucesión: 1, 3, 5, 21.

Cubos

Existen muchos ejemplos de promedios cúbicos:

 

Curiosamente, en los primeros ejemplos no figura el cubo de 5, 125. Ignoramos la razón.

Destaca el número 9261, cubo de 21, cuyo promedio, 1000, es también un cubo..