Un número natural d es un divisor unitario de otro número natural N cuando d y N/d son coprimos. Por ejemplo, 33 es divisor unitario de 66, ya que 33 es coprimo con 66/33=2. Es evidente que N/d también es unitario. Los divisores unitarios aparecen por parejas.
El número de divisores unitarios de N es 2K, siendo K=omega(N),
es decir, el número de factores primos
diferentes que posee N. La razón es que cada divisor unitario ha de presentar
la misma multiplicidad en sus factores primos que N, para garantizar que es
coprimo con N/d. Así, coincidirán con todos los subconjuntos formados con los
factores primos distintos que posea
N.
Damos un ejemplo:
Los divisores unitarios de 84 son 1, 3, 4, 7, 12, 21, 28 y 84, en total 8=23.
La suma de todos los divisores unitarios de un número N es una clase
especial de la familia de las funciones
sigma. Se la suele distinguir con un asterisco: σ* y también recibe el
nombre de usigma.
La fórmula para calcular usigma es:
En ella pi son los factores primos y ki sus
multiplicidades. La razón ya la vimos, y es que hay que tomar todos los
factores primos con su multiplicidad.
Así, σ*(84)=(1+3)(1+22)(1+7)=4*5*8=160=1+3+4+7+12+21+28+84
Aritméticos unitarios
Buscaremos
ahora los aritméticos unitarios, que son aquellos en los que USIGMA(N)/UTAU(N)
es un número entero. Por no repetir lo escrito en las entradas enlazadas, lo
haremos con una técnica sencilla, sin basarnos en teorías previas.
Function u_aritmetico(n) As Boolean
Dim
t, s, i, c
t =
0 'variable para UTAU
s =
0 'variable para USIGMA
For
i = 1 To n
If n
/ i = n \ i Then 'se trata de un divisor
If
mcd(i, n / i) = 1 Then ‘ han de ser coprimos i y n/i
s = s + i
'incrementa USIGMA
t = t + 1
'incrementa UTAU
End If
End If
Next i
c = s / t '
cociente entre USIGMA y UTAU
If c = Int(c) Then u_aritmetico = True
Else u_aritmetico = False
End Function
Por ejemplo, si N = 660 sus divisores unitarios serán 1, 3, 4, 5, 11, 12, 15, 20, 33, 44, 55, 60, 132, 165, 220 y 660. Su suma es 1440, que al dividirla entre 16, que es el número de divisores, nos da un promedio entero de 90.
Los aritméticos unitarios están publicados en OEIS (https://oeis.org/A103826)
A103826 Unitary arithmetic numbers (those for which the
arithmetic mean of the unitary divisors is an integer).
1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14,
15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42,
43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66,
67, 69, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92,
93,…
Para nuestro estudio de estos números distinguiremos dos casos:
(1) N es impar
El promedio de sus divisores unitarios será un entero, luego serán todos aritméticos.
El promedio provendrá de dividir la función usigma(N) entre 2^omega(N). La
primera contendrá k paréntesis pares, según la fórmula explicada anteriormente,
y cada uno estará dividido entre 2, dando cocientes enteros.
El listado de los primeros impares nos descubre varios casos:
Los primos p y potencias de
primos pk sólo tendrán
dos factores unitarios, 1 y pk, ambos impares con suma par luego la
media de ambos será entera y ellos aritméticos unitarios.
Los demás impares también presentarán media entera por el razonamiento de
párrafos anteriores. Por ejemplo, el 15. Sus factores unitarios son 1, 3, 5,
15, usigma(15)=24 2^omega(15)=22=4, luego el cociente valdrá 6,
entero.
Tomemos un impar más complejo, el 315=32*7*5. Sus factores
unitarios serán 1, 5, 7, 9, 35, 45, 63, 315, y usigma(315)=480. En lugar de
suma directa podemos usar la fórmula:
Usigma(315)=(1+5)*(1+7)*(1+32)=6*8*10=480.
Tal como se explicó, todos los paréntesis son pares, luego al dividirlos entre
23, resulta un cociente de 60
(2) N es par
En este caso el promedio de los divisores unitarios puede ser entero o no. Estos son los primeros que son aritméticos unitarios:
En uno de los comentarios de OEIS se afirma que estos números son doble de
números que no pueden ser suma de dos cuadrados. Esto quiere decir que poseerán
factores primos del tipo 4k+3 elevados a exponente impar. Lo comprobamos con
los primeros:
Todos los factores primos son 2 o del tipo 4k+3, estos con exponente impar.
Caso de la media prima
En algunos casos la media de divisores unitarios es un número primo Estos son los números con promedio primo de sus
divisores unitarios:
3, 5, 6, 9, 12, 13, 25, 37, 48, 61, 73, 81, 121, 157, 193, 277, 313, 361,
397, 421, 457, 541, 613, 625, 661, 673, 733, 757, 768, 841, 877, 997, 1093,
1153, 1201, 1213, 1237, 1321, 1381, 1453, 1621, 1657, 1753, 1873, 1933, 1993,
2017, 2137, 2341, 2401, 2473…(La hemos publicado en https://oeis.org/A192577)
Todos son impares salvo 6, 12, 48,…Los estudiamos por separado:
(1) N es impar
En este caso, N ha de ser primo o potencia par de un primo.
La razón es la siguiente: sabemos que la expresión de usigma es
Si ahora dividimos entre 2h, podemos asignar un 2 a cada factor, quedando:
Todos los cocientes serán mayores que 1, porque los numeradores serán números pares iguales o mayores que 4, pues los primos serán distintos de 2, al ser N impar.
Pero así no puede resultarnos un número primo, ya que lo que obtenemos es
una descomposición en varios factores, luego h ha de ser 1, es decir, que N ha
de ser primo o potencia par de un primo distinto de 2, porque si fuera impar,
la media no sería entera (lo razonaremos más adelante)
Los términos primos 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193 (http://oeis.org/A005383) son aquellos en los que (p+1)/2 también es primo.
Las potencias de primos han de ser pares, para que el cociente entre 2 sea
entero. La expresión de la media de los divisores será:
Si p es impar y k también, podemos plantear:
El cociente (1+pk)/(1+p)
será entero si k es impar, según el álgebra elemental, luego (1+pk)
será múltiplo de 1+p. Por otra parte, 1+p es par, luego (1+pk)/2
será múltiplo de (1+p)/2, y por tanto compuesto. Así que k no podrá ser impar.
(Demostración adaptada de https://oeis.org/A192618)
(2) N es par
Los primeros números pares que hemos encontrado en este caso son:
6, 12, 48, 768, 196608,…
¿Porqué hay tan pocos pares que produzcan un promedio de divisores
unitarios que sea primo?
Lo razonamos:
Todo número par de h factores primos
diferentes es de la forma
Por tanto
El número de divisores unitarios sería 2h, y para que la media sea un número entero, la expresión (1) ha de ser divisible entre 2h. Pero si además deseamos que sea primo, la media ha de ser exactamente el primer factor (1+2a), que es el único que es impar y no va a desaparecer en el cociente entre 2h. Por tanto, el resto de factores ha de desaparecer.
Un factor del tipo (1+pk) con p primo para simplificarse en el
cociente ha de ser una potencia de 2, y el valor mínimo que consigue esto es
(1+31) = 4. Por tanto, cada paréntesis de (1) ha de ser una potencia
de 2 de al menos exponente 2. Resumiendo,
Usigma(N) ≥ (1+2a)*4*4*4…*4 = (1+2a)*22(h-1) (2)
Para hallar el promedio de divisores unitarios dividimos entre 2h
y nos resulta:
M = Usigma(N)/ 2h ≥ (1+2a)*2h-2
Y llegamos a un resultado interesante: Para que M sea primo, h debe valer 2
y por tanto M=(1+2a). Y más todavía: para que en (2) sea válida la
igualdad p1 ha de valer 3 y k1 la unidad.
Sólo los números pares de la forma 2a*3 podrán tener una media M
prima. Además, dicha media será un número primo de Fermat.
Lo hemos comprobado con hoja de cálculo:
Si recordamos que los números de Fermat son del tipo
6=2*3, 12=22*3, 48=24*3, 768=28*3,
196608=216*3,…
Se conjetura que sólo existen estos primos de Fermat, por lo que podemos
pensar también que los únicos números pares que son aritméticos unitarios son
6, 12, 48, 768, 196608
En https://oeis.org/A085866 se hace referencia a una propiedad de estos números, y
es que cada uno es igual al anterior multiplicado por el valor de la función
PHI de Euler en él. Vemos esta generación en la tabla siguiente:
Esta recurrencia no nos sirve para encontrar otros aritméticos con media prima de divisores unitarios, ya que en el siguiente, 12884901888 tiene media 4294967297, que no es primo.
Caso en el que la media es divisor
La media de N que estamos estudiando con divisores unitarios puede ser también divisor de N (no necesariamente unitario). Los primeros ejemplos son los siguientes:
La media de estos divisores será 60/4=15, que es
divisor de 45
¿Podrá ser la media un divisor unitario? La respuesta es afirmativa. Estos son los primeros ejemplos:
En ellos comprobamos que la media M es divisor unitario, pues el máximo común divisor con el cociente N/M es 1. Están publicados en https://oeis.org/A353039.
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