Suma de dos igual a otra de tres

El 18 de abril de 2021 publiqué en Twitter (@connumeros) la siguiente identidad:

18421×18422/2+18422×18423/2=15040×15041/2+15041×15042/2+15042×15043/2

Era un caso particular basado en la sucesión  http://oeis.org/A262489, que contiene los índices de las sumas de dos números triangulares que son equivalentes a otras sumas de tres triangulares consecutivos.

Con una simple hoja de cálculo se puede construir la identidad. Basta iniciar un estudio algebraico. Sea n el índice del primer triangular de la suma S. Es fácil ver que se cumplirá que

S=n(n+1)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)²

Es una conocida propiedad de los triangulares, que dos consecutivos suman un cuadrado. Si ahora la igualamos a otra suma de tres triangulares, queda:

X(x+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)=3x²+9x+8=2S

El discriminante de esta ecuación será

D=9²-4*3*(8-2S)

D=81-96+24S

D=24S-15, que deberá ser cuadrado para que la identidad se cumpla.

En el ejemplo de más arriba, S=18422²=339370084, luego D tendrá el valor

D=24*339370084-15=8144882001=90249²

Efectivamente, es un cuadrado, por lo que se puede resolver la ecuación de segundo grado dada, 3x²+9x+8=2*339370084, resultando x=(-9+90249)/6=15040, que es el índice inicial que figura en la identidad inicial de esta entrada.

Este estudio nos da una pista para encontrar los índices de números triangulares que intervienen en estas identidades. Bastará exigir que 24*(n+1)²-15 sea un cuadrado.

Con una simple búsqueda de esa condición en hoja de cálculo encontramos las primeras soluciones:

Coinciden con las primeras contenidas en la sucesión citada. Se ha añadido una columna con los índices iniciales de la suma triple. Esos están incluidos en la sucesión http://oeis.org/A165517

A262489 The index of the first of two consecutive positive triangular numbers (A000217) the sum of which is equal to the sum of three consecutive positive triangular numbers.

7, 18, 78, 187, 781, 1860, 7740, 18421, 76627, 182358, 758538, 1805167, 7508761, 17869320,…

Es fácil organizar esta búsqueda en PARI. Basta usar

ok(n)=issquare(24*(n+1)^2-15)

for(i=1,10^8,if(ok(i),print(i)))

De esa forma obtendremos nuevos términos con más rapidez.

Para proseguir encontrando términos es preferible usar la recurrencia sugerida en esa página:

a(n) = a(n-1)+10*a(n-2)-10*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5) for n>5.

El uso de esta recurrencia se basa en que la ecuación que hemos usado, x²-24y²=15 es de tipo Pell y, en ese caso, las soluciones siguen una recurrencia.

He acudido a mi hoja de cálculo para la prolongación de una recurrencia. (Ver mi entrada anterior o en la dirección http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm)

En primer lugar, escribo en la fila correspondiente los diez primeros términos de la sucesión y pulso sobre el botón “Homogénea”. Se planteará automáticamente un sistema de ecuaciones con esos términos:

Acudimos al botón “Resolver” y obtendremos los cinco coeficientes de la recurrencia:

Efectivamente, es cierto que a(n) = a(n-1)+10*a(n-2)-10*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5). Con ella podemos prolongar la sucesión cuanto deseemos, a partir de los cinco primeros términos.

 

Caso de números oblongos

Con los índices de la sucesión que estudiamos se pueden construir oblongos en lugar de triangulares, usando la expresión N(N+1). Por ejemplo, el número 78 daría lugar al oblongo 78*79, que sumado con su siguiente, 79*80, daría un resultado de 12482, que equivale a la suma de tres oblongos:

12482 =63*64+64*65+65*66

 

Caso de números cuadrados

Un planteamiento similar para cuadrados es:

n²+(n+1)²=k²+(k+1)²+(k+2)²

Manipulamos algebraicamente y queda

 (2n+1)²+1=6(k+1)²+4

Esto quiere decir que ((2n+1)²-3)/6 ha de ser un cuadrado.

Con nuestra función escuad y una búsqueda obtenemos las primeras soluciones:

En efecto, por ejemplo, 13^2+14^2=10^2+11^2+12^2=365

 Con PARI se encuentran más fácilmente. Usamos:

for(i=0,10^8,if(issquare(((2*i+1)^2-3)/6), print(i)))

Así se obtienen:

 

Recurrencia

 Al ser las ecuaciones de tipo Pell, podemos confiar en que los resultados se obtengan con una recurrencia lineal de tercer orden. Acudimos de nuevo a nuestra herramienta de hoja de cálculo:

 

Una curiosa equivalencia

Los coeficientes obtenidos coinciden con los publicados en http://oeis.org/A031138, sucesión que contiene los mismos elementos con distinta definición. En esa sucesión se exige que 1^5+2^5+3^5+4^5+…k^5 sea un cuadrado perfecto. Las dos condiciones son equivalentes. Lo vemos.

 Según la fórmula de Faulhaber (https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber) la suma de esas potencias equivale a un polinomio de sexto grado. La imagen siguiente está tomada de esa dirección de Wikipedia:

 

Resulta que la condición que obtuvimos más arriba, que sea cuadrado ((2n+1)²-3)/6=(4n²+4n-2)/6 es equivalente a la de OEIS.

Si multiplicamos el polinomio de Faulhaber por 144, seguirá siendo cuadrado, resultando 24n⁶+72n⁵+60n⁴-12n². Si también el polinomio obtenido aquí lo multiplicamos por 36, seguirá siendo cuadrado, y nos dará 24n²+24n-12. El cociente entre ambos es un polinomio cuadrado perfecto (n+1)²=n²+2n+1.

En la imagen se incluye una captura de pantalla del cálculo correspondiente con la calculadora Wiris:

 

Por tanto, el carácter de cuadrado perfecto en una definición coincide con la otra, luego la sucesión contenida en http://oeis.org/A031138 coincide con la que estudiamos.

En la imagen podemos observar cómo para el 13 se cumple esta condición: la suma de potencias quintas del 1 hasta 13 es un cuadrado perfecto:

 

 Estas conexiones son las que dan interés y elegancia a los cálculos matemáticos.