En la confección de sucesiones, que es una de las tareas más frecuentes en este blog, aparecen con cierta frecuencia algunas de las que se sabe o sospecha que pueden generarse mediante una fórmula de recurrencia respecto a sus primeros términos. Así ocurre, por ejemplo, con los números poligonales, que ocupan una buena parte de nuestros estudios, o con aquellas cuestiones que se resuelven con la ecuación de Pell o similares (ecuaciones Pell-like).
Las ecuaciones de recurrencia más frecuentes en estos temas
son las lineales, en las que existe una relación de este tipo entre un elemento
y varios de sus anteriores. Las llamaremos homogéneas si no intervienen
términos independientes. Comenzaremos por ellas.
Sistema de ecuaciones
de una recurrencia
Si cada elemento depende de los anteriores, pongamos por
ejemplo, de cuatro, y de forma lineal, se dará la siguiente situación:
a(n)=c1a(n-1)+c2a(n-2)+c3a(n-3)+c4a(n-4)
Si elegimos los ocho primeros términos de la sucesión
podremos plantear (en el caso homogéneo)
a(8)=c1a(7)+c2a(6)+c3a(5)+c4a(4)
a(7)=c1a(6)+c2a(5)+c3a(4)+c4a(3)
a(6)=c1a(5)+c2a(4)+c3a(3)+c4a(2)
a(5)=c1a(4)+c2a(3)+c3a(2)+c4a(1)
Esto constituye un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro
incógnitas c1, c2, c3, c4, que, al
resolverse, nos descubre la ecuación de recurrencia. Con los instrumentos de
cálculo disponibles en la actualidad es una tarea fácil de sobrellevar.
Pongamos un ejemplo. Los números hexagonales se generan con
una ecuación de recurrencia de orden 3. Para encontrarla, ya lo habrás
descubierto, necesitamos el doble de elementos, en este caso 6. Buscamos
cualquier listado de ellos y seleccionamos 1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66. Por
comodidad, llamamos a los coeficientes A, B, C, y queda
66=45A+28B+15C
45=28A+15B+6C
28=15A+6B+C
Resolvemos el sistema y obtenemos A=3, B=-3, C=1, luego los
números hexagonales se generan mediante H(n)=3H(n-1)-3H(n-2)+H(n-3). Puedes
comprobarlo en la entrada correspondiente en este blog (https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/02/numeros-hexagonales-1.html)
Desde hace años ofrezco en mi página web una calculadora
matricial para Excel y Calc (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#matrices)
Esta herramienta es de propósito general, con varias
opciones y posibilidad de programar operaciones. Para no confundir con excesivo
material, la he adaptado al problema que nos ocupa, y he situado esa versión en
la carpeta propia de este blog.
http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm
En el caso de los hexagonales marcamos
como orden 3, y escribimos en la
fila correspondiente los primeros términos 1 , 6 , 15 , 28 , 45 ,
66.
Después pulsamos en el botón “Homogénea” y se construirá el sistema de ecuaciones correspondiente:
Finalmente, pulsamos el botón “Resolver” y obtendremos los coeficientes:
Como es una adaptación de otra herramienta, se aconseja no tocar nada más de la hoja.
Si todo se viene abajo, volveremos a iniciar Excel.
Caso no homogéneo
Hay recurrencias lineales que poseen un término independiente.
Estos mismos números hexagonales del ejemplo admiten otra recursión de tercer
orden con término independiente 4.
a(3)=K+c1a(1)+c2a(2)
a(4)=K+c1a(2)+c2a(3)
a(5)=K+c1a(3)+c2a(4)
Resolvemos y nos resultan los coeficientes como en el caso
homogéneo.
En nuestra hoja de cálculo basta pulsar sobre el botón “No
homogéneo” y después sobre “Resolver”. En el caso de los hexagonales:
No se debe olvidar rellenar el Orden, en este caso, 3. La solución, después de resolver, queda:
La interpretamos como a(n)=2a(n-1)-a(n-2)+4. En efecto:
15=2*6-1+4
28=2*15-6+4
45=2*28-15+4
Otros ejemplos
La recurrencia homogénea que hemos descubierto para los
números hexagonales es una propiedad general de todos los poligonales, en los
que P(n)=3P(n-1)-P(n-2)+P(n-3). Lo vemos en los octogonales: 1, 8, 21, 40, 65,
96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936,…
Aquí se inserta la captura de pantalla en la que comprobamos
que los coeficientes:
Puedes probar con otros tipos de poligonales, como estos cuadrados centrados, 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145,…y te resultarán los mismos coeficientes 3, -3 y 1.
Triangulares cuadrados
Los triangulares que también son cuadrados ( los hemos
estudiado en https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html)
también admiten una recurrencia homogénea de tercer orden. Tomamos su listado y
lo volcamos en nuestra hoja de cálculo: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900,
1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041,…y
resulta:
Efectivamente, TC(n)=35TC(n-1)-35TC(n-2)+TC(n-3), tal como hemos comprobado con los siguientes términos.
Así podríamos recorrer más ejemplos. Como esto es una
presentación de una herramienta, con lo explicado basta.
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