Recorriendo un poco al azar la página de OEIS (http://oeis.org/) descubrí que existen varias sucesiones en las que sus elementos se pueden descomponer como suma de K enteros positivos consecutivos, pero no en sumas de ese tipo con menor número de sumandos. Hay muchas variantes. Estas son algunas:
http://oeis.org/A270298:
En ella figuran los que se descomponen en ocho sumandos, pero no en menos, como
es 172=18+19+20+21+22+23+24+25, que es suma de ocho elementos, y veremos más
adelante que no es posible una suma con menos sumandos consecutivos.
http://oeis.org/A270296:
Contiene los que se descomponen en cinco sumandos pero no en menos, como
20=2+3+4+5+6.
Otra sucesión es http://oeis.org/A270299,
para once sumandos, y se pueden encontrar otras para casos diversos.
Aquí abordaremos el tema en general, dando pautas y
búsquedas para cualquier valor de K. Comenzaremos estudiando qué números
admiten una suma con K sumandos enteros positivos consecutivos y, en otro paso,
nos quedaremos con aquellos para los que esa suma tenga el mínimo número de
sumandos.
Números que
son suma de K sumandos
Si K es impar, el problema es más simple, porque en
cualquier suma de ese tipo, como 44+45+46+47+48, con K=5, existe un número
central, aquí el 46, y pares de sumandos simétricos cuya suma es el doble del
mismo, como 45+47=44+48=2*46, Por tanto, la suma es 5 veces mayor que 46, y ha
de ser, por tanto, múltiplo de 5. A la inversa, cualquier múltiplo de 5 se
puede organizar como una serie de sumandos alrededor de un central.
Por ejemplo, 42 es múltiplo de 7, y el término central sería
6, con lo que podemos escribir la suma
3+4+5+6+7+8+9=42.
Si K es par, es algo un poco más complicado. Por ejemplo,
con cuatro sumandos la suma se podría escribir como n+n+1+n+2+n+3=4n+6. Esto
significa que la suma ha de ser par, pero no múltiplo de 4. Quiere decir que se
podrán expresar como suma de cuatro consecutivos los múltiplos de 2 que no lo
sean de 4.
14 es un ejemplo de suma de cuatro. Al dividirlo entre 4
resulta 3,5 como “falso término central”, y usamos los enteros más próximos:
2+3+4+5. Su doble, 28, sí sería múltiplo de 4. 14 no sería múltiplo, pero su
doble sí.
Por otra parte, no basta con estas condiciones, porque algún
número daría soluciones con sumandos negativos o nulos. Por ejemplo, para
expresar 6 con cuatro sumandos, el falso término central sería 6/4=1,5, y los
sumandos 0+1+2+3, con el 0 no positivo.
Para evitar esto se deberá verificar que el término central
(verdadero o falso) sobrepase la mitad entera del número de sumandos, con lo
que garantizamos que el primer sumando sea al menos 1. En el siguiente apartado
veremos una condición equivalente más práctica.
Estudio
algebraico
Una suma de K enteros consecutivos a partir de N, es decir,
N+N+1+N+2+…N+K-1, se puede resumir como suma de una progresión aritmética:
La primera de las igualdades nos indica que, para que el
primer término N sea positivo, se ha de cumplir que
Función con hoja de cálculo
Estas consideraciones teóricas se pueden unir en una función
que nos indique si un número equivale a K sumandos consecutivos o no:
Function sumacons(n, k) As Boolean ‘Devuelve
verdadero o falso
Dim es As Boolean
Dim b, c
If n > k * (k - 1) / 2 Then ‘Condición previa para poder seguir
b = n / k ‘Cociente entre suma y
número de sumandos
c = 2 * n / k ‘Doble del anterior
If k / 2 = k \ 2 Then ‘Caso PAR
If b <> Int(b) And c = Int(c) Then es
= True Else es = False ‘No es múltiplo de k, pero sí su doble
Else
If b = Int(b) Then es = True Else es = False
‘Caso IMPAR. Basta con que sea múltiplo de k
End If
Else
es = False
End If
sumacons = es
End Function
Si poseemos ya un criterio para saber si N es suma de K sumandos, el siguiente paso sería si también es suma para valores más pequeños que K. Esta es la parte fácil del estudio, porque basta un bucle de búsqueda para determinarlo:
Function sumaconsmin(n, k) As Boolean
Dim es As Boolean
Dim i
es = False
If sumacons(n, k) Then ‘Exigimos que
n se exprese como suma de consecutivos
es = True
i = 2
While i < k And es
If sumacons(n, i) Then es = False ‘Si
existe un número menor que k para el que es suma, el resultado será FALSO.
i = i + 1
Wend
End If
sumaconsmin = es
End Function
Con esa función de búsqueda se pueden comprobar fácilmente los términos de las sucesiones que enlazamos al principio:
A270298 Numbers which are representable as a sum of eight
but no fewer consecutive nonnegative integers.
44, 52, 68, 76, 92, 116, 124, 148, 164, 172, 188, 212, 236,
244, 268, 284, 292, 316, 332, 356,…
COMPROBADO
A270296 Numbers which are representable as a sum of five but
no fewer consecutive nonnegative integers.
20, 40, 80, 100, 140, 160, 200, 220, 260, 280, 320, 340,
380, 400, 440, 460, 500, 520, 560,…
COMPROBADO
A270303 Numbers which are representable as a sum of nineteen
but no fewer consecutive nonnegative integers.
304, 608, 1216, 2432, 4864, 5776, 6992, 8816, 9424, 9728,
11248, 11552, 12464, 13072,…
COMPROBADO
A270297 Numbers which are representable as a sum of seven but no fewer consecutive nonnegative integers.
28, 56, 112, 196, 224, 308, 364, 392, 448, 476, 532, 616,
644, 728, 784, 812, 868, 896, 952, 1036, 1064
COMPROBADO
A270299 Numbers which are representable as a sum of eleven
but no fewer consecutive nonnegative integers.
88, 176, 352, 704, 968, 1144, 1408, 1496, 1672, 1936, 2024,
2288, 2552, 2728, 2816, 2992,…
COMPROBADO
Valores
admisibles de K
Si cambiamos los valores de K nos daremos cuenta de que para
algunos, como el 10, no existe sucesión. ¿De qué depende? Lo veremos por
partes:
Todos los números primos son admisibles para esta cuestión.
El 2, porque es el mínimo, y todos los impares son suma de dos consecutivos. El
resto, al ser impares admitirán una suma de consecutivos en sus múltiplos, como
vimos en párrafos anteriores, y como puedes comprobar en la última sucesión
estudiada, en la que todas las soluciones que son suma de once sumandos son
todas múltiplos de 11. Este número de sumandos no se puede reducir, al ser
primo K, luego los números primos son admisibles y generarán una sucesión como
las enlazadas.
Sin embargo, los múltiplos impares de los primos mayores que
2, incluidas sus potencias, no pueden ser admisibles, porque si un número se
descompone en pq sumandos (p primo y
q impar), también se descompondrá en p
sumandos, luego estos números hay que desecharlos para la cuestión que nos
ocupa. Por ejemplo, 225 se descompone en 15 sumandos:
225=8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22, pero también
en 5 y en 3:
225=43+44+45+46+47
225=74+75+76
Sí lo son las potencias de 2. Si un número N se descompone
en 2^k sumandos, sabemos, por consideraciones anteriores, que no será múltiplo
de 2^k, pero sí lo será su doble. Por tanto, simplificando, N será múltiplo de
2^k-1, y sabemos que no debe serlo, luego sería admisible, como vemos en la
sucesión A270298. Otra cuestión es qué números presentan la propiedad que
estudiamos hoy. Un ejemplo sería el 44
Un ejemplo: 44 se descompone en ocho sumandos, porque su
doble, 88, es múltiplo de 8:
44=2+3+4+5+6+7+8+9
Sin embargo, no se podrá descomponer en menos sumandos. Se
comprueba fácilmente.
Nos quedan los números pares no potencias de 2. Si N se
descompone como pq con p primo impar
y q par, es par, 2N será múltiplo de K, y simplificando, N será múltiplo de p,
porque q/2 es entero, luego será múltiplo de p y se podrá descomponer en p
sumandos. No serán admisibles.
Resumiendo, serán admisibles para esta búsqueda los números primos y las potencias de 2.
Los demás números no serán admisibles para este problema, y serán aquellos que
poseen un divisor propio primo e impar.
En cualquier rango de números podemos observar que en la
descomposición de N en K sumandos, solo figuran valores de K primos o potencias
de 2:
Así que los valores de K que no dan lugar al estudio de esta
cuestión serán todos los enteros suprimiendo los primos y las potencias de 2:
6, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28,
30, 33, 34, 35,…
Estos números están publicados en http://oeis.org/A111774, pero con una definición distinta, como aquellos que se pueden descomponer en sumas de al menos tres números consecutivos. Es lógico, porque todos poseen un factor primo impar p y, al ser múltiplos de él, se descompondrán en una suma de p sumandos.
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