Números hexagonales (1)

 Introducción

En la serie de este curso sobre números poligonales, esta entrada es posterior a la dedicada a los pentagonales. Por ello, en algunos temas remitiremos a estos números y puede ser aconsejable consultar las entradas correspondientes

http://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-1.html

http://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-2.html

Definición e inserción con los poligonales en general

Los números hexagonales se generan, como todos los poligonales, alineando los elementos en estructuras de este tipo adosadas en orden creciente, y compartiendo dos lados cada una con la anterior, como se puede ver en este esquema construido con Excel:

Se corresponde con el número hexagonal de índice 5, ya que se han adosado cuatro estructuras hexagonales además de la inicial de un solo elemento. Estos esquemas se conservan por su carácter histórico, pero varias de las propiedades que veremos más adelante podrían servir como definición además de la clásica.

Todos los números poligonales se pueden calcular con la siguiente fórmula (ver mi publicación “Números y formas”

http://www.hojamat.es/publicaciones/numform.pdf):

 

En nuestro caso k=6, lo que simplifica bastante la fórmula, que queda como

Nombraremos en toda la entrada el hexagonal de índice l como hx_l. Como estamos acostumbrados a escribir los índices como n, la fórmula quedaría:

Un sencillo cambio nos indica que un hexagonal coincide con un número triangular de índice impar:

Todo número hexagonal coincide pues con un triangular de índice 2n-1, es decir, impar. Los de índice par no pueden ser hexagonales.

Hace tiempo publicamos en este blog una entrada dedicada a estos triangulares de índice par. Por su interés, la enlazamos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/triangulares-de-lado-par.html

Los primeros números hexagonales son 1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231, 276, 325, 378, 435, 496 , 561 , 630, 703, 780, 861, 946 ...Esta sucesión está publicada en http://oeis.org/A000384

Sencillos cálculos revelan que todos son triangulares. Por ejemplo, 561=33*34/2.

Esta lista es fácilmente reproducible con hoja de cálculo, gracias a la sencillez de la fórmula n(2n-1):

Entre ellos figuran dos números perfectos, 6 y 28. En realidad, todos los perfectos son hexagonales, debido a su fórmula, que es del tipo n(2n-1):

P=2^k-1(2^k-1) = 2^k-1(2*2^k-1-1) 

 

Otras expresiones de los números hexagonales

a(n) = binomial(n+1,2) + 3*binomial(n,2).

No es difícil comprobar esta identidad, que usa números combinatorios:

Criterio para reconocer hexagonales

Si un hexagonal es un triangular de lado impar, nos servirá el criterio para triangulares, que es que ocho veces un triangular más la unidad ha de ser un cuadrado.

En esta imagen puedes comprobar que ocho triángulos de lado 4 (y diez elementos) se adosan dejando un hueco (el círculo verde):

Por tanto 8T+1 siempre es un cuadrado si T es triangular. En la entrada que dediquemos a ellos se verá con más detalle. Así que en un hexagonal también se tiene que cumplir con 8H+1. Si sumamos una unidad al lado del cuadrado de la imagen nos resulta 2n+2. Y si n ha de ser impar, tendremos 2(2k+1)+2=4k+4, que será entero si lo dividimos entre 4. En resumen, ha de ser un entero esta expresión:

Con esta expresión y nuestra función ESCUAD, (es cuadrado) obtenemos la función que caracteriza si un número es hexagonal y además nos devuelve su índice:

Function ordenhexagonal(n)

Dim a, b

 

b = 0

a = 8 * n + 1

If escuad(a) Then ‘Criterio del 8H+1

b = (Sqr(a) + 1) / 4 ‘Búsqueda del lado

If b <> Int(b) Then b = 0

End If

ordenhexagonal = b ‘Si no es hexagonal dará cero.

End Function

 

Con esta función puedes detectar hexagonales en cualquier intervalo. Por ejemplo, entre los últimos 20 años, 2016 fue el único hexagonal, con orden 32. En esta captura de Excel lo puedes comprobar:

Definiciones por recurrencia

Mediante sumas acumuladas

Si un número hexagonal coincide con un triangular determinado, valdrán las recurrencias para estos números. Sabemos que Hx_n=T_2n-1. Por tanto, si el triangular T_n-1 se convierte en el siguiente T_n sumándole su índice n-1, al hexagonal habrá que sumarle dos índices, 2n-2 y 2n-1, es decir, 4n-3. En efecto, si Hx₃=15, Hx₄=15+4*4-3=15+13=28, como bien podemos comprobar.

En esta tabla hemos escrito el primer 1 y después hemos ido añadiendo 4n-3:

Mediante recurrencia lineal

Jaume Oliver Lafont propone la siguiente en OEIS (adaptamos la escritura):

Hx(n) = 3*Hx(n-1) - 3*Hx(n-2) + Hx(n-3), Hx(0)=0, Hx(1)=1, Hx(2)=6.

La comprobaremos con nuestra hoja dedicada a las recurrencias lineales, en este caso de tercer orden (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Abrimos la hoja correspondiente al tercer orden y rellenamos los coeficientes 3, -3, 1 y los términos iniciales 0, 1, 6:

Pulsamos el botón de “Ver sucesión” y obtenemos una columna con los números hexagonales incluido el cero:

Es una simple curiosidad.

 

Uso de la calculadora “Calcupol”

En todas las entradas referidas a números poligonales nos referiremos a esta calculadora. Será inevitable repetir algunas instrucciones para cada tipo, pero el autor ignora en qué orden se pueden leer estas entradas, por lo que es preferible repetir a no explicar.

Si ya la conoces, puedes saltar estos párrafos.

Esta calculadora es una hoja de cálculo (En Excel o Calc) que puedes descargar desde mi página web:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/calcupol.xlsm

En primer lugar es conveniente poner la calculadora en modo poligonal y de orden 6:

Cálculo directo: Basta escribir (recuerda que todo va con el ratón) 6 POL y después el índice o longitud del lado (termina siempre con el signo =). Por ejemplo, si tecleas 6  POL  1  0  =   obtendrás el hexagonal número 10, que es el 190:

Identificación: Si ya has concretado Poligonal Orden 6, puedes usar la tecla  ES  para saber si un número es o no hexagonal. Escribe, por ejemplo, 946 y pulsa esa tecla ES

(puedes borrar pantalla con la tecla  CA )

Obtendrás una respuesta afirmativa

En pantalla aparecerá su índice

En efecto, Hx₂₂=946

Escribe otro número, por ejemplo 947, que no será hexagonal. En ese caso la respuesta será:

Próximo y anterior

Con las teclas   PROX  y  ANT  podemos recorrer todos los número hexagonales. Si tienes en pantalla 2000, al pulsar   ANT  obtendrás de nuevo 1891, que es el hexagonal más cercano a 2000 e inferior a él y si ahora usas  PROX  saltará al valor 2016, que es el siguiente hexagonal.

 En la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades curiosas de estos números.