Números piramidales centrados (1/4)

En esta entrada generaremos números piramidales a partir de los poligonales centrados. Por eso puede ser conveniente que leas las dos entradas de este blog que tratan dichos números figurados:

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-1.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html


Al igual que los números poligonales centrados se formaban acumulando contornos de polígonos o de múltiplos de un número, podríamos también acumular estos números poligonales centrados mediante sus sumas parciales. Estas sumas se pueden representar como niveles dentro de una pirámide centrada. Lo vemos en la imagen, que representa las pirámides centradas de tres lados que estudiaremos a continuación:

Son pirámides que contienen en el interior de sus bases los polígonos anteriores.


Pirámides triangulares centradas

Siguiendo un proceso similar al de casos anteriores, partimos de los números triangulares centrados

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,…, ya estudiados en las entradas referidas y en http://oeis.org/A005448

Los acumulamos mediante sumas parciales:

1, 1+4=5, 1+4+10=15, 1+4+10+19=34,… y así hasta completar. De esta forma se generarán los piramidales triangulares centrados

1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695, 2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801, 9855, 10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669,… http://oeis.org/A006003

Los tres primeros se corresponden con la imagen del primer párrafo.

En este caso también podemos usar el interpolador de Newton para los primeros números naturales, que puedes descargar desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

Rellenamos los valores de la función con los primeros términos 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175 y leemos los coeficientes en la parte inferior:

El polinomio interpolador será

1+4(x-1)+3(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)/2

Simplificamos mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos

Este es un caso particular de la fórmula contenida en el libro Figurate Numbers, de Elena Deza y Michel Deza, que sólo incluimos como comprobación, ya que nos interesa la generación de cada caso particular. Es esta:

Particularizando para m=3 resulta la que hemos obtenido.

Por ejemplo, PIRC3(9)=9*82/2=369, que es el noveno término de nuestra lista de más arriba.
La expresión que hemos obtenido coincide con la que figura en http://oeis.org/A006003

Uso de Calcupol

Pasamos a usar nuestra calculadora Calcupol, (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados) cuyas prestaciones hemos ampliado con la inserción de una nueva tecla que gestiona estas pirámides centradas

Su funcionamiento es similar a las dedicadas a números poligonales y otros piramidales: escribimos el orden m (que en este caso valdría 3), después pulsamos la tecla PIRC con el ratón, escribimos el valor de n, por ejemplo 7, y terminamos con la tecla =. Nos resultaría, en este caso del 7, el valor de 175, que coincide con el séptimo término de la sucesión que estamos estudiando:

Propiedades

Desarrollamos a continuación algunas propiedades de estos números. Comenzamos con una de Felice Russo incluida en http://oeis.org/A006003

Se expresa así:

Si escribimos los números naturales en grupos de longitud progresiva desde el 1, es decir, formamos: 1;  2,3;  4,5,6;  7,8,9,10;… y sumamos cada grupo, obtenemos los piramidales que estamos estudiando:

1=1
2+3=5
4+5+6=15
7+8+9+10=34
11+12+13+14+15=65
…
No es difícil justificarlo. Basta observar que la suma de enteros consecutivos desde 1 hasta k es el número triangular k(k+1)/2, luego los grupos formados tendrán como suma la diferencia entre el triangular correspondiente al último término y el del anterior grupo. Así, 7+8+9+10=T(10)-T(6)=10*11/2-6*7/2=55-21=34, como era de esperar.

Sólo hay que advertir que los índices de esos triangulares son a su vez triangulares también, 10=4*5/2 y 6=3*4/2, y además consecutivos. Esto nos permite plantearlo con la variable x:

S(x)=T(x(x+1)/2)-T(x(x-1)/2) = (x(x+1)/2)*(x(x+1)/2+1)/2-(x(x-1)/2)*(x(x-1)/2+1)/2

Acudimos de nuevo a Wolfram|Alpha para simplificar y comprobamos:

Nos resulta la fórmula esperada de estos piramidales centrados, luego la propiedad es cierta.


Propiedad combinatoria

Los piramidales centrados que estamos estudiando son suma de tres números combinatorios a partir del 15:

Basta desarrollar: ((n)(n-1)(n-2)+(n+1)(n)(n-1)+(n+2)(n+1)(n))/6=
=n/6*(n²-3n+2+n²-1+n²+3n+2)
=n/6*(3n²+3)=(n³+n)/2

Significa que si recorremos la cuarta diagonal del triángulo aritmético y sumamos de tres en tres, resultarán los números que estamos estudiando:

En una imagen tomada de la Wikipedia hemos señalado los números que debemos sumar:

Así, 1+4+10=15, 4+10+20=34, 10+20+35=65,…

Relación con los triangulares

(Bruno Berselli, Jun 07 2013)

Es claro su significado: Si a un número triangular le sumamos el anterior multiplicado por el número de orden del primero, resulta un piramidal triangular centrado.

Así 3+2*1=5, 6+3*3=15, 10+4*6=34…

En forma de tabla:

Se ha destacado en rojo el cálculo: multiplicar el anterior por el número de orden y sumar el actual triangular.

Se demuestra con un simple desarrollo:

T(n)+nT(n-1)=n(n+1)/2+n*(n-1)*(n)/2=n/2*(n+1+n²-n)=n/2(n²+1)=(n³+n)/2

Llegamos a la misma expresión ya conocida.