Esta es la segunda entrada que trata de los números piramidales centrados. En la anterior tratamos de los triangulares (puedes consultarla bajando un poco las líneas de esta misma entrada). En esta avanzaremos en el número de lados, por lo que seguimos con los cuadrangulares.
Como procedimos con los triangulares, partiremos de los números poligonales cuadrangulares centrados:
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381…http://oeis.org/A001844
Los puedes repasar en la siguiente entrada de este blog:
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html
Realizamos la acostumbrada construcción de sumas parciales:
1, 1+5=6. 1+5+13=19, 1+5+13+25=44,…
Así conseguimos los números piramidales cuadrangulares centrados:
1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, 3894, 4579, 5340, 6181,… http://oeis.org/A005900
Como el uso del interpolador lineal ha sido explicado en la entrada anterior, sólo insertamos el esquema de cálculo:
Resulta el polinomio
1+5(x-1)+4(x-1)(x-2)+2(x-1)(x-2)(x-3)/3
Se simplifica mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos:
Es decir:
Podíamos haberlo deducido de la fórmula general de Elena Deza y Michel Deza:
Estos números coinciden con los octaédricos, como puedes comprobar en http://oeis.org/A005900. Por tanto, las propiedades que siguen las comparten ambos tipos de números. Puedes encontrar la causa si comparas las dos figuras siguientes. La primera corresponde al número piramidal cuadrangular centrado de orden 3. Por tanto, estará formado por las capas 1+(1+4)+(1+4+8)=19, tal como vimos en la sucesión general.
En la segunda figura hemos desplazado capas hacia abajo, y colocado el centro en la mayor:
Así vemos perfectamente formado el octaedro, que se puede generar con la suma 1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19, como cabía esperar.
Este resultado se puede generalizar sin problemas al término n, lo que nos da la primera propiedad de estos números.
Propiedades
Suma de cuadrados
Los términos de la sucesión que estamos estudiando se pueden calcular mediante la expresión:
Este desarrollo los identifica con los números octaédricos, como ya hemos visto.
Tomamos algún ejemplo:
85=1+4+9+16+25+16+9+4+1
231=1+4+9+16+25+36+49+36+25+16+9+4+1
Productos de sumandos impares
A continuación vemos una interesante propiedad debida a Jon Perry
PIRC4(n) coincide con la suma de todos los productos posibles p*q con p y q impares tales que p+q=2n
Es una consecuencia directa de la primera propiedad:
Si recordamos que un cuadrado es suma de impares consecutivos, obtendremos sumas repetidas que se podrán agrupar en productos:
PIRC4(3)=19=1+1+3+1+3+5+1+3+1=1*5+3*3+5*1
PIRC4(4)=44=1+1+3+1+3+5+1+3+5+7+1+3+5+1+3+1=1*7+3*5+5*3+7*1
Para el caso general no sería difícil ir agrupando los impares.
Como coeficiente de una potencia
Esta propiedad sólo la comprobaremos en algún caso concreto. Pues supone pesados cálculos algebraicos que no hay por qué abordar ahora. Lo dejamos para quién se atreva.
Estos números coinciden con el máximo coeficiente del desarrollo de (1+x+x2+x3+…xk)4
Lo comprobamos para el 44:
Escribimos (1+x+x^2+x^3)^4 en la página de WolframAlpha:
Leemos su desarrollo más abajo:
Comprobamos que el mayor coeficiente es 44.
A continuación insertamos un recorte de pantalla de wxMaxima en el que se comprueba la propiedad para exponente 5:
También aquí el mayor coeficiente es 85, el siguiente elemento de la lista.
Propiedad combinatoria
El número piramidal cuadrangular centrado de orden n equivale al número de conjuntos ordenados (w,x,y,z) con todos sus términos en {1,...,n} tales que w+x=y+z. (Clark Kimberling, Jun 02 2012)
No es difícil razonarlo. Las posibles sumas w+x son 2, 3,…,2n. Sus posibilidades van creciendo al principio y disminuyendo al final. Así:
Suma 2 o suma 2n: w, x tiene 1 posibilidad , (1+1 o n+n); y+z otra: luego sale 1=1^2
Suma 3 o suma 2n-1: w, x tiene 2 posibilidades, (1+2, 2+1 o n-1+n. n+n-1); y+z otras 2, luego al combinar ambas posibilidades quedan 4= 2^2
Suma 4 o suma 2n-2: con un razonamiento similar llegaríamos a 3^2
Así seguiríamos, con lo que volvemos a la propiedad básica, y es que el total sería igual a
Como no hay prisa por resolver las cuestiones, comprobamos esta propiedad con nuestra hoja Cartesius:
Con Cartesius
Descargamos la hoja desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius
Comprobamos la propiedad para el caso 6. Para ello planteamos:
Estamos pidiendo que se combinen cuatro elementos (corresponden a w, x, y, z de la propiedad), que deberán estar contenidos en el rango 1..6 y que la suma de los dos primeros x1+x2 coincida con la de los segundos x3+x4.
Desarrollamos el planteo con el botón Iniciar y, efectivamente, resultan 146 casos
Aunque no nos cabe en este documento, podemos, con la función SI seleccionar los resultados cuyos dos primeros elementos sumen, por ejemplo, 5. En el recorte de la imagen asignamos un 1 a los casos en los que w+x=5
Después bastaría contar los unos y nos resultarían 16=4^2, tal como razonamos más arriba.
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