Productos de tres divisores (3/3)

En la tercera entrada de esta serie (puedes consultar las anteriores fácilmente en el blog) seguiremos intentando descubrir algunas propiedades curiosas que se pueden deducir de la descomposición de un número natural en tres factores también naturales.

Haremos alguna referencia a funciones o rutinas ya explicadas en las dos entradas anteriores.

Variantes

Cambiando adecuadamente las líneas de código de la función trifactor podemos descubrir algunas propiedades de cada terna de factores. Vemos algunas

Sumas pitagóricas

Puede ocurrir que los tres factores sean parte de un conjunto pitagórico de tres dimensiones (lados de un ortoedro y su diagonal). Aquí tienes los primeros:

Por ejemplo, 108 presenta tres descomposiciones pitagóricas:

108=1*6*18, y 1²+6²+18²=361=19²
108=2*6*9, y 2²+6²+9²=121=11²
108=3*6*6, y 3²+6²+6²=81=9²

Puedes comprobar, para practicar, las tres posibilidades que presenta 256.

Estos números están publicados en http://oeis.org/A118901

A118901 Volumes of cuboids with integer sides and main diagonal.

4, 32, 36, 108, 112, 140, 144, 220, 252, 256, 288, 364, 396, 400, 500, 540, 608, 612, 644, 756, 832, 864, 896, 900,…

El texto explicativo en inglés identifica los tres factores como los lados enteros de un ortoedro con diagonal también entera, y los términos de la sucesión se corresponden con los volúmenes.

Con la hoja trifactor.xlsm basta añadir otra columna y elegir las hipotenusas sin decimales. En la siguiente imagen lo hemos probado con el número 256:

Suma cuadrada

En lugar de buscar una hipotenusa, podemos elegir las sumas de factores que sean cuadradas. Aquí tienes el resultado:

Hemos acompañado a cada número los factores cuya suma es un cuadrado y junto a ellos esa suma. Por ejemplo:

44=1*2*22, S=1+2+22=25=5²
62=1*1*62, S=1+1+62=64=8²

Se observa que varios números presentan dos soluciones. El 128 es el primer número con tres soluciones: 1* 8* 16, S=25;  2*2*32, S=36; 4*4*8, S=16

Si deseas practicar con elementos de programación, puedes estudiar y mejorar el código en PARI que se ha usado.

for(n=1, 300, t=0; v = truncate(n/2); for(i = 1, v, if(n%i == 0, for(j = i, v,  if(n%j == 0, k = n/(i*j); if(k == truncate(k)&&n%k == 0&&k >= j, if(issquare(i+j+k), t = 1)))))); if(t == 1, print1(n,", ")))


Otras propiedades

Una vez que sabemos alinear bien en una hoja de cálculo todas las ternas de factores cuyo producto es un número dado, con pequeños cambios de código descubriremos otras propiedades. Insertamos algún ejemplo:

Suma prima

Estos son los primeros números cuyas sumas de “trifactores” es prima:

Vemos que, por ejemplo, el 36 posee tres soluciones:
36=1*6*6, S=13; 36=2*2*9, S=13; 36=2*3*6, S=11

Suma capicúa

Esta propiedad da lugar a menos casos. Se ve que resulta más exigente:

Suma cúbica

Por último, aunque se pueden buscar más propiedades, listamos los números cuyos factores suman un cubo:

ANEXO

Function igualsum_trifactor$(n)
Dim i, j, k, v, t, ns, cs
Dim s(100)
Dim ss$

ns = 0
t = 0
v = n / 2
For i = 1 To v
If n / i = n \ i Then
For j = i To v
If n / j = n \ j Then
k = n / i / j
If k = Int(k + 0.0001) Then
If n / k = n \ k And k >= j Then
ns = ns + 1
s(ns) = i + j + k
t = t + 1
End If
End If
End If
Next j
End If
Next i
ss = "": cs = 0
For i = 1 To ns
For j = 1 To i
If i <> j And s(i) = s(j) Then
cs = cs + 1
ss = ss + " " + Str$(s(i))
End If
Next j
Next i
ss = Str$(cs) + " : " + ss
ss = Right$(ss, Len(ss) - 1)
igualsum_trifactor = ss
End Function