Números automórficos

Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.

¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?

Primos reversibles (Primo-Omirp)

Es muy popular la definición de los pares de números primo-omirp, o primos reversibles, que son aquellos en los que uno se forma invirtiendo las cifras del otro y que ambos son primos, como los pares 199 y 991, 7589 y 9857. Se suelen excluir los capicúas.

No vamos a insistir en el concepto, que incluso se recoge en la Wikipedia, sino en la posibilidad de encontrarlos con Hoja de Cálculo.

Para ello necesitamos las dos funciones que definimos en una entrada anterior: INVERTIR_CIFRAS y ESCAPICUA. Además, deberemos contar con la función ESPRIMO, uno de cuyos posibles códigos incluimos al final de la entrada.

Si te animas, encontrarás (excluyendo capicúas) 4 parejas de dos cifras (13 – 31, 17 – 71, 37 – 73, 79 – 97), 14 parejas de tres cifras, desde 107-701 hasta 991-199, y 102 de cuatro cifras. Puedes ordenar bien los cálculos usando las mencionadas funciones (de ESCAPICUA puedes prescindir)



Código de la función ESPRIMO 'Devuelve un 1 si es primo y un 0 si es compuesto

Public function esprimo(a) as integer
dim ai as long
dim n as long
dim es ai=abs(int(a)
if ai=1 then es=0
if ai=2 then es=1
if ai>2 then
n=2:es=1
while n<=sqr(ai) and es=1
if ai MOD n=0 then es=0
n=n+1
wend
endif
esprimo=es
end function

Proporciones relativas

“Recientes estudios estadísticos han puesto de manifiesto que de cada veinte maltratadores condenados, sólo uno sobrepasaba los dos metros de estatura. Aconsejen, por tanto, a sus amigas y conocidas que se emparejen con hombres altos, que vivirán más tranquilas”

¿Qué te parece esta conclusión? Descabellada, ¿no? Pues en nuestra vida diaria a veces razonamos de forma similar. El otro día oí en la televisión este comentario: “De cada 50.000 accidentes de tráfico, sólo en 400 estuvieron involucrados autocares, lo que demuestra que son más seguros que los turismos” Estoy totalmente de acuerdo con la última afirmación, pero no con el modo de obtenerla. Deberían darnos el dato del número de turismos y autocares que circulan por término medio en nuestras carreteras. De esa forma, dividiríamos el número de accidentados entre el número total de cada clase, y así obtendríamos la proporción de accidentes de cada uno, lo que nos permitiría evaluar qué porcentaje es mayor. En este caso, seguro que sería el de turismos, pero con los datos de la noticia eso no se deduce.

Otra afirmación sobre tráfico: “Las carreteras secundarias son más peligrosas que las autovías, porque en aquellas se producen muchos más accidentes de tráfico”. ¿No habría que dividir entre el número de kilómetros existentes en España de cada clase de vía? Y si alguien nos dijera que los camiones son más peligrosos de noche, porque a esas horas están más involucrados en accidentes que los turismos, ¿no necesitaríamos otros datos? ¿no hay tramos en los que de noche prácticamente sólo circulan camiones?

Cuando no vivía en Madrid, los amigos y familiares que viajaban a la capital nos traían de regalo un décimo de lotería, porque “en Madrid toca más”. El mismo fenómeno se da cuando se compra la lotería en Sort, fiados en una mayor probabilidad de obtener premio, ya que en esa localidad se dan muchos. A pocas personas se les ocurre comparar los premios con los números vendidos en esas ciudades.

El error básico que cometemos en estos razonamientos es el de usar cantidades absolutas, y no proporciones relativas o porcentajes. Para comparar la incidencia de un fenómeno cualquiera deberíamos plantearnos una tabla de doble entrada, rellenarla con las cantidades absolutas y después proceder a convertirlas en porcentajes.

Veamos esta, que podemos imaginar perteneciente a una empresa

	Hombres	Mujeres
Fuman	34	13
No fuman	46	14
Proporción	42,5%	48,2%

Si entráramos en la sala de fumar veríamos muchos más hombres que mujeres, y sin embargo sólo fuma el 42,5% de hombres frente a un 48,2% de mujeres.

Ya sabes, ten cuidado: si preguntas en tu parque a la gente que pasea si es diabética o no, no deduzcas de los resultados que a los diabéticos no les gusta tomar el sol.

Cuadrado del simétrico o simétrico del cuadrado

Claudi Alsina, en su libro “Vitaminas matemáticas”, señala como una propiedad del número 12 la siguiente: 12² = 144 y 21² = 441, es decir, que el cuadrado de su número simétrico en cifras coincide con el simétrico de su cuadrado.

Esta propiedad la poseen otras parejas de números, en concreto hay, si la hoja de cálculo no falla, las siguientes:

Dos parejas de dos cifras: 12 y 21, 13 y 31

Cinco parejas de cuatro cifras, desde 102 con 201 hasta 311 y 113

Dieciocho de cinco cifras, desde 1002-2001 hasta 3111-1113

Cuarenta y una parejas de cinco cifras…

Una cuestión sencilla: ¿Qué cifras no pueden figurar entre las componentes de esos números? ¿Cuál es la causa?

Otra algo más compleja: De las cifras que pueden figurar, ¿qué combinaciones de ellas habría que desechar?

Y más difícil, porque hay que contar bastante: ¿Por qué aparecen estos números de parejas?: 2 de dos cifras, 5 de tres cifras, 18 de cuatro y 41 de cinco…

Si deseas emprender una búsqueda ordenada con hoja de cálculo, puedes usar las funciones invertir_cifras y escapicua que se explicaron en entradas anteriores.

Fórmula de Polignac

Es relativamente sencillo encontrar los divisores primos del factorial de un número natural n. Simplemente son todos los primos inferiores o iguales a n. El problema reside en calcular los exponentes a los que están elevados. Por ejemplo, la descomposición factorial de 22! es





Para obtener los exponentes Polignac propuso esta fórmula





En la que el exponente r de cada factor primo p viene dado por la suma de los cocientes enteros del número n entre las sucesivas potencias de p.

Puedes usar esta fórmula para resolver las cuestiones siguientes:

¿Cuál es el mayor divisor del factorial 12! que es cuadrado perfecto? (Solución 2073600, cuadrado de 1440) ¿En cuántos ceros termina el cociente 100!/50!? (Solución en 12 ceros) ¿Cuál es la máxima potencia de 56 que divide a 56!? (Solución 56 elevado a 9)

Si te da pereza ir contando, puedes usar la hoja de cálculo contenida en la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm

Autogenerados por sus cifras (2)

Cuatro cifras

En la anterior entrada estudiábamos los números de cuatro cifras autogenerados por las mismas en el sentido fuerte, es decir, conservando su orden, y encontramos cinco de ellos:
2187 = (2+1⁸)⁷; 1285 = (1+2⁸)*5 ; 3972 = 3+(9*7)² ; 3125 = (3*1+2)⁵=(3¹+2)⁵ ; 6455 = (6⁴-5)*5

Si tomamos nota de todos los números generados por cada uno sin alterar el orden de las cifras, encontramos entre ellos dos cadenas muy interesantes:

6455 genera a 3125 mediante (( 6+ 4)- 5)⁵= 3125 y este genera a 2187, porque 3^{(( 1* 2)+ 5)}= 2187
A su vez 1285 genera a 1281 mediante ( 1+(( 2⁸)* 5))= 1281 y este a su vez genera 2187 con la expresión (2+1)^(8-1)

Tres cifras

Investigando los de tres cifras, y aunque no parecía muy probable su existencia, hemos descubierto dos casos: 736 = 7+3⁶ y 343 = (3+4)³

Cinco cifras

Da la impresión de que son más abundantes. Alrededor del 15625 se encuentran varios:
15642=1+5⁶+4²; 15655= =(1*5)*(6+5⁵); 15656=1+5*6+5⁶ y 15662=1+5⁶+6²

Aquí el rodear a una potencia adecuada entre cifras 5⁵ ó 5⁶ ha propiciado que aparezcan varios.

(Continuará si aparecen otros hechos interesantes)

Autogenerados por sus cifras (1)

En su blog Ciencia del siglo XXI. Mirando con la mente, Eugenio Manuel ha publicado hace unos días la siguiente curiosidad numérica

2187 = (2+1⁸)⁷

Al leerla me pregunté si existirían más números de cuatro cifras que pudieran ser generados por esas mismas cifras y en el mismo orden. A esta forma de generar, la llamaré fuerte, pues existen otros números que pueden ser generados alterando el orden, como 6145=4⁵*6+1. De estos diré que han sido producidos por una generación de tipo débil.

Con un algoritmo de búsqueda he encontrado otros ejemplos de autogeneración fuerte:

1285 = (1+2⁸)*5 ; 3972 = 3+(9*7)² ; 3125 = (3*1+2)⁵=(3¹+2)⁵ ; 6455 = (6⁴-5)*5

El hecho de no haber usado la operación de dividir y además la imposición de algunas restricciones para evitar desbordamientos de memoria me impiden asegurar que estos cinco números sean los únicos de autogeneración fuerte con cuatro cifras.

Si encontráis alguno más, os ruego me aviséis.

¿Habrá alguno con tres cifras? ¿Y con cinco o seis?

Por la web he visto estos dos ejemplos impresionantes de generación débil con diez cifras











¿Existirán generaciones mutuas, en las que las cifras de A generen B y las de B generen A?

Si averiguo algo más os lo contaré.