Diversos órdenes de la función TAU

Una extensión de la definición de la función TAU, que es la que cuenta los divisores de un número, puede ser la que resuma las descomposiciones en dos factores, N=x*y, o, ya puestos, las de tres factores N=x*y*z, o cuatro. Así podríamos definir TAU_1, TAU_2, TAU_3,…según el número de esos factores.

En este blog hemos aludido alguna vez a la descomposición de un número en tres factores, pero sin tener en cuenta el orden de los mismos, que elegíamos ordenados en orden creciente.

Por ejemplo, se tratan en https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/productos-de-tres-divisores-13.html y siguientes

En esta entrada dedicaremos una pequeña referencia a TAU_2, que en realidad es la función TAU tradicional, para después dedicarnos a TAU_3 y TAU_4. A partir de ellas no es difícil estudiar las siguientes.

 

Función TAU_2(n)

Si buscamos todos los pares ordenados de divisores de N cuyo producto es N, en realidad estamos contando los divisores simples, porque cada divisor posee un complementario (N/d) respecto a N que también es divisor de N, lo que duplica su presencia en los productos.

En síntesis: TAU_2(N) = TAU(N)

Es lo único que estudiaremos de esta función, muy conocida y también muy usada en este blog.

Según el razonamiento anterior, contar divisores de un número N equivale a contar soluciones ordenadas de la ecuación N=x*y con x e y positivos.

Lo podemos comprender mejor con un ejemplo concreto. Hemos elegido el número 84:

El número de divisores de 84, o TAU(84), se calcula a partir de la descomposición factorial: 84=2²*3*7, aplicando la conocida fórmula del producto de exponentes incrementados en una unidad:

TAU(84)=(1+2)(1+1)(1+1)=12.

Los doce divisores son: 84, 42, 28, 21, 14, 12, 7, 6, 4, 3, 2 y 1

Viene bien recordar que el valor de TAU sólo depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.

Por otra parte, las soluciones de 84=x*y se pueden encontrar con nuestra herramienta Cartesius (http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Con ella podemos usar el siguiente planteo:

Se sigue fácilmente: Combinar dos números, entre 1 y 84, que sean ambos divisores de 84, y que su producto sea también 84. Resultan las soluciones:

Como cada divisor d posee un único complementario N/d para conseguir el 84, es evidente que resultarán también 12 soluciones, con lo que comprobamos que esta forma de definir TAU es válida.

 

Función TAU_3(n)

Ya se indicó más arriba que la descomposición en tres factores ya se ha abordado en este blog, pero ahora consideraremos todas las ordenaciones posibles de las tres soluciones de la ecuación N=x*y*z. No es difícil razonar cómo encontrar el número de soluciones. Basta considerar que z ha de tomar todos los valores posibles de divisores de N, y que x*y serían entonces todos los productos posibles del complementario de z, N/z. Por tanto, cada valor de z se combinará con las soluciones de N/z=x*y, que vimos más arriba que coinciden con el número de divisores de N/z. Por tanto TAU_3(N) se encuentra sumando los números  de divisores de cada divisor de N.

Lekraj Beedassy lo expresa muy bien en OEIS: “Number of divisors of n's divisors”.

Lo comprobaremos de varias formas con el mismo ejemplo del 84. Comenzaremos con Cartesius:

El mismo plantamiento que con dos factores, adaptándolo a tres. Resultan entonces 54 soluciones.

Ahora lo resolveremos con una función para Excel o Calc:

Public Function tau_3(n)

Dim i, j, s

 

s = 0 ‘Inicio del contador

For i = 1 To n

If n / i = n \ i Then ‘Recorre los divisores de N

For j = 1 To i

If i / j = i \ j Then s = s + 1 ’Aumenta el contador con “divisores de divisores”

Next j

End If

Next i

tau_3 = s

End Function

 

Si lo aplicamos al número 84, se confirma que TAU_3(84)=54

En https://oeis.org/A007425 están publicados los valores para los primeros números:

A007425 d_3(n), or tau_3(n), the number of ordered factorizations of n as n = r s t.

1, 3, 3, 6, 3, 9, 3, 10, 6, 9, 3, 18, 3, 9, 9, 15, 3, 18, 3, 18, 9, 9, 3, 30, 6, 9, 10, 18, 3, 27, 3, 21, 9, 9, 9, 36, 3, 9, 9, 30, 3, 27, 3, 18, 18, 9, 3, 45, 6, 18, 9, 18, 3, 30, 9, 30, 9, 9, 3, 54, 3, 9, 18, 28, 9, 27, 3, 18, 9, 27, 3, 60, 3, 9, 18, 18, 9, 27, 3, 45, 15, 9, 3, 54, 9, 9, 9, 30,…

Puedes comprobar valores con Cartesius o nuestra función.

Los códigos PARI publicados en esta página son tan ingeniosos, que es prferible copiar alguno. Por ejemplo:

a(n)=sumdiv(n, x, sumdiv(x, y, 1 )) \\ Joerg Arndt, Oct 07 2012

Pide sumar, para cada divisor de N, un 1 por cada uno de sus divisores, lo que equivale a contarlos. Lo probamos en la página web de PARI:

 for(i=1, 200, print1(sumdiv(i, x, sumdiv(x, y, 1 )),", "))

Coincide, como era de esperar, con los publicados.

 

Intervienen los números triangulares

Todos los resultados son productos de números triangulares y dependen de la signatura prima de N, y no de los valores de los factores primos.

Introducimos el tema con algunos ejemplos:

N es primo

En ese caso Tau_3(N)=3, porque los productos xyz posibles serían 11p,1p1, y p11, es decir T(1+1)=3, representando por T el triangular correspondiente. También podemos acudir a una partición plana que represente la segunda definición que hemos dado (https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_partition)

1  p

1

Es un esquema triangular de lado 2

 

N es semiprimo N=p*q con factores primos diferentes

Los productos xyz serían

N11, 1N1, N11, 1pq, 1qp, qp1, q1p, pq1, p1q son nueve, que coincide con T(1+1)T(1+1)=3*3=9

Como partición plana:

N  p  q  1

p 1

q 1

1

Resulta TAU_3(pq)=9

 

Para un semiprimo cuadrado

Los productos serían 11n,1n1, n11, 1pp, p1p, pp1 son seis: T(2+1)=T(3)=6

En representación de dos dimensiones:

N p 1

p 1

1

TAU_3(p²)=6

 

Para exponentes 2 y 1, como el 12:

Los productos serían 1(12)1, 11(12), (12)11, 143, 134, 413, 431, 314, 341, 223, 232, 322, 126, 162, 216, 261, 612, 621 son 18, T(2+1)T(1+1)=6*3=18

En un esquema de partición plana se organizarían así:

12   6   4   3   2   1

6   3   2   1

4   2   1

3   1

2   1

1

TAU_3(p²q)=18

Los divisores de los divisores resultan ser 18, ordenados.

Aquí nos detenemos. Hemos comprobado que para un factor el TAU_3(N) es un triangular, y para dos factores, un producto de triangulares. Pues bien, ese esquema se conserva, y si un número posee varios factores primos con diferentes exponentes, bastará sustituir en la fórmula de la función TAU los paréntesis por números triangulares

Lo podemos razonar descomponiendo la partición plana en diversas zonas cuando se añade un factor nuevo. Tomaremos el 12 como ejemplo y realizaremos un producto cartesiano entre los datos del 4 con los del 3

Hemos representado en colores distintos las zonas en las que se divide el producto cartesiano de seis filas y tres columnas:

En rojo figuran los elementos de TAU_3(4), los que había antes de incorporar el 3. En la tercera columna figuran los divisores en los que interviene el nuevo factor 3. Las zonas horizontales de distinto color representan los “divisores de divisores”, que son fundamentales en este estudio.

Es fácil comprender que obtendríamos un esquema similar si el nuevo factor estuviera elevado a un exponente mayor que 1. Ahí lo dejamos y nos creemos sin desarrollarlo que también se obtendría un producto de triangulares.

Sólo comprobaremos la fórmula con nuestras funciones. Por ejemplo, 72=2³*3², luego según la fórmula sugerida, tendríamos TAU_3(72)=T(1+3)T(1+2)=10*6=60

Con nuestra función

 

Con el código PARI de Joerg Arndt

print(sumdiv(72, x, sumdiv(x, y, 1 )))

Función TAU_4(n)

El estudio de TAU_3 nos ha abierto caminos y los hemos aprovechado con calma. Ahora sólo resumiremos algunos de ellos en los demás casos.

Si definimos TAU_4(N) como como el número de productos xyzu de cuatro factores (con ordenación) cuyo producto es N, podremos comenzar como en el caso de 3, con nuestra herramienta Cartesius. Sería así en nuestro ejemplo del 84:

Al combinar cuatro factores, el proceso es más lento, pero no excesivamente, y nos da un resultado de 160:

Algunas ideas sobre TAU_3(N) se pueden ampliar a TAU_4(N). La primera es que la frase “divisores de divisores” habrá que cambiarla por “Valores de TAU en divisores”, ya que, al añadir un factor nuevo en el producto xyzv, este no se combina con divisores, sino con productos que vimos al principio que representaban a TAU. Así, el esquema bidimensional no se rellenará con divisores, sino con su número de divisores. Recordemos que en TAU_3 usábamos este esquema

12   6   4   3   2   1

6   3   2   1

4   2   1

3   1

2   1

1

Ahora deberíamos sustituir cada divisor por el valor de TAU (número de divisores) en cada uno. Lo hemos efectuado en Excel relacionando los dos esquemas:

Como podemos observar, TAU_4(12)=40.

Podíamos añadir un bucle a nuestra función en VBasic para TAU_3, pero resultaría algo lenta. Por otra parte, no es difícil la comprobación con Cartesius, cambiando datos en las condiciones que usamos para el 84. Sin embargo, parece más útil comprobar el cálculo recordando la fórmula para TAU_3 que usa números triangulares

En efecto, para TAU_4 se pueden sustituir por tetraedros, pirámides triangulares, ya que las posibilidades dependen de tres dimensiones. Esta idea es correcta y se puede aplicar en este caso. Hay que recordar que la fórmula del tetraedro de orden n es TE(n)=n(n+1)(n+2)/6 (ver nuestra publicación Números piramidales:

 http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf)

En el caso de 12 quedaría:

12=2²*3

TAU4_(12)=TE(1+2)*TE(1+1)=3*4*5/6*2*3*4/6=10*4=40

Con ello queda comprobada esta técnica, que se amplía a TAU_5, TAU_6,…aumentando dimensiones a las pirámides.

Puedes repasar todo en la sucesión https://oeis.org/A007426, en la que están publicados los primeros valores de TAU(N):

1, 4, 4, 10, 4, 16, 4, 20, 10, 16, 4, 40, 4, 16, 16, 35, 4, 40, 4, 40, 16, 16, 4, 80, 10, 16, 20, 40, 4, 64, 4, 56, 16, 16, 16, 100, 4, 16, 16, 80, 4,…

Con esto, podemos seguir ampliando productos, pero con lo que tenemos ya se comprende la esencia de estas funciones TAU.

Menor múltiplo oblongo

Para su uso en los cálculos diarios que publico en Twitter, visito casi a diario la página The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!, (OEIS), http://oeis.org, fundada por N. J. A. Sloane. En la primavera de 2022 me llevé la sorpresa de ver una sucesión suya, del año 2021, referente a divisores de números oblongos. El tema de estos números no es muy popular en OEIS, y por eso me sorprendió verlos tratados por el mismo fundador de la página. Esto me ha llevado a tratar el tema con la mayor amplitud posible, según las sucesiones A345988 y A344005.

Lo que plantea N. J. A. Sloane en sus sucesiones es encontrar el oblongo más pequeño que es divisible entre un número dado. Si llamamos n a ese número, es claro que tiene dos múltiplos oblongos con seguridad, n(n+1) y (n-1)n. Por eso, se puede plantear una búsqueda infinita, como figura en OEIS, con la certeza  de que se detendrá:

(PARI) a(n) = for(m=1, oo, if((m*(m+1))%n==0, return(m))) \\ Felix Fröhlich, Jun 04 2021

Lo planteamos para hoja de cálculo en VBASIC. Como no podemos usar el símbolo de infinito, nos serviremos de un bucle WHILE sin fin:

Function menoroblongo(n)

Dim m, o

m = 1 ‘Comenzamos la búsqueda con 1

o = m * (m + 1) ‘Creamos el oblongo

While o Mod n <> 0 ‘Mientras no sea divisible, avanzamos el WHILE

m = m + 1

o = m * (m + 1)

Wend

menoroblongo = o

End Function

Se podía plantear con más eficiencia, pero funciona con rapidez y la hemos dejado así. Con esta función podemos encontrar las mismas soluciones de Sloane:

Uso del Buscador de Naturales

Nuestra herramienta de búsqueda de números naturales permite encontrar el menor oblongo múltiplo de un número dado. Lo que no puede construir es un listado como el de la tabla anterior, pero para explicar el concepto, a nivel elemental, nos vale.

Se puede descargar desde (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)

En la captura de pantalla siguiente figura la búsqueda en el caso de 80. Hemos buscado entre 80 y 6480=80*81, con las condiciones de ser oblongo y múltiplo de 80. Vemos que la solución es 240 como mínimo oblongo:

Casos particulares

Potencia de un primo

Si n es una potencia de un primo p, es claro que cualquier oblongo m(m+1) múltiplo de n ha de contener el factor primo p, luego lo contendrá m o m+1, porque no se puede repartir entre ellos, luego el mínimo será (n-1)n

El mínimo oblongo múltiplo de p^k (p primo) es (p^k-1)p^k

Así, el número 243=3^5 poseerá como menor oblongo múltiplo el 242*243=58806.

Es fácil comprobarlo con el Buscador:

Los dos únicos oblongos de la solución son 242*243 y 243*244. En las factorizaciones destaca el número 3 repetido cinco veces, luego son múltiplos de 243.

Números que solo poseen dos factores primos

Si un número presenta la factorización N=p^a * q^b con p y q primos, es claro que en un oblongo m(m+1) m será múltiplo de uno de los primos, y m+1 lo será del otro. Esto nos lleva a una ecuación diofántica: p^ax - q^by = ±1

Esta ecuación siempre tendrá solución, al ser los coeficientes primos entre sí, y la duda será si el segundo miembro deberá valer 1 o -1 y si las soluciones serán positivas.

Por ejemplo, el número N=3²*5³=1125 poseerá un oblongo múltiplo si 3²x - 5³y = ±1

Si tomamos el valor 1, será x=(1+125y)/9, con lo que habrá que buscar múltiplos de 125 que al sumarles 1 sean múltiplos de 9

Creamos una tabla con esos cocientes:

Observamos que (1, 14) es una solución y, en efecto, 14*9=126 y 1*125=125, luego m=125 y m+1=126, con lo que su producto será un oblongo múltiplo de 1125, 15750. Pero la cuestión es que no sabemos si es el mínimo, porque más abajo hay otra solución, 10, 139, en la que 139*9=1251 y 10*125=1250, con lo que el oblongo sería 1250*1251, claramente mayor que 15750.

A esto hay que añadir que habrá que repetir todo con el caso -1.

En nuestro ejemplo aparecería la solución 8, 111, es decir 8*125=1000 y 111*9=999, que también sería válida.

Vemos que la resolución es posible, pero que no nos garantiza el carácter de mínimo múltiplo.

Estudio diofántico

Podemos plantear

125x-9y=1 o bien 12x-9y=-1

Usamos WolframAlpha:

Caso +1

Paramétricas:

Caso -1

Paramétricas:

Se observa que en las dos paramétricas el mínimo valor positivo se alcanza si n=0.

En la primera tendríamos x=8, y=111, con lo que m=999 y m+1=1000, resultando el oblongo 999000.

En la segunda, x=1 y=14, m=125, m+1=126 y el oblongo el ya conocido

En la práctica es más rápido usar el Buscador ya que sabemos que existen soluciones.

En la siguiente captura de pantalla observamos que se ha buscado un oblongo múltiplo menor que 15750 y no se ha encontrado, luego este es el mínimo:

Caso general

Para un número con más de dos factores primos, bastará agruparlos en dos productos cuyos factores sean primos entre sí, y aplicar la misma técnica de ecuación diofántica, además de las técnicas de búsqueda ya estudiadas. Para encontrar el mínimo deberemos recorrer todos los pares de factores unitarios. Puedes leer la propuesta de Sloane en la sucesión A344005.

Suma de los primeros primos y sus potencias (2)

En la anterior entrada sumamos números primos mediante funciones de Excel y Calc, PARI y el Buscador de Naturales. Ahora sumaremos potencias de primos. En este caso nos servirá la función sumprimoene de Excel, que suma las potencias de los primeros primos.

Suma de cuadrados de primos

La función sumprimoene permite sumar cuadrados de primos. El resultado es

Es un cálculo fácil y están publicados los resultados en http://oeis.org/A024450

4, 13, 38, 87, 208, 377, 666, 1027, 1556, 2397, 3358, 4727, 6408, 8257, 10466, 13275, 16756, 20477, 24966, 30007, 35336, 41577, 48466, 56387, 65796, 75997, 86606,…

Como simple curiosidad, y para un estudio más sencillo, este sería el planteamiento con el Buscador de Naturales:

La primera condición detecta cuadrados, la segunda obliga a que la base sea un número primo y la tercera suma. El resultado, como era de esperar, coincide con los anteriores:

Algunas propiedades

Los números primos pueden ser del tipo 4k+1 o 4k+3 (salvo el 2), pero sus cuadrados son siempre del tipo 4k+1, como se observa en estos desarrollos:

(4k+1)²=16k²+8k+1=4q+1

(4k+3)²=16k²+24k+9=4r+1

Esto hace que, al sumarlos, el 1 se vaya acumulando a 2, 3, 0, 1, 2…Los restos de estas sumas respecto al módulo 4 recorrerán el ciclo 0, 1, 2, 3…

Lo vemos en esta tabla, en la que hemos aplicado la función RESIDUO de Excel y Calc con módulo 4.

Así que cada dos sumas nos encontraremos con un número par, y cada dos ellos con un múltiplo de 4.

Si relacionamos los restos con los valores de N nos resulta:

Las sumas de orden 2n-1 son todas pares.

Las de orden 4n-3 son múltiplos de 4

De igual forma, sabemos que todos los primos son del tipo 6k+1 o 6k-1 (salvo el 2). Sus cuadrados serán:

(6k+1)² = 36k²+12k+1=12m+1

(6k-1)² = 36k²-12k+1=12m+1

Así que en cada sumando (salvo el primero, 4) recorrerá es sus restos respecto a 12 todos los valores desde 0 hasta 11. Lo puedes comprobar aquí:

De esta tabla se deduce que las sumas de orden 3n+1 son todas números múltiplos de 3, pues equivalen a 12m, 12m+3, 12m+6 o 12m+9.

Así podríamos ir descubriendo otras propiedades similares. Las tienes en la página http://oeis.org/A024450

Las demás sumas, como las del tipo 12k+7 pueden ser números primos. Vemos que es posible, que en la segunda columna de la siguiente tabla son todos primos.

En la tabla se observa algo esperable, y es que los restos módulo 12 solo pueden ser 1, 5, 7 y 11, aunque aquí no forman una sucesión periódica. También en los valores de N faltan los considerados en los párrafos anteriores, como 2n-1, 3n+1, 4n-3,…Es evidente que todos son pares.

Están publicados en http://oeis.org/A098562

Parece ser que el único cuadrado en la suma de cuadrados de primos es el 4 (conjetura). No se han encontrado cubos. De la sucesión de Fibonacci aparecen  13 y 377. De triangulares aparecen dos, 666 y 5022865. De oblongos no aparecen.

 

Suma de cubos de primos

Aquí no se esperan propiedades destacadas, pero lo intentamos.

Las primeras sumas de cubos de primos son del tipo:

(4k+1)³=64k³+48k²+12k+1=4m+1

(4k-1)³=64k³-48k²+12k-1=4m-1=4m+3

Los restos 1 y 3, al sumarse, producen todos los restos posibles: +1=2, 1+2=3, 1+3=0, 0+1=1,…Así, en la siguiente tabla aparecen todos los restos módulo 4:

Esto nos abre posibilidades de buscar primos y, ciertamente, se encuentran con relativa facilidad:

503, 15803, 35287433, 106954091, 3024050339, 3661922443, 7223017657, 10412687891, 11190761311, 12004517137, 25886083477, 36501131837,…

En este tema casi todo está ya publicado. Estos pertenecen a http://oeis.org/A066525 y no parecen tener propiedades interesantes.

 

 

 

Suma de los primeros primos y sus potencias (1)

En esta entrada y la siguiente vamos a trabajar un poco con las sumas de los primeros primos, y ampliaremos a alguna potencia. La idea es encontrar curiosidades o propiedades, así como la naturaleza de esas sumas.

Herramientas previas con Excel y Calc

Comenzamos con una función que sume potencias de los primeros primos:

Public Function sumprimoene(a, k) As Long

Dim prim, n, s As Long

prim = 2 ‘Primer primo

n = 1 ‘Contador

s = 2^k ‘Primera suma

While n < a

prim = primprox(prim) ‘A cada primo le encontramos el siguiente

n = n + 1 ’Se incrementa el contador

s = s + prim ^ k ‘Sumamos la potencia del primo

Wend

sumprimoene = s

End Function

Por ejemplo, con esta función obtenemos la suma de los cubos de los primeros 15 primos:

SUMPRIMOENE(15;3)=385054

Podemos comprobarlo con esta tabla:

Versión PARI

La función básica en PARI es similar. Hemos usado la siguiente función IS en los valores 15 (número de primos) y 3 (exponente):

is(a,k)={my(s=2^k,n=1,p=2);while(n<a,p=nextprime(p+1);n+=1;s=s+p^k);s}

print(is(15,3))

En la web de PARI/GP hemos introducido este código para comprobar el resultado

 

Versión elemental con el Buscador

Nuestro Buscador de Naturales (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador) suma primos, y veremos en la siguiente entrada que también puede sumar potencias. Basta escribir la condición PRIMO y la de EVALUAR TOTALES. En la imagen figuran los primeros primos y sus sumas parciales:

El resultado es 160.

Suma de primos igual a un primo

La suma de los primeros primos puede ser también un número primo. El primer caso elemental, además del mismo 2, es el 2+3=5, y el siguiente, 2+3+5+7=17

Con la función ya explicada en VBA de Excel se puede establecer una búsqueda sencilla de primos que son suma de los primeros primos. El resultado es:

En la primera columna figura el número de primos sumados y en la segunda el primo resultante. Estos últimos están publicados en http://oeis.org/A013918

 

A013918              Primes equal to the sum of the first k primes for some k.                   

2, 5, 17, 41, 197, 281, 7699, 8893, 22039, 24133, 25237, 28697, 32353, 37561, 38921, 43201, 44683, 55837, 61027, 66463, 70241, 86453, 102001, 109147, 116533, 119069, 121631, 129419, 132059,

Nos vale en PARI el procedimiento publicado por Michael B. Porter en esa página:

n=0; forprime(k=2, 2300, n=n+k; if(isprime(n), print(n)))

Aquí aprovecha que forprime recorre los primos rápidamente.

Procedimiento con el Buscador

El carácter elemental de esta herramienta no permite bucles como los usados hasta ahora, pero una instrucción reciente nos permite visualizar los mismos resultados:

Indica que busquemos primos cuya suma sea también prima. Resulta:

Resalta en la lista los totales que son primos.

Otros resultados

La suma puedes ser un cuadrado, aunque no abundan los resultados.

Cuadrados

Procedimientos similares a los anteriores nos dan hasta seis soluciones. Por ejemplo, con PARI usamos

n=0; forprime(k=2, 2*10^6, n=n+k; if(issquare(n), print1(n,", ")))

Obtenemos cuatro fácilmente:

Están publicados en http://oeis.org/A061890

100, 25633969, 212372329, 292341604, 3672424151449, 219704732167875184222756

Como estamos comparando números de naturaleza distinta, no es fácil descubrir propiedades.

Triangulares

Para saber si un número T es triangular basta con exigir que 8*T+1 sea cuadrado. Corregimos el código PARI y queda:

n=0; forprime(k=2, 2*10^6, n=n+k; if(issquare(8*n+1), print1(n,", ")))

Lo ejecutamos en la web de PARI:

También están publicados:

http://oeis.org/A066527

A066527              Triangular numbers that for some k are also the sum of the first k primes.         

10, 28, 133386, 4218060, 54047322253, 14756071005948636, 600605016143706003, 41181981873797476176, 240580227206205322973571, 1350027226921161196478736

Otros ejemplos

De números oblongos solo hemos encontrado el 2 entre los menores de 2*10^7. De cubos, ninguno. De la sucesión de Fibonacci, tres: 2, 5 y 2584 (entre los menores de 7*10^7)

Es normal que no se encuentren muchos.

Regresos 7 – Otros automórficos

 

En el año 2009 publiqué un pequeño reto sobre cuadrados automórficos

https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/05/numeros-automorficos.html

Los números de la primera columna de la siguiente tabla

son automórficos.

Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.

¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?

La pista que daba la segunda tabla era que a²-a = a(a-1) = N*10

Años más tarde, en 2013, se estudiaron los primos automórficos, que poseen como últimas cifras su número de orden como primo.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/11/primo-que-tienes-que-ver-con-tu-numero.html

Ahora nos dedicaremos, fundamentalmente, a los números poligonales que sean automórficos. Como los cuadrados son poligonales, incluiremos lo que aparezca de nuevo respecto a la entrada de 2009.

Estos números poseen una fórmula general, y la usaremos en las búsquedas, y si se requiere un estudio algebraico, la simplificaremos para cada caso en particular.

Función de búsqueda

Los poligonales los tenemos muy estudiados en este blog y están contenidos en nuestra publicación

http://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf

Las fórmulas para su formación las puedes estudiar en ella. Aquí las usaremos en su versión para hojas de cálculo:

Function poligonal(n, k)

poligonal = n * (n * (k - 2) - (k - 4)) / 2

End Function

En ella n es el orden o longitud del “lado” y k el tipo, o número de lados.

Una vez contemos con esta función podremos buscar los casos automórficos. La plasmamos así:

Function autopolig(n, k) 'Devuelve el poligonal dado su índice si es automórfico

Dim b, l, u

Dim s$, t$

b = poligonal(n, k) ‘Busca el poligonal

t = ajusta(b) ‘Se convierten los datos a String

s = ajusta(n)

l = Len(s$) ‘Ahora se ve si coinciden las cifras

If s = Right(t, l) Then u = Val(t) else u=0

autopolig = u

End Function

Con esta función podemos buscar poligonales automórficos, a los que llamaremos polimórficos. Con esto se podría dar por terminada la cuestión, porque nos da fácilmente todas las soluciones, pero deseamos estudiar también cada caso por separado. Aquí tenemos algunos listados:

Triangulares: 1, 15, 325, 195625, 43959376, 4106490625,… http://oeis.org/A219253

Cuadrados: , 1, 25, 36, 625, 5776, 141376, 390625, 87909376, 8212890625,… http://oeis.org/A035383

Pentagonales: 1, 35, 925, 585625, 131859376, 12319290625

Estudiaremos ahora cada tipo en particular para casos interesantes.

Triangulares

En el caso de los triangulares el automorfismo se puede expresar con su fórmula clásica N(N+1)/2:

N(N+1)/2 = N módulo 10^m siendo m el número de cifras de N

Lo podemos expresar de forma más sencilla:

N(N+1)-2N=N²+N-2N=N²-N=N(N-1) = 0 (mod 10^m

Por ejemplo, 325 es automórfico, porque su número de orden es 25, y se cumple que 25(25-1)=25*24=600, que es múltiplo de 10², siendo 2 el número de cifras de 25

Tenemos listado de estos números: 1, 15, 325, 195625, 43959376, 4106490625, 396606890625, 25271617109376, 83084112890625, 22661209212890625, 1596879961787109376, 3344565630081787109376, 1795096118003159918212890625

… http://oeis.org/A219253

Vemos que el problema se vuelve algo intratable. Con la propiedad anterior se puede abordar con hoja de cálculo sin gran coste de tiempo. Usamos la función siguiente, similar a la general, en la que hemos integrado la condición modular:

Function trimorfico(n)

Dim a, b, u, l

Dim s$, t$

a = numcifras(n)

If n * (n - 1) Mod 10 ^ a = 0 Then

b = n * (n + 1) / 2

t = ajusta(b)

s = ajusta(n)

l = Len(s$)

If s = Right(t, l) Then u = Val(t) Else u = 0

End If

trimorfico = u

End Function

Con algunos segundos de tiempo se consiguen varios términos:

Esto anima a intentar el mismo proceso con PARI. El código es algo complejo:

issub(vv, v) = {for (i=1, #v - #vv + 1, if (vector(#vv, k, v[k+i-1]) == vv, return(1)); ); }

substring(ss,s)={my(vv=Vec(ss),v=Vec(s));return(issub(vv,v))}

trimorf(n)={my(a,b,u=0,l,s="",t="");a=#Str(n);if(n*(n-1)%10^a==0,b=n*(n+1)/2;t=Str(b);s=Str(n);u=substring(s,t));if(u>0,return(b))}

for (i=1,10^7,m=trimorf(i);if(m>0,print(m)))

Con él se llega más lejos que con hoja de cálculo:

Este ejemplo ilustra la conveniencia de una condición previa para acelerar la velocidad de un algoritmo.

Cuadrados

Con este ejemplo comenzamos el tema en el año 2009. Lo completamos ahora.

Podemos usar la función autopolig con la fórmula n^2, pero merece la pena buscar una condición como procedimos con los triangulares:

N² = N módulo 10^m siendo m el número de cifras de N

N²-N=N(N-1) = 0(mod 10^m

Resulta la misma condición que para los triangulares. En realidad, es similar a la condición de exigir que N termine en una de las cifras 1, 5 o 6, que son las únicas terminaciones que coinciden con sus cuadrados.

Si cambiamos n*(n-1)/2 por n^2 en la función anterior nos resultan bien las soluciones para cuadrados:

Los valores de N coinciden con los primeros de los publicados en http://oeis.org/A003226: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, 259918212890625, 740081787109376 

Los valores de N² los podemos lograr con la misma sustitución en el código PARI:

Otros poligonales

Antes de pasar a algunos casos particulares, es fácil plantear que la condición en la que coinciden triangulares y cuadrados es válida para otros poligonales:

N²-N=N(N-1) = 0(mod 10^m

Es sencilla su justificación, basada en la fórmula general del poligonal de lado n y número de lados k:

P(n,k)=n(n(k-2)-(k-4))/2

Con ella se justifica fácilmente:

N(N*(k-2)-(k-4)/2=N mod 10^m

(k-2)N²-(k-4)N=2N mod 10^m

(k-2)(N²-N)=0 mod 10^m

Si k-2 es primo con 100 (sin factores 2 y 5) vale el criterio para todos esos poligonales, y en ellos se simplifica la búsqueda con seguridad, aunque aparecerán otros casos.

Pentagonales

La fórmula de los números pentagonales (además de la general para poligonales usada en autopolig) es (3n²-n)/2. Podemos aplicarle el filtro del módulo, porque k-2=5-2=3 en este caso, primo con 10. El resultado, tanto con ese filtro como sin él, es el mismo:

1, 35, 925, 585625, 131859376, 12319290625,…

Con la adaptación a PARI se llega más lejos en la segunda columna:

Los valores de la primera columna cinciden con los de los triangulares, por ser 5-2 primo con 10.

Hexagonales

En estos aparecen más casos, porque k-2=6-2=4 no es primo con 10. Por esa abundancia, el algoritmo autopolig funciona con más rapidez:

Los valores de N están publicados en http://oeis.org/A039594 y los de HEX(N) en http://oeis.org/A038494

Soluciones universales

 En la equivalencia que hemos usado como filtro para los poligonales, (k-2)(N²-N)=0 mod 10^m , los elementos que cumplan (N²-N)=0 mod 10^m figurarán en todos ellos como automórficos, porque no les afecta el valor de (k-2). Son soluciones universales, que figuran en todos los casos que hemos estudiado hasta ahora. Coinciden con los valores de N en los triangulares, y son

1, 5, 25, 625, 9376, 90625, 890625, 7109376,…

Si recorres con autopolig los distintos tipos de poligonales, verás que estos valores pertenecerán a todos ellos. Por ejemplo, creamos la sucesión para decágonos (k=10):

1, 5, 6, 25, 26, 50, 51, 75, 76, 125, 126, 250, 251, 375, 376, 500, 501, 625, 626, 750, 751, 875, 876, 1876, 2500, 2501, 3125, 4376, 5000, 5001, 5625, 6876, 7500, 7501, 8125, 9376, 15625, 25000, 25001, 34376, 40625, 50000, 50001, 59376, 65625, 75000, 75001, 84376, 90625, 109376, 140625, 250000, 250001, 359376, 390625, 500000, 500001, 609376, 640625, 750000, 750001, 859376, 890625, 2109376, 2500000, 2500001, 2890625, 4609376, 5000000, 5000001, 5390625, 7109376, 7500000, 7500001, 7890625, 9609376,…

Figuran en negrita los valores universales, que pertenecen a todas las sucesiones dependientes de poligonales. Es un interesante resultado. Por ejemplo, en esta tabla figuran el número de lados k y los poligonales correspondientes al 9376:

Todos terminan en las cifras 9376.