Diversos órdenes de la función TAU

Una extensión de la definición de la función TAU, que es la que cuenta los divisores de un número, puede ser la que resuma las descomposiciones en dos factores, N=x*y, o, ya puestos, las de tres factores N=x*y*z, o cuatro. Así podríamos definir TAU_1, TAU_2, TAU_3,…según el número de esos factores.

En este blog hemos aludido alguna vez a la descomposición de un número en tres factores, pero sin tener en cuenta el orden de los mismos, que elegíamos ordenados en orden creciente.

Por ejemplo, se tratan en https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/04/productos-de-tres-divisores-13.html y siguientes

En esta entrada dedicaremos una pequeña referencia a TAU_2, que en realidad es la función TAU tradicional, para después dedicarnos a TAU_3 y TAU_4. A partir de ellas no es difícil estudiar las siguientes.

 

Función TAU_2(n)

Si buscamos todos los pares ordenados de divisores de N cuyo producto es N, en realidad estamos contando los divisores simples, porque cada divisor posee un complementario (N/d) respecto a N que también es divisor de N, lo que duplica su presencia en los productos.

En síntesis: TAU_2(N) = TAU(N)

Es lo único que estudiaremos de esta función, muy conocida y también muy usada en este blog.

Según el razonamiento anterior, contar divisores de un número N equivale a contar soluciones ordenadas de la ecuación N=x*y con x e y positivos.

Lo podemos comprender mejor con un ejemplo concreto. Hemos elegido el número 84:

El número de divisores de 84, o TAU(84), se calcula a partir de la descomposición factorial: 84=2²*3*7, aplicando la conocida fórmula del producto de exponentes incrementados en una unidad:

TAU(84)=(1+2)(1+1)(1+1)=12.

Los doce divisores son: 84, 42, 28, 21, 14, 12, 7, 6, 4, 3, 2 y 1

Viene bien recordar que el valor de TAU sólo depende de la signatura prima, que es el conjunto de exponentes, y no de los factores primos.

Por otra parte, las soluciones de 84=x*y se pueden encontrar con nuestra herramienta Cartesius (http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Con ella podemos usar el siguiente planteo:

Se sigue fácilmente: Combinar dos números, entre 1 y 84, que sean ambos divisores de 84, y que su producto sea también 84. Resultan las soluciones:

Como cada divisor d posee un único complementario N/d para conseguir el 84, es evidente que resultarán también 12 soluciones, con lo que comprobamos que esta forma de definir TAU es válida.

 

Función TAU_3(n)

Ya se indicó más arriba que la descomposición en tres factores ya se ha abordado en este blog, pero ahora consideraremos todas las ordenaciones posibles de las tres soluciones de la ecuación N=x*y*z. No es difícil razonar cómo encontrar el número de soluciones. Basta considerar que z ha de tomar todos los valores posibles de divisores de N, y que x*y serían entonces todos los productos posibles del complementario de z, N/z. Por tanto, cada valor de z se combinará con las soluciones de N/z=x*y, que vimos más arriba que coinciden con el número de divisores de N/z. Por tanto TAU_3(N) se encuentra sumando los números  de divisores de cada divisor de N.

Lekraj Beedassy lo expresa muy bien en OEIS: “Number of divisors of n's divisors”.

Lo comprobaremos de varias formas con el mismo ejemplo del 84. Comenzaremos con Cartesius:

El mismo plantamiento que con dos factores, adaptándolo a tres. Resultan entonces 54 soluciones.

Ahora lo resolveremos con una función para Excel o Calc:

Public Function tau_3(n)

Dim i, j, s

 

s = 0 ‘Inicio del contador

For i = 1 To n

If n / i = n \ i Then ‘Recorre los divisores de N

For j = 1 To i

If i / j = i \ j Then s = s + 1 ’Aumenta el contador con “divisores de divisores”

Next j

End If

Next i

tau_3 = s

End Function

 

Si lo aplicamos al número 84, se confirma que TAU_3(84)=54

En https://oeis.org/A007425 están publicados los valores para los primeros números:

A007425 d_3(n), or tau_3(n), the number of ordered factorizations of n as n = r s t.

1, 3, 3, 6, 3, 9, 3, 10, 6, 9, 3, 18, 3, 9, 9, 15, 3, 18, 3, 18, 9, 9, 3, 30, 6, 9, 10, 18, 3, 27, 3, 21, 9, 9, 9, 36, 3, 9, 9, 30, 3, 27, 3, 18, 18, 9, 3, 45, 6, 18, 9, 18, 3, 30, 9, 30, 9, 9, 3, 54, 3, 9, 18, 28, 9, 27, 3, 18, 9, 27, 3, 60, 3, 9, 18, 18, 9, 27, 3, 45, 15, 9, 3, 54, 9, 9, 9, 30,…

Puedes comprobar valores con Cartesius o nuestra función.

Los códigos PARI publicados en esta página son tan ingeniosos, que es prferible copiar alguno. Por ejemplo:

a(n)=sumdiv(n, x, sumdiv(x, y, 1 )) \\ Joerg Arndt, Oct 07 2012

Pide sumar, para cada divisor de N, un 1 por cada uno de sus divisores, lo que equivale a contarlos. Lo probamos en la página web de PARI:

 for(i=1, 200, print1(sumdiv(i, x, sumdiv(x, y, 1 )),", "))

Coincide, como era de esperar, con los publicados.

 

Intervienen los números triangulares

Todos los resultados son productos de números triangulares y dependen de la signatura prima de N, y no de los valores de los factores primos.

Introducimos el tema con algunos ejemplos:

N es primo

En ese caso Tau_3(N)=3, porque los productos xyz posibles serían 11p,1p1, y p11, es decir T(1+1)=3, representando por T el triangular correspondiente. También podemos acudir a una partición plana que represente la segunda definición que hemos dado (https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_partition)

1  p

1

Es un esquema triangular de lado 2

 

N es semiprimo N=p*q con factores primos diferentes

Los productos xyz serían

N11, 1N1, N11, 1pq, 1qp, qp1, q1p, pq1, p1q son nueve, que coincide con T(1+1)T(1+1)=3*3=9

Como partición plana:

N  p  q  1

p 1

q 1

1

Resulta TAU_3(pq)=9

 

Para un semiprimo cuadrado

Los productos serían 11n,1n1, n11, 1pp, p1p, pp1 son seis: T(2+1)=T(3)=6

En representación de dos dimensiones:

N p 1

p 1

1

TAU_3(p²)=6

 

Para exponentes 2 y 1, como el 12:

Los productos serían 1(12)1, 11(12), (12)11, 143, 134, 413, 431, 314, 341, 223, 232, 322, 126, 162, 216, 261, 612, 621 son 18, T(2+1)T(1+1)=6*3=18

En un esquema de partición plana se organizarían así:

12   6   4   3   2   1

6   3   2   1

4   2   1

3   1

2   1

1

TAU_3(p²q)=18

Los divisores de los divisores resultan ser 18, ordenados.

Aquí nos detenemos. Hemos comprobado que para un factor el TAU_3(N) es un triangular, y para dos factores, un producto de triangulares. Pues bien, ese esquema se conserva, y si un número posee varios factores primos con diferentes exponentes, bastará sustituir en la fórmula de la función TAU los paréntesis por números triangulares

Lo podemos razonar descomponiendo la partición plana en diversas zonas cuando se añade un factor nuevo. Tomaremos el 12 como ejemplo y realizaremos un producto cartesiano entre los datos del 4 con los del 3

Hemos representado en colores distintos las zonas en las que se divide el producto cartesiano de seis filas y tres columnas:

En rojo figuran los elementos de TAU_3(4), los que había antes de incorporar el 3. En la tercera columna figuran los divisores en los que interviene el nuevo factor 3. Las zonas horizontales de distinto color representan los “divisores de divisores”, que son fundamentales en este estudio.

Es fácil comprender que obtendríamos un esquema similar si el nuevo factor estuviera elevado a un exponente mayor que 1. Ahí lo dejamos y nos creemos sin desarrollarlo que también se obtendría un producto de triangulares.

Sólo comprobaremos la fórmula con nuestras funciones. Por ejemplo, 72=2³*3², luego según la fórmula sugerida, tendríamos TAU_3(72)=T(1+3)T(1+2)=10*6=60

Con nuestra función

 

Con el código PARI de Joerg Arndt

print(sumdiv(72, x, sumdiv(x, y, 1 )))

Función TAU_4(n)

El estudio de TAU_3 nos ha abierto caminos y los hemos aprovechado con calma. Ahora sólo resumiremos algunos de ellos en los demás casos.

Si definimos TAU_4(N) como como el número de productos xyzu de cuatro factores (con ordenación) cuyo producto es N, podremos comenzar como en el caso de 3, con nuestra herramienta Cartesius. Sería así en nuestro ejemplo del 84:

Al combinar cuatro factores, el proceso es más lento, pero no excesivamente, y nos da un resultado de 160:

Algunas ideas sobre TAU_3(N) se pueden ampliar a TAU_4(N). La primera es que la frase “divisores de divisores” habrá que cambiarla por “Valores de TAU en divisores”, ya que, al añadir un factor nuevo en el producto xyzv, este no se combina con divisores, sino con productos que vimos al principio que representaban a TAU. Así, el esquema bidimensional no se rellenará con divisores, sino con su número de divisores. Recordemos que en TAU_3 usábamos este esquema

12   6   4   3   2   1

6   3   2   1

4   2   1

3   1

2   1

1

Ahora deberíamos sustituir cada divisor por el valor de TAU (número de divisores) en cada uno. Lo hemos efectuado en Excel relacionando los dos esquemas:

Como podemos observar, TAU_4(12)=40.

Podíamos añadir un bucle a nuestra función en VBasic para TAU_3, pero resultaría algo lenta. Por otra parte, no es difícil la comprobación con Cartesius, cambiando datos en las condiciones que usamos para el 84. Sin embargo, parece más útil comprobar el cálculo recordando la fórmula para TAU_3 que usa números triangulares

En efecto, para TAU_4 se pueden sustituir por tetraedros, pirámides triangulares, ya que las posibilidades dependen de tres dimensiones. Esta idea es correcta y se puede aplicar en este caso. Hay que recordar que la fórmula del tetraedro de orden n es TE(n)=n(n+1)(n+2)/6 (ver nuestra publicación Números piramidales:

 http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf)

En el caso de 12 quedaría:

12=2²*3

TAU4_(12)=TE(1+2)*TE(1+1)=3*4*5/6*2*3*4/6=10*4=40

Con ello queda comprobada esta técnica, que se amplía a TAU_5, TAU_6,…aumentando dimensiones a las pirámides.

Puedes repasar todo en la sucesión https://oeis.org/A007426, en la que están publicados los primeros valores de TAU(N):

1, 4, 4, 10, 4, 16, 4, 20, 10, 16, 4, 40, 4, 16, 16, 35, 4, 40, 4, 40, 16, 16, 4, 80, 10, 16, 20, 40, 4, 64, 4, 56, 16, 16, 16, 100, 4, 16, 16, 80, 4,…

Con esto, podemos seguir ampliando productos, pero con lo que tenemos ya se comprende la esencia de estas funciones TAU.