Menor múltiplo oblongo

Para su uso en los cálculos diarios que publico en Twitter, visito casi a diario la página The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!, (OEIS), http://oeis.org, fundada por N. J. A. Sloane. En la primavera de 2022 me llevé la sorpresa de ver una sucesión suya, del año 2021, referente a divisores de números oblongos. El tema de estos números no es muy popular en OEIS, y por eso me sorprendió verlos tratados por el mismo fundador de la página. Esto me ha llevado a tratar el tema con la mayor amplitud posible, según las sucesiones A345988 y A344005.

Lo que plantea N. J. A. Sloane en sus sucesiones es encontrar el oblongo más pequeño que es divisible entre un número dado. Si llamamos n a ese número, es claro que tiene dos múltiplos oblongos con seguridad, n(n+1) y (n-1)n. Por eso, se puede plantear una búsqueda infinita, como figura en OEIS, con la certeza  de que se detendrá:

(PARI) a(n) = for(m=1, oo, if((m*(m+1))%n==0, return(m))) \\ Felix Fröhlich, Jun 04 2021

Lo planteamos para hoja de cálculo en VBASIC. Como no podemos usar el símbolo de infinito, nos serviremos de un bucle WHILE sin fin:

Function menoroblongo(n)

Dim m, o

m = 1 ‘Comenzamos la búsqueda con 1

o = m * (m + 1) ‘Creamos el oblongo

While o Mod n <> 0 ‘Mientras no sea divisible, avanzamos el WHILE

m = m + 1

o = m * (m + 1)

Wend

menoroblongo = o

End Function

Se podía plantear con más eficiencia, pero funciona con rapidez y la hemos dejado así. Con esta función podemos encontrar las mismas soluciones de Sloane:

Uso del Buscador de Naturales

Nuestra herramienta de búsqueda de números naturales permite encontrar el menor oblongo múltiplo de un número dado. Lo que no puede construir es un listado como el de la tabla anterior, pero para explicar el concepto, a nivel elemental, nos vale.

Se puede descargar desde (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)

En la captura de pantalla siguiente figura la búsqueda en el caso de 80. Hemos buscado entre 80 y 6480=80*81, con las condiciones de ser oblongo y múltiplo de 80. Vemos que la solución es 240 como mínimo oblongo:

Casos particulares

Potencia de un primo

Si n es una potencia de un primo p, es claro que cualquier oblongo m(m+1) múltiplo de n ha de contener el factor primo p, luego lo contendrá m o m+1, porque no se puede repartir entre ellos, luego el mínimo será (n-1)n

El mínimo oblongo múltiplo de p^k (p primo) es (p^k-1)p^k

Así, el número 243=3^5 poseerá como menor oblongo múltiplo el 242*243=58806.

Es fácil comprobarlo con el Buscador:

Los dos únicos oblongos de la solución son 242*243 y 243*244. En las factorizaciones destaca el número 3 repetido cinco veces, luego son múltiplos de 243.

Números que solo poseen dos factores primos

Si un número presenta la factorización N=p^a * q^b con p y q primos, es claro que en un oblongo m(m+1) m será múltiplo de uno de los primos, y m+1 lo será del otro. Esto nos lleva a una ecuación diofántica: p^ax - q^by = ±1

Esta ecuación siempre tendrá solución, al ser los coeficientes primos entre sí, y la duda será si el segundo miembro deberá valer 1 o -1 y si las soluciones serán positivas.

Por ejemplo, el número N=3²*5³=1125 poseerá un oblongo múltiplo si 3²x - 5³y = ±1

Si tomamos el valor 1, será x=(1+125y)/9, con lo que habrá que buscar múltiplos de 125 que al sumarles 1 sean múltiplos de 9

Creamos una tabla con esos cocientes:

Observamos que (1, 14) es una solución y, en efecto, 14*9=126 y 1*125=125, luego m=125 y m+1=126, con lo que su producto será un oblongo múltiplo de 1125, 15750. Pero la cuestión es que no sabemos si es el mínimo, porque más abajo hay otra solución, 10, 139, en la que 139*9=1251 y 10*125=1250, con lo que el oblongo sería 1250*1251, claramente mayor que 15750.

A esto hay que añadir que habrá que repetir todo con el caso -1.

En nuestro ejemplo aparecería la solución 8, 111, es decir 8*125=1000 y 111*9=999, que también sería válida.

Vemos que la resolución es posible, pero que no nos garantiza el carácter de mínimo múltiplo.

Estudio diofántico

Podemos plantear

125x-9y=1 o bien 12x-9y=-1

Usamos WolframAlpha:

Caso +1

Paramétricas:

Caso -1

Paramétricas:

Se observa que en las dos paramétricas el mínimo valor positivo se alcanza si n=0.

En la primera tendríamos x=8, y=111, con lo que m=999 y m+1=1000, resultando el oblongo 999000.

En la segunda, x=1 y=14, m=125, m+1=126 y el oblongo el ya conocido

En la práctica es más rápido usar el Buscador ya que sabemos que existen soluciones.

En la siguiente captura de pantalla observamos que se ha buscado un oblongo múltiplo menor que 15750 y no se ha encontrado, luego este es el mínimo:

Caso general

Para un número con más de dos factores primos, bastará agruparlos en dos productos cuyos factores sean primos entre sí, y aplicar la misma técnica de ecuación diofántica, además de las técnicas de búsqueda ya estudiadas. Para encontrar el mínimo deberemos recorrer todos los pares de factores unitarios. Puedes leer la propuesta de Sloane en la sucesión A344005.