Alternativa a Faulhaber

 En muchas ocasiones puede interesar sumar las primeras potencias de los números naturales. Están publicados todos los casos populares, como sumas de cuadrados o de cubos, y existe una fórmula, atribuida a Faulhaber, que nos da el resultado para cualquier exponente. En el siguiente recorte de Wikipedia puedes estudiarla.

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber

El problema que tiene esta fórmula para un uso elemental es que requiere conocer los números de Bernouilli.

El procedimiento que explicaremos a continuación es una alternativa para encontrar el valor de la suma de una sucesión de potencias o expresiones polinómicas con Excel o Calc. Se debe tomar como un simple entretenimiento, aunque en algunas situaciones puede resultar útil.

Un ejemplo: Cuadrados de oblongos:

Explicamos el procedimiento con un ejemplo, como sería encontrar una fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros oblongos, es decir de la expresión n²(n+1)².

A) Creamos la sucesión:

Con las hojas de cálculo es muy fácil encontrar las primeras sumas de cualquier sucesión. En este caso hemos ido creando columnas para N(N+1), que son los oblongos, sus cuadrados N²(N+1)² y sus sumas sucesivas.

Con esto ya sabemos que la sucesión 4, 40, 184, 584, 1484, 3248, 6384,…es la que requiere una fórmula similar a las de Faulhaber. Para continuar debemos basarnos en dos conjeturas:

1) La fórmula buscada creemos que será de tipo polinómico.

2) Intuiremos de alguna forma qué grado puede tener ese polinomio. Esta segunda no es tan importante, pero nos ayudará en el siguiente paso.

B) Aplicamos la interpolación de Newton:

La búsqueda de una fórmula polinómica que resuma un conjunto de valores es una interpolación. Disponemos de una hoja de cálculo que encuentra esa fórmula para los valores 1, 2, 3, 4,…mediante la interpolación de Newton:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

(Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Newton)

Este método se adapta bien a la estructura de Excel y Calc. En nuestra hoja basta escribir los primeros términos y observar las diferencias que se producen. Conviene usar todos los que entren en el esquema (máximo 7). Si se conoce el grado del polinomio, se pueden usar menos. Esta sería la situación para el caso de cuadrados de oblongos:

Observamos que la diferencia sexta ya es 0, con lo que el grado del polinomio será cinco, como se ve en los coeficientes de abajo, que son seis.

Estos coeficientes actúan sobre los polinomios 1, (x-1), (x-1)(x-2), (x-1)(x-2)(x-3),…y esa es la mayor dificultad de esta interpolación, porque el resultado en este caso sería

4+36*(x-1)+54*(x-1)*(x-2)+74/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)+4*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+1/5*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

(Ya se han simplificado los coeficientes)

C) Desarrollamos el polinomio interpolador:

Este resultado podría ser descorazonador, pero para su simplificación contamos con los programas CAS ((Computer Algebra System) En este blog se suele usar la Calculadora Wiris, gratuita y extendida en la enseñanza.

https://calcme.com/a

Copiamos nuestra monstruosa fórmula en ella y pulsamos sobre el signo =

Ya hemos conseguido el objetivo: la suma de los cuadrados de los oblongos sigue la fórmula x⁵/5+x⁴+5/3x³+x²+2/15x

Sustituimos el polinomio en la tabla para comprobar

Luego la fórmula queda:

La podemos factorizar con Wiris:

Estas son las etapas del proceso. Nos basamos en Excel y Calc, en nuestra hoja de interpolación y en un CAS. En la mayoría de los casos obtendremos el polinomio adecuado. Puede que el grado requerido sea mayor, con lo que habría que ampliar el esquema de cálculo, pero ese trabajo es algo complejo.

Repetimos el trabajo con oblongos, Lo dejamos con redacción escueta:

Sumas de oblongos

Debemos buscar una fórmula para 2, 8, 20, 40, 70, 112, …

Interpolamos

Observamos que son nulas las diferencias a partir de la cuarta, luego obtendremos un polinomio de tercer grado. Sería este

2+6*(x-1)+3*(x-1)*(x-2)+1/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)

Con wiris

Factorizando con la misma calculadora:

Luego es el doble del combinatorio C(x+2,3), como puede verse en http://oeis.org/A007290

En este caso nos hemos limitado a comprobar, porque esta suma ya está resuelta.

Como un ejemplo del uso de esta fórmula puedes distraerte con mi entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/suma-de-numeros-oblongos-consecutivos.html

 

Suma de potencias cuartas

Por último, reproduciremos una de las fórmulas más conocidas de Faulhaber, la que suma potencias cuartas.

(Fuente: Wikipedia)

Seguimos los pasos sugeridos.

Construimos la sucesión:

Como sabemos que el grado de la fórmula de Faulhaber es 5, interpolaremos con al menos seis elementos.

Interpolación

A partir de los coeficientes de abajo construimos el polinomio:

1+16*(x-1)+65/2*(x-1)*(x-2)+55/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)+7/2*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+1/5*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

Simplificamos con Wiris

Si reducimos todo a denominador 30, coincidirá con la fórmula de Faulhaber correspondiente.