Semiprimos vecinos de cuadrados

Los semiprimos vecinos de cuadrados, es decir, del tipo n²+1 y n²-1, presentan propiedades interesantes. A los números de este tipo, sean o no semiprimos, les hemos dedicado algún estudio. Por ejemplo, en un regreso reciente:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html

Usaremos algún resultado procedente del mismo en el caso particular de los semiprimos.

Semiprimos del tipo n²+1

En primer lugar, localizaremos los primeros semiprimos del tipo n²+1. Usaremos el Buscador de Naturales, que da una imagen bastante clara:

En la imagen se percibe que todos los semiprimos son del tipo N=pq, libres de cuadrados, y es lógico, porque no existen cuadrados que sean números consecutivos.

Era de esperar que ya estuvieran publicados

(ver https://oeis.org/A144255)

En esa página de OEIS se destaca que el menor factor primo de N ha de ser estrictamente menor que n²+1. Además, no todos los números primos pueden ser factores de n²+1.

En la entrada relacionada más arriba se da un listado de ellos. Copiamos unos párrafos:

Según la definición de resto cuadrático, si un compuesto del tipo C=n²+1 tiene un divisor primo p, -1 deberá ser resto cuadrático módulo p, tal como vimos en el caso de los primos. Esto es muy importante, porque ningún número compuesto n²+1 podrá ser múltiplo de p si este no admite resto -1. Sería el caso de 23: ningún elemento de la sucesión http://oeis.org/A002496 será múltiplo de 23.

En la sucesión http://oeis.org/A070303 figuran aquellos primos que no pueden ser divisores de un compuesto del tipo n2+1:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Así que, por ejemplo, ningún número múltiplo de 7 puede convertirse en cuadrado al restarle una unidad.

Si recorremos los semiprimos de este tipo comprobaremos que los primos de esta lista no figuran entre sus factores. Son, de hecho, los primos del tipo 4k+3. Sólo los primos del tipo 4k+1 y el 2 pueden ser factores del semiprimo n²+1.

Estos primos del tipo 4k+1 (y el 2) se descomponen en suma de dos cuadrados de forma única, lo que se transmite al semiprimo producto, que se podrá expresar como (a²+b²)(c²+d²). Como curiosidad, hemos construido esos productos para los primeros casos:

Como el semiprimo también es una suma de cuadrados, hemos creado una operación entre tres sumas del mismo tipo.

 Semiprimos del tipo n²-1

En este caso, la única descomposición de un semiprimo deberá ser (n-1)(n+1), es decir, primos gemelos. Si buscamos las primeras soluciones obtendremos:

Tal como era de esperar, todos los factores son primos gemelos. Como este par sigue el tipo 6k-1 y 6k+1 a partir del 5 y 7, el semiprimo presentará el tipo 36k²-1 a partir del 35. También podemos afirmar que el cuadrado “vecino” del semiprimo es múltiplo de 36.

Igualmente, todos los semiprimos serán congruente con 8 (o con -1) módulo 9, y la suma de sus cifras tendrá la misma propiedad. Por ejemplo, en 656099 se cumple que 6+5+6+0+9+9=35, que es congruente con 8 módulo 9.

En la página https://oeis.org/A037074 podemos encontrar varias curiosidades sobre estos números, pero ninguna es de gran trascendencia.