Los semiprimos vecinos de cuadrados, es decir, del tipo n2+1 y n2-1, presentan propiedades interesantes. A los números de este tipo, sean o no semiprimos, les hemos dedicado algún estudio. Por ejemplo, en un regreso reciente:
https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html
Usaremos algún resultado procedente del mismo en el caso
particular de los semiprimos.
Semiprimos del tipo n2+1
En primer lugar, localizaremos los primeros semiprimos del
tipo n2+1. Usaremos el Buscador de Naturales, que da una imagen
bastante clara:
En la imagen se percibe que todos los semiprimos son del tipo N=pq, libres de cuadrados, y es lógico, porque no existen cuadrados que sean números consecutivos.
Era de esperar que ya estuvieran publicados
(ver https://oeis.org/A144255)
En esa página de OEIS se destaca que el menor factor primo
de N ha de ser estrictamente menor que n2+1. Además, no todos los
números primos pueden ser factores de n2+1.
En la entrada relacionada más arriba se da un listado de
ellos. Copiamos unos párrafos:
Según la definición de
resto cuadrático, si un compuesto del tipo C=n2+1 tiene un divisor
primo p, -1 deberá ser resto cuadrático módulo p, tal como vimos en el caso de
los primos. Esto es muy importante, porque ningún número compuesto n2+1
podrá ser múltiplo de p si este no admite resto -1. Sería el caso de 23: ningún
elemento de la sucesión http://oeis.org/A002496 será múltiplo de 23.
En la sucesión
http://oeis.org/A070303 figuran aquellos primos que no pueden ser divisores de
un compuesto del tipo n2+1:
3, 7, 11, 13, 19, 23,
29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113,
127,…
Así que, por ejemplo,
ningún número múltiplo de 7 puede convertirse en cuadrado al restarle una
unidad.
Si recorremos los semiprimos de este tipo comprobaremos que
los primos de esta lista no figuran entre sus factores. Son, de hecho, los
primos del tipo 4k+3. Sólo los primos del tipo 4k+1 y el 2 pueden ser factores
del semiprimo n2+1.
Estos primos del tipo 4k+1 (y el 2) se descomponen en suma
de dos cuadrados de forma única, lo que se transmite al semiprimo producto, que
se podrá expresar como (a2+b2)(c2+d2).
Como curiosidad, hemos construido esos productos para los primeros casos:
Como el semiprimo también es una suma de cuadrados, hemos creado una operación entre tres sumas del mismo tipo.
En este caso, la única descomposición de un semiprimo deberá
ser (n-1)(n+1), es decir, primos gemelos. Si buscamos las primeras soluciones
obtendremos:
Tal como era de esperar, todos los factores son primos gemelos. Como este par sigue el tipo 6k-1 y 6k+1 a partir del 5 y 7, el semiprimo presentará el tipo 36k2-1 a partir del 35. También podemos afirmar que el cuadrado “vecino” del semiprimo es múltiplo de 36.
Igualmente, todos los semiprimos serán congruente con 8 (o
con -1) módulo 9, y la suma de sus cifras tendrá la misma propiedad. Por
ejemplo, en 656099 se cumple que 6+5+6+0+9+9=35, que es congruente con 8 módulo
9.
En la página https://oeis.org/A037074 podemos encontrar varias curiosidades sobre estos números, pero ninguna es de gran trascendencia.
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