Goldbach con semiprimos

(Ver entradas anteriores sobre números semiprimos)

Al igual que en la conjetura de Goldbach, que descomponemos todo número par en suma de dos primos, aquí podemos intentar un proceso igual con semiprimos, pero sin la condición de que el número sea par. Después intentaremos pasar a más sumandos.

Suma de dos semiprimos

No es difícil, si se posee la función ESSEMIPRIMO, descomponer un número en suma de semiprimos. Además, si consultamos https://oeis.org/A072931,  descubriremos que suelen aparecer soluciones múltiples. Por eso, nos conviene crear una función que devuelva todas las soluciones en modo texto y que se inicie con el número de ellas, para poder abordar búsquedas especiales. Hemos elegido esta:

Function suma2semi$(n)
Dim k, m
Dim s$

m = 0 ‘Número de soluciones
s = "" ’Contenedor de soluciones
For k = 4 To n / 2
If essemiprimo(k) And essemiprimo(n - k) Then
m = m + 1 ‘Hay una nueva solución
s = s + " ## " + ajusta(k) + "+" + ajusta(n - k)
‘ajusta es idéntica a Str$ pero sin espacio
End If
Next k
If m > 0 Then s = ajusta(m) + s ‘Se inserta número de soluciones
suma2semi = s
End Function

Con ella es fácil descomponer un número natural en suma de dos semiprimos. Por ejemplo, en el caso de 88, las soluciones son:

5 ## 6+82 ## 14+74 ## 26+62 ## 33+55 ## 39+49

Vemos que son sólo cinco, como indica el primer dígito

Uso de Cartesius

Nuestra herramienta Cartesius también permite buscar los dos sumandos semiprimos (Descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

En este primer recorte de pantalla podemos observar el planteamiento:

Exige que sean dos los sumandos, desde 1 hasta 88, les aplica el filtro SEMIPRIMO, que la suma sea 88 y sólo devuelve soluciones crecientes, para evitar duplicidades. El resultado lo tenemos en la siguiente captura:

Coincide con los cinco resulatdos obtenidos mediante la función, pero esta es más flexible para búsquedas, por lo que Cartesius nos sirve preferentemente para comprobar.

Números no descomponibles

Si establecemos una búsqueda con la exigencia de que el resultado de la función sea una cadena vacía, obtendremos aquellos números que no admiten esta descomposición en dos semiprimos. El resultado es:

Están publicados en https://oeis.org/A072966, y en ella, T,D, Noe sugiere que no hay más números sin la descomposición exigida (conjetura).

Para más rapidez de cómputo, hemos creado este código en PARI, que determina tan sólo si existe o no suma de dos semiprimos:

sumasemi(n)={my(m=0,k=4);while(k<=n/2&&m==0,if(bigomega(k)==2&&bigomega(n-k)==2,m=1);k+=1);m}

for(i=1,10^4,if(sumasemi(i)==0,print(i)))

Hemos establecido una búsqueda hasta 10000 sin encontrar más soluciones:

Números con más descomposiciones

En la sucesión https://oeis.org/A072931 no aparecen más de 8 soluciones por número. Con nuestras herramientas podemos intentar encontrar los primeros enteros con 8 descomposiciones o más:

Se encuentran tantas, que se comprende la conjetura del 33 como último número sin soluciones.

El primer número con veinte descomposiciones es el 320. Se entiende entonces que no hay que avanzar mucho para que el número de soluciones aumente velozmente.

Descomposición en tres semiprimos

Se puede ampliar la función SUMA2SEMI a tres sumandos, con lo que resulta un código algo más complejo, porque hemos procurado que los sumandos sean crecientes. Lo copiamos para que su estudio sea algo opcional:

Function suma3semi$(n)
Dim k, m, j, b
Dim s$

m = 0
s = ""
For k = 4 To n
If essemiprimo(k) Then
b = n - k
If b >= k Then
For j = 4 To b
If essemiprimo(j) And essemiprimo(b - j) Then
If b - j >= j And j >= k Then
m = m + 1
s = s + " ## " + ajusta(k) + "+" + ajusta(j) + "+" + ajusta(b - j)
End If
End If
Next j
End If
End If
Next k
If m > 0 Then s = ajusta(m) + s
suma3semi = s
End Function

Con esta función obtenemos las descomposiciones de los primeros números naturales. Hasta el 12 no hay descomposiciones, ya que 12=4+4+4 es la mínima suma. El 13 y el 15 tampoco presentan sumas de tres semiprimos. Los siguientes ya presentan una o varias sumas:

Se puede conjeturar, al igual que en el caso de dos sumandos, que los números siguientes presentarán todos una solución al menos.

Con Cartesius se comprueban estos cálculos:

Incluimos como ejemplo un planteo para el 29:

Resultado:

Se confirma lo obtenido con la función.

No merece la pena pasar a más sumandos, pero con Cartesius podemos abordarlo para un ejemplo concreto, pero suele tardar mucho el proceso en cuanto aumentamos el número de soluciones. Como ejemplo, incluimos las descomposiciones del número 30 en cuatro semiprimos: