Semiprimos suma de los primeros

(Ver entradas anteriores sobre números semiprimos)

Cualquier número elegido al azar no tiene que ser suma de los primeros números de cierto tipo, como primos o cuadrados. Si además exigimos que ese número sea semiprimo, las posibilidades se reducen, pero tienen su interés.

Comenzamos por el caso más natural, el de los semiprimos que son suma de los primeros semiprimos.

Semiprimos

Veremos aquí los semiprimos que son suma de los primeros semiprimos hasta cierto número adecuado. La primera idea que viene a la mente es crear una columna de semiprimos  e irlos sumando. Esto es útil para visualizar los primeros, pero no nos serviría si deseáramos, por ejemplo, encontrar los primeros semiprimos con esta propiedad a partir del número 30000. En ese caso nos resultaría una tabla de excesiva extensión.

Primera soluciones

En la imagen hemos seleccionado los primeros semiprimos y en la columna siguiente los hemos sumado. Esto es sencillo en una hoja de cálculo.

Ahora habría que filtrar los semiprimos en las sumas:

En la tercera columna obtendríamos las soluciones, con unas molestas celdas vacías. Se comprende que este método no sería eficaz para tablas de más elementos. No obstante, copiamos las características de las primeras soluciones:

Por ejemplo, 58=4+6+9+10+14+15 es semiprimo, porque 58=2*29. Es curioso que los elementos 2519, 2642 y 2771 provienen de sumas consecutivas (4, 42 y 43 sumandos). Les ocurre lo mismo con 185, 219 y 254

Están publicados en https://oeis.org/A092190

Función caracterizadora

Siguiendo nuestra metodología en muchas cuestiones similares, hemos creado una función que caracteriza un número como semiprimo suma de los primeros semiprimos. Como hemos explicado, es más útil para  saber si lo cumple un número grande.

Function suma_prim_semi(n)
Dim s, k, i
Dim es As Boolean

If n < 4 Then suma_prim_semi = 0: Exit Function
s = 4 ’Suma de primeros semiprimos
i = 4 ’Número de sumandos
k = 1
es = False
While s <= n And i <= n And Not es
If s = n Then
es = True ‘Es suma
Else
i = i + 1: If essemiprimo(i) Then k = k + 1: s = s + i
End If
Wend
If es Then suma_prim_semi = k Else suma_prim_semi = 0
End Function

Con esta función podemos, por ejemplo, encontrar el primer semiprimo de este tipo con cinco cifras:  15469=31*499, suma de los 100 primeros semiprimos.

Primos

Un semiprimo también puede ser suma de los primeros primos. Basta para encontrarlos con cambiar en la función propuesta essemiprimo(i) por esprimo(i).

Los primeros elementos son:

Por ejemplo, 129 es semiprimo, pues 129=3*43 y 129 es suma de los diez primeros primos:

129=2+3+5+7+11+13+17+19+23+29

Están publicados en https://oeis.org/A189072, y en los comentarios presentan también los números de sumandos. En ella se usa el construir las sumas desde el primer primo. Este es código PARI usado:

{a=0; s=[]; forprime(p=2, 10^4, 2==bigomega(a=a+p)&s=concat(s, a)); s}

Es muy sintético, pero algo difícil de entender.

Las diferencias entre ellos siempre serán sumas de primos consecutivos, como era de esperar. Por ejemplo, 2427-2127=300=139+151.

Al igual que en el caso anterior, algunos de ellos se corresponderán con sumas consecutivas, y en ese caso, su diferencia será un número primo. Así, 77-58=19.

Cuadrados

Si en nuestra función cambiamos el ser primo o semiprimo por ser cuadrado, obtendremos los semiprimos que son suma de los primeros cuadrados. Al intentarlo nos llevamos una aparente sorpresa, y es que sólo aparecen tres soluciones:

No es tal sorpresa, si recordamos la expresión de la suma de los n primeros cuadrados:

En los ejemplos de la tabla, al dividir entre 6 el producto n(n+1)(2n+1), se elimina un factor y quedan dos, formando un semiprimo:

3*4*7/6=2*7; 5*6*11/6=5*11; 6*7*13/6=7*13

Para valores de n mayores que 6, ya no pueden quedar dos factores primos al eliminar el 2 y el 3 procedentes del denominador 6:

El producto n(n+1) es divisible entre 2,  y al ser n>6, se obtendrán dos factores, a los que habría que añadir 2n+1. Si ese producto también contiene al 3, al eliminarlo seguiríamos teniendo dos factores en n(n+1)/6, porque ni n ni n+1 son iguales a 6, y al añadir 2n+1 obtendríamos tres factores primos al menos. Nunca un semiprimo.

El factor 3 puede estar contenido en 2n+1, pero esta sería una situación aún más desfavorable para que queden dos factores primos.

Triangulares

Vista la experiencia con los cuadrados, es de esperar que en esta propuesta también obtengamos resultados limitados:

No es necesario analizarlo. Si la suma es de polinomios salvo algún denominador entero, siempre nos ocurrirá lo mismo. Por eso, no hay que intentarlo con números poligonales o piramidales.