En la entrada anterior se diseñó un esquema de cálculo para encontrar las particiones de igual suma, típicas de los números de Zumkeller. El procedimiento, algo lento, consistía en escribir los divisores de un número en columna, acompañarlos sucesivamente con las expresiones binarias de los números 1 a 2TAU-1 y mediante multiplicaciones, conseguir todas las particiones entre divisores:
Se afirmó en la entrada anterior que este esquema, para valores de TAU superiores a 10 o 12, era bastante lento, pero existe una forma de simplificarlo un poco. La idea es que el número estudiado entrará, con toda seguridad, en una de las dos particiones, y acompañado, en general, por menos sumandos que en la otra partición.
Lo
explicamos con el desarrollo para 204, cuya factorización es 3*22*17,
lo que asegura que es un número de Zumkeller. Sus particiones de igual suma
son:
Total
divisores: 1+2+3+4+6+12+17+34+51+68+102+204=504
Primera
partición: 1+3+4+6+17+51+68+102=252
Segunda
partición: 2+12+34+204=252
Los
divisores han sido 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34, 51, 68, 102, 204
Si
observamos la partición más corta, es claro que los sumandos compañeros de 204
no pueden superar la diferencia 252-204=48. Esto excluye a los divisores 51,
68, 102 y el mismo 204. Podríamos entonces cambiar los datos del problema:
- · Los
divisores podrían ser 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 34
- · La
suma no tendría que ser 252, sino 48
- · El
valor real de TAU, que era de 12 divisores, se puede reducir a 8.
Hemos
implementado una segunda hoja en nuestra herramienta http://www.hojamat.es/blog/zumkeller.xlsm duplicando el algoritmo, pero con estas modificaciones.
El resultado, en el caso de 204 quedaría así:
Observamos que el valor de TAU ha quedado en 8, por haber eliminado cuatro divisores, 51, 68, 102 y 204 (tres de ellos han quedado como residuales en la parte baja del esquema). También cambia el valor de la suma, que ahora es de 48, y, si observamos las columnas que crean particiones, tan solo llegan hasta el número 34.
Con
estos cambios, la velocidad de proceso aumenta, más o menos según la
factorización. En el resultado obtenido, la partición que nos interesa es la de
menor número de sumandos. En este caso tendríamos:
Total
divisores: 1+2+3+4+6+12+17+34=48
Primera
partición: 1+3+4+6+17=48
Segunda
partición: 2+12+34=48
Si a
la segunda partición le añadimos el 204 obtendremos la solución del primer
algoritmo:
2+12+34+204=252
Uso de nuestra herramienta “Cartesius”
Esto
que sigue es una curiosidad, de la que se puede prescindir. Lo que tiene de
importante es que nos puede devolver más de una solución a las particiones de
igual suma.
En
una entrada nuestra de hace unos cinco años, explicábamos el uso de Cartesius
para lograr particiones.
(https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/06/cartesius-5-particiones-1.html)
Esta
herramienta puedes descargarla desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius
En
la entrada referida se recomendaba este planteo para lograr una partición
concreta, la del 7 en todos sus sumandos posibles:
XRANGO=7
XT=1..7
SUMA=7
CRECIENTE
Con
algo de lentitud, crea todas las particiones del 7:
Siguiendo las reflexiones de los párrafos anteriores, si elegimos, por ejemplo, el número 60=2*2*3*5, su TAU es igual a 12, y podríamos rebajarla a 10, porque la mitad de sigma es, en este caso, 84. Si le restamos el número 60 nos queda 24, y podemos eliminar los divisores 30 Y 60, con lo que nos quedaría:
- Divisores válidos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20
- Nueva TAU: 10
- Suma exigida: 24
El
planteo adecuado en Cartesius sería
XRANGO=10
XT=1,2,3,4,5,6,10,12,15,20
SUMA=24
CRECIENTE
De esta forma, con bastante lentitud, obtenemos dos soluciones en lugar de una:
Las particiones de igual suma podrían ser
Primera
partición: 1+2+3+5+6+10+12+15+30=84
Segunda
partición: 4+20+60=84
Y
también
Primera
partición: 3+4+5+10+12+20+30=84
Segunda
partición: 1+2+ 6+15+60=84
Ya se dijo que es una curiosidad, porque la falta de velocidad del proceso no compensa su utilidad, salvo que busquemos números de Zumkeller con varias soluciones.
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