Los números cuadrados (1)

Primeras definiciones y propiedades

Incluimos aquí el estudio de los números cuadrados, considerándolos prioritariamente como números poligonales, y dejando como complementarias las cuestiones derivadas de su naturaleza como producto n*n.

Cuadrado como n*n

La primera idea que se tiene de los números cuadrados es que son el resultado de multiplicar un número entero por sí mismo: C=n*n (por eso, a la operación n² se le ha dado el nombre de elevar al cuadrado).

Se les llama también cuadrados perfectos. Este producto se puede representar como una matriz cuadrada de puntos.

Es conveniente disponer de un criterio para saber si un número es cuadrado. El más fiable es el de descomponer el número en factores primos y observar si todos los exponentes son pares. Esto es así porque si un número primo p divide a un cuadrado, p² también lo divide.

Así se evitan los decimales que aparecen en otros criterios. El inconveniente radica en la programación de la extracción de factores. En el otro extremo de la definición encontramos los números libres de cuadrados, en los que todos los exponentes son impares.

Un criterio menos fiable es el de sacar la raíz cuadrada, tomar su redondeo a un número natural o su parte entera (llamada raíz cuadrada entera) y ver si al elevarla al cuadrado reconstruye el número inicial. Así se procede en esta función:

Public Function escuad(n) As Boolean

If n < 0 Then

escuad = False

Else

If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False

End If

End Function

En lenguajes avanzados de programación se dispone ya de una función issquare o similar.

Esta definición permite considerar que un número cuadrado puede terminar solo con las cifras 0, 1, 4, 5, 6 o 9 en el sistema de numeración decimal. Es fácil comprobarlo multiplicando números por sí mismos. Así que un número que termine en 2, 3, 7, 8 no será cuadrado.

Esta definición de cuadrado también nos lleva a que tendrá un número impar de divisores. Si todos los exponentes de factores primos son pares, el número de divisores será un producto de impares, y por tanto impar. Puedes revisar esta idea en nuestro documento http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/teoria/teordivi.pdf

Aquí tienes un volcado del párrafo en el que se desarrolla la fórmula correspondiente:

Este sería un buen criterio para detectar si un número es cuadrado, pero resulta largo y lento.

Cuadrado como número poligonal

La construcción de un cuadrado siguiendo los procedimientos generales de construcción de poligonales nos llevaría a un esquema como el de la imagen:

 

En ella observamos sin dificultad que el número cuadrado n² es la suma de los primeros números impares: 1+3+5+7+9=25=5²

El caso general se demuestra por inducción completa:

Si n² equivale a la suma

(2*0+1)+(2*1+1)+(2*2+1)+(2*3+1)+…+(2*(n-1)+1),

el siguiente cuadrado, (n+1)² es igual a n²+(2*n+1), lo que completa la suma de impares.

Así que se cumple

 Sumas de números impares consecutivos

Una consecuencia de esta propiedad es la de que cualquier suma de números impares consecutivos equivale a la diferencia entre dos cuadrados. Por ejemplo, la suma 55+57+59+…+87+89+91 se puede calcular como la diferencia entre estas dos sumas:

(1+3+5+7+…+91)-(1+3+5+7+53)=46^2-27^2

El 46 y el 27 se obtienen teniendo en cuenta, según la fórmula anterior, que los sumandos tienen la forma 2k+1.

Si se toman dos sumandos impares consecutivos, el resultado será un cuadrado par 2n*2n=4n², pues

Si multiplicamos dos números pares (o impares) consecutivos y añadimos una unidad obtenemos también un cuadrado, pues n(n+2)+1=n²+2n+1=(n+1)²

 

Cuadrado como suma de dos triangulares

Otra generación de cuadrados viene dada, tal como vimos en el tema correspondiente, como suma de dos triangulares consecutivos. En la imagen se observa que el cuadrado 25 es la suma de los triangulares 10 y 15.

Como un triangular es un número combinatorio, esta propiedad se puede expresar como (elegimos el símbolo C(n) para representar el cuadrado de orden n):

Desde el punto de vista de los cuadrados esta relación no tiene más interés.

Cuadrado como suma de OBLONGO(N)+N+1

Otra relación que se queda en simple curiosidad es que si a un oblongo le añadimos su lado mayor, se convierte en un cuadrado.

En efecto, los oblongos vienen dados por la expresión n(n+1), y si le sumamos n+1 se convierte en n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)²

Esta propiedad es más sugestiva si se expresa al revés: si a un conjunto cuadrado le eliminas un lado, se convierte en oblongo.

Si al cuadrado 64 le quitamos un lado (8) nos queda 56, que es oblongo, por ser 7*8.

 

Una curiosidad

Copiamos un texto publicado por Amarnath Murthy, Mar 24 2004en la página de OEIS:

Begin with n, add the next number, subtract the previous number and so on ending with subtracting a 1: a(n) = n + (n+1) - (n-1) + (n+2) - (n-2) + (n+3) - (n-3) + ... + (2n-1) - 1 = n^2.

Como invitación a demostrarlo, insertamos ese proceso aplicado al número 12:

En la primera columna se sitúan los números consecutivos a 12 y en la segunda los anteriores. Se suman y se restan unos de otros, resultando al final 144=12².