Los números cuadrados (2)

Seguimos en esta segunda entrada dedicada a los números cuadrados con propiedades de recurrencia y relativas a sumas y las identidades entre ellas.

Recurrencias

Hay varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Ninguno es especialmente útil, y se presentan aquí como una curiosidad.

Suma de un impar

Es consecuencia de la definición como suma de impares, y es que al cuadrado anterior le sumamos el doble de su lado incrementado en una unidad. Por ejemplo, 7²+2*7+1=64=8²

Se puede plasmar en esta función recursiva de Excel:

Public Function cuadrado_r(n)

If n = 1 Then

cuadrado_r = 1

Else

cuadrado_r = 2 * n - 1 + cuadrado_r(n - 1)

End If

End Function

Funciona bien para números no muy grandes, pero puede fallar, por lo que la dejamos como una curiosidad.

Mediante los dos anteriores

C(n)=2C(n-1)-C(n-2)+2

Es fácil de demostrar: n²=2(n-1)²-(n-2)²+2=2n²-4n+2-n²+4n-4+2=n²

Así, de C(1)=1 y C(2)=4 obtenemos C(3)=2*4-1+2=9, C(4)=2*9-4+2=16,…

Recurrencia general para poligonales

Todos los números poligonales siguen la fórmula P(n,k)=3P(n,k-1)-3P(n,k-2)+P(n,k-3), que en nuestro caso quedaría como

C(n)=3C(n-1)-3C(n-2)+C(n-3)

Su ventaja radicaría en que usa cuadrados nada más, y no números aislados. Esto la convierte en una recurrencia de tercer orden homogénea, y la podemos tratar con nuestra hoja correspondiente:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Bastará dar como coeficiente 3, -3, 1 y como elementos iniciales 0, 1, 4:

Pulsando sobre el botón de “Ver sucesión” crearemos una columna de cuadrados,

 

Sumas

La suma de los primeros números cuadrados viene dada por una de las fórmulas de Faulhaber.

(ver https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber)

La correspondiente a los números cuadrados es la siguiente:

Es sencillo demostrarla por inducción completa. Aquí lo haremos restando la expresión correspondiente a n y la de n-1, para ver que el resultado es el nuevo cuadrado añadido. Así se ve en la calculadora Wiris:

Como curiosidad, aplicaremos nuestra herramienta de interpolación de Newton a las primeras sumas de cuadrados, 1, 5, 14, 30, 55…Es un tema complementario, que se puede ignorar:

Interpolación

Descargamos la hoja de interpolación desde

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

Escribimos las sumas en las celdas correspondientes:

Observamos que las diferencias de tercer orden son iguales (y la de cuarto es nula), lo que indica una función polinómica.

Leemos los coeficientes del polinomio:

Escribimos el polinomio con esos coeficientes, tal como se efectúa en la interpolación de Newton:

1+4*(X-1)+5/2*(X-1)*(X-2)+1/3*(X-1)*(X-2)*(X-3)

Como esta forma es poco legible, la simplificamos y factorizamos con Wiris:

Obtenemos la misma fórmula de Faulhaber. Aunque sea una mera curiosidad, es gratificante la coincidencia.

Teorema de los cuatro cuadrados

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados son suficientes para todos los enteros positivos salvo para números de la forma 4^k(8m+7). 

Un entero positivo se puede representar como una suma de dos cuadrados precisamente si su factorización prima no contiene potencias impares de primos de la forma 4 k + 3 (Fermat-Gauss). 

También se puede expresar todo cuadrado como suma de tres cuadrados con signo. Por ejemplo, 201221 se puede expresar con estas sumas:

201221 = 11^2+685^2-518^2

201221 = 9^2+679^2-510^2

201221 = 13^2+667^2-494^2

201221 = 5^2+589^2-382^2

La cercanía entre las bases de estos cuatro ejemplos sugiere que son un subconjunto de otro mucho más amplio.

Conseguir los cuatro cuadrados (o menos) en los que se descompone cualquier entero positivo requiere algoritmos que se ralentizan cuando ese entero es grande. Un algoritmo sencillo para Excel o Calc sería el de la siguiente función, que devuelve una solución, que no tiene que ser la óptima, pero que consta de cuatro cuadrados:

Function cuatrocuad$(n)

Dim i, j, k, l

Dim s$

Dim novale As Boolean

 

s$ = ""

novale = True

i = 0

While i <= n And novale ‘Primera base de cuadrado

j = 0

While j <= i And novale ‘Segunda base

k = 0

While k <= j And novale ‘Tercera base

l = n - i ^ 2 - j ^ 2 - k ^ 2  ‘Posible cuarta base

If l >= 0 And l <= k Then

If escuad(l) Then novale = False: s = s + Str$(i) + Str$(j) + Str$(k) + Str$(l) ‘Es una solución

End If

k = k + 1

Wend

j = j + 1

Wend

i = i + 1

Wend

If s = "" Then s = "NO"

cuatrocuad = s

End Function

 

Hay que insistir en que no devuelve la mejor solución, sino la que tiene las bases menores. Así, para 9, que es cuadrado, da la solución 2^2+2^2+1^2+0^2.

Hemos elegido un intervalo de enteros positivos al azar para una sencilla comprobación del teorema:

Observamos que tres números sólo necesitan tres cuadrados.

 

Identidades

Cuadrado de suma o diferencia

Aunque son de carácter elemental, no podemos olvidar aquí los cuadrados de sumas y diferencias:

Cercana a ellas es la identidad babilónica, fácil de deducir:

Identidad de Brahmagupta

En el apartado de sumas de cuadrados no puede faltar esta identidad, muy usada en cuestiones numéricas, y que se demuestra con un simple desarrollo algebraico:

En cualquier texto de Teoría de Números se puede encontrar un uso de esta identidad.

Identidad de Euler

Euler amplió esta idea a ocho cuadrados, según podemos observar en esta imagen tomada de la página de Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_los_cuatro_cuadrados_de_Euler