Números de Zumkeller(1) – Definición y búsqueda

Quienes visitamos a menudo la La Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros (OEIS) http://oeis.org conocemos muy bien a Reinhard Zumkeller, uno de los autores que más ha aportado conocimientos a esta página. En 2010 publicó los números que estudiaremos a continuación, y T. D. Noe, otro colaborador muy distinguido les asignó su nombre, y así son ya conocidos, como “los números de Zumkeller”.

A pesar de su reciente publicación, ya existen reseñadas muchas propiedades. Basta buscar en OEIS “Zumkeller numbers”. Aquí, en nuestra modestia, nos limitaremos a lo que sea fácil de implementar en hoja de cálculo. En este caso usaremos Excel.

La definición es muy sencilla de entender: Son números de Zumkeller aquellos en los que sus divisores se pueden repartir en dos conjuntos que tengan la misma suma. No han de contener divisores consecutivos en el orden natural,  ni tener el mismo número de elementos. Un ejemplo:

El número 25122 posee los siguientes divisores:

1+2+3+6+53+79+106+158+159+237+318+474+4187+8374+12561+25122 = 51840

Esta suma de 51840 se puede repartir entre dos particiones de los divisores, de forma que sus sumas sean iguales. Serían estas:

1+2+3+53+79+106+158+159+237+4187+8374+12561 = 25920

6+318+474+25122 = 25920

Le daremos a 25122 el título de número de Zumkeller. No es una condición difícil de cumplir, y la prueba es que estos números aparecen entre los naturales con frecuencias altas. Estos son los primeros:

6, 12, 20, 24, 28, 30, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 102, 104, 108,…

(Puedes consultar la página dedicada a estos números en OEIS: http://oeis.org/A083207)

Búsqueda de números de Zumkeller

En la página citada se incluyen códigos en distintos lenguajes de programación para decidir si un número es de Zumkeller o no. Con ellos hemos sabido que 25122 era de ese tipo. Todos se basan en la idea de las particiones de un conjunto, y por la orientación de la página, no se incluyen las dos particiones de igual suma. Eso es lo que se va a estudiar en esta entrada.

Últimamente acudimos a funciones para organizar búsquedas, pero como esa operación ya está bien estudiada, con lenguajes más potentes que Excel, nos ha parecido conveniente regresar a los esquemas de cálculo con botones y macros, de los que está lleno este blog.

La idea que se usará para buscar las dos particiones se basa en que el número de subconjuntos de un conjunto de N elementos es 2^N. Cada partición se puede caracterizar por un número binario de N dígitos, en el que 1 puede significar que ese elemento entra en el conjunto y 0 que no entra. De esa forma, buscar particiones equivale a recorrer, en binario, todos los números entre 1 y 2^N-1. No consideramos el 0, que devolvería el conjunto vacío. Lo vemos aplicado al ejemplo anterior

Hemos implementado esta idea en la hoja de cálculo zumkeller.xlsm, alojada en nuestra web Hojamat.es

http://www.hojamat.es/blog/zumkeller.xlsm

Su funcionamiento sigue varios pasos:

1) Dado un número entero positivo en la celda correspondiente, la hoja calcula la suma de sus divisores, y si no es par o esa suma no sobrepasa el doble del número, lo rechaza, porque no se puede repartir en dos particiones.

2) Si SIGMA es par se buscan todos los divisores del número, y simultáneamente se van también sumando, para obtener SIGMA de nuevo y contando, para conocer TAU. Este último valor es muy importante, porque determinará en número de subconjuntos a buscar, que será 2^TAU-1, según se explicó más arriba. Si descargas la hoja y pides Programador-Visual Basic podrás estudiar el código de las macros. Si no tienes esa barra Programador puedes activarla en las Opciones.

La macro ordenará los divisores en columna, y junto a ellos irá desplegando todos los números en binario desde 2^TAU-1 hasta 1. Después multiplicará los divisores por estos unos y ceros para construir una partición. Lo puedes ver en esta imagen:

Se está analizando el número 42. Su SIGMA es par, por lo que se inicia el proceso. El valor de TAU es 8 (no aparece en la imagen)

En la primera columna observamos los divisores de 42, que son ocho. La segunda es auxiliar, y sirve para construir los dígitos binarios. Multiplicando esos dígitos por los divisores se obtiene la cuarta columna, los sumandos de cada partición.

La macro no se detiene hasta que encuentra el valor correcto de suma, que en este caso es 6+42=48. La imagen de arriba se ha podido capturar porque se ha llegado a la detención de la macro. En caso contrario, si no hay solución, se recorren todas las posibilidades sin detención previa.

En caso de llegar a una solución, se reflejarán en la parte derecha las dos particiones con igual suma:

Esta hoja presenta una rapidez aceptable para valores de TAU inferiores a 12 o 15. En el resto de valores deberemos usar la paciencia y dejar a Excel que trabaje solo.

Un número de Zumkeller, como este 42 del ejemplo, será un sumando en una de las particiones, luego la otra tendrá como suma un número igual o superior a él, pero eso significará que el número será perfecto o abundante, porque la suma de su divisores propios será igual o mayor que él. En el caso del 42, sus divisores propios suman 54.

Casos particulares

(1) Se ha demostrado que todos los primoriales (ver en este blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/02/el-primorial.html), a partir del 6 son de Zumkeller. Vemos un ejemplo, el 210=2*3*5*7:

En estos números TAU es siempre una potencia de 2 (Ver en este blog https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=multiplicativas y siguientes) y sigma es par, como en este caso, que es (1+2)(1+3)(1+5)(1+7)=576

Esto es consecuencia de lo que sigue.

(2) Los números del tipo 3*2^k son de Zumkeller. El mismo autor lo explica, y lo adaptamos aquí. Todo se basa en que las funciones SIGMA Y TAU son multiplicativas (ver en este blog la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2011/10/funciones-multiplicativas-1.html) 

para factores coprimos. En este caso, SIGMA(3*2^k)=SIGMA(3)*SIGMA(2^k) y desarrollando:

Sigma=(1+3)(1+2+4+8+16+…2^k)=4*(2^k+1-1)

Por ejemplo, en el caso de 96=3*2⁵ será SIGMA(96)=4*(2⁶-1)=4*63=252

La mitad de esa expresión general será 2*(2^k+1-1), que coincide con la suma de divisores 3*2^k+3*2^k-2+…y esa será una de las particiones pedidas. En el caso de 96 equivale a

96+24+6=3*2⁵+3*2³+3*2¹=3*(2*(4³-1)(4-1))=2*(2⁶-1)=126

Así que siempre tendremos una partición formada por una serie de divisores con potencias de 2 alternas. Lo vemos con nuestra hoja:

Total divisores: 1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48+96=252

Primera partición: 1+2+3+4+8+12+16+32+48=126

Segunda partición: 6+24+96=126

(3) Si a estos números del tipo 3*2^k los multiplico por un número coprimo con 2 y 3, el resultado sigue siendo del tipo Zumkeller.

Es evidente que si multiplico por un coprimo, todas las sumas quedarán multiplicadas y, según R. Gerbicz (ver http://oeis.org/A179527), el producto seguirá siendo de Zumkeller.

Eso ocurre, por ejemplo en 3*11*4=132

Total divisores: 1+2+3+4+6+11+12+22+33+44+66+132=336    

Primera partición: 1+2+4+6+11+12+22+44+66=168

Segunda partición: 3+33+132=168         

Observamos, como era de esperar, que SIGMA contiene todos los divisores de 12 y otros que son sus productos por 11.               

Esto demuestra la primera afirmación de que los primoriales son todos de Zumkeller.

(4) Los números admirables, de reciente publicación en este blog (ver entrada anterior a esta) también son de Zumkeller, porque ellos coinciden con la suma de sus divisores propios cambiando a un divisor de signo, o, lo que es igual restando a SIGMA dos veces este divisor. En este caso, basta sumar ese divisor para obtener las dos particiones. Lo vemos con un ejemplo:

812 es admirable y el divisor que cambia de signo es el 28:

812 =406+203+116+58+29-28+14+7+4+2+1

Si ahora sumamos 812+28=840, esa será la partición “corta”. Lo comprobamos con nuestro esquema:

Total divisores: 1+2+4+7+14+28+29+58+116+203+406+812=1680   

Primera partición: 1+2+4+7+14+29+58+116+203+406=840                 

Segunda partición: 28+812=840             

Estamos llegando al límite de extensión que le doy a mis entradas, por lo que dejo materia para la siguiente.