Números de Hogben

La elección de temas que efectúo para este blog tiene a veces carácter azaroso. Dentro de mis publicaciones en Twitter (@connumeros) descubrí que el número 1723 equivale a la suma de dos números triangulares de órdenes 40 y 42 respectivamente. Me gustó la idea y emprendí un estudio algebraico del tema:

Sean los órdenes k y k+2, con N como suma de dos triangulares. Tendremos:

 k(k+1)/2+(k+2)(k+3)/2=N

k(k+1)+(k+2)(k+3)=2N

K²+k+k²+5k=2N-6

2k²+6k=2N-6

4k²+12k=4N-12

(2k+3)²=4N-3

Esta identidad me llevó a buscar los números N en los que 4N-3 es un cuadrado, para después, posteriormente despejar el valor de k.

Emprendí la búsqueda y obtuve este listado:

Cuando obtengo un resultado así (podía haber comenzado con los valores de k), suelo buscarlo en la página OEIS (http://oeis.org/) y así fue como llegue a los números de Hogben (http://oeis.org/A002061), que no había tratado en este blog. Decidí cambiar mis planteamientos iniciales para dedicarme a estudiar esos números con mis herramientas usuales. Como dan lugar a muchas curiosidades, y están todas muy bien desarrolladas en distintas páginas, iré enlazándolas cuando crea que no puedo aportar nada nuevo.

Números de Hogben

Podemos definirlos como aquellos que son suma de dos número triangulares cuyos órdenes se diferencian en dos unidades, pero también vemos en la tabla que H(k)=k²-k+1, como por ejemplo H(5)=25-5+1=21, y H(7)=49-7+1=43.

Si despejo N en una igualdad anterior, me queda:

(2k+3)²=4N-3; 4N=4k²+12k+9+3; N=k²+3k+3

Puedo expresar N en función de k+2:

N=k²+3k+3=(k+2)²-(k+2)+1

Para que coincida esta expresión con la generación de la tabla basta elegir k como el índice mayor de los dos triangulares que se suman, es decir, k+2, y así se establece la coincidencia de métodos.

N= k²-k+1

Esta es la definición que se usa en http://oeis.org/A002061. Hay que recordar que en OEIS se prefiere iniciar las sucesiones con índice 0:

A002061                            Central polygonal numbers: a(n) = n^2 - n + 1.

1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, 133, 157, 183, 211, 241, 273, 307, 343, 381, 421, 463, 507, 553, 601, 651, 703, 757, 813, 871, 931, 993, 1057, 1123, 1191, 1261, 1333, 1407, 1483, 1561, 1641, 1723, 1807, 1893, 1981, 2071, 2163, 2257, 2353, 2451, 2551, 2653

Estos números, rotulados como “poligonales centrales” son los números de Hogben.

Si situamos los números naturales en espiral, los de Hogben ocupan los extremos de la diagonal principal, tal como podemos observar en la tabla creada con hoja de cálculo:

La razón estriba en que la diferencia entre dos números de Hogben consecutivos es

H(n+1)-H(n)=(n+1)²-n-1+1-n²+n-1=2n

Vimos más arriba que H(5)=21, luego su diferencia con el siguiente será 2*5=10, y en la espiral vemos que se necesitan diez pasos para ir de 21 a 31. Como el número de pasos va creciendo de 2 en 2 y el incremento H(n+1)-H(n) también, se dará esa coincidencia en todos los casos.

La anterior fórmula se puede interpretar como una recursión:

H(n+1)=H(n)+2n

Por ejemplo, 13 es el número de Hogben de índice 4, luego el siguiente será 13+2*4=21, como era de esperar.

Con nuestra herramienta para prolongar recurrencias podemos buscar una de tipo homogéneo, y, en efecto, es muy simple:

H(n+3)=3*H(n+2)-3*H(n+1)+H(n)

(http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm)

Es así por ser un polinomio de segundo grado, y con ellos funciona esta recurrencia siempre. Lo puedes comprobar con esta captura de pantalla de la calculadora Wiris (https://calcme.com/a)

Se ha desarrollado la suma de la recurrencia y el resultado esperado, obteniendo el mismo resultado.

Dados tres términos consecutivos, como 31, 43, 57, se cumple que el siguiente, 73, se puede encontrar de la forma 3*57-3*43+31, y así es, porque el resultado es 73.

En la entrada de blog http://voodooguru23.blogspot.com/2018/11/hogben-numbers.html puedes consultar algunas propiedades interesantes de estos números. Están bien desarrolladas y sería inútil repetirlas aquí.

Una interpretación sencilla de estos números es que n²-n+1 equivale a n(n-1)+1, es decir, a un número oblongo (y por tanto rectangular) al que le añadimos una unidad. Lo hemos representado así:

En la siguiente página se intenta explicar por qué Sloane y Plouffe llamaron a estos números “poligonales centrales”. Es interesante su lectura.

http://mrob.com/pub/seq/a002061.html

 

Cuatro propiedades aritméticas

(1) Según afirma Amarnath Murthy en la página de OEIS enlazada, el número de Hogben H(n) se puede interpretar como el término n de una progresión de diferencia n que comienza en 1. En efecto:

N=1: D=1: H(n)=1

N=2, D=2: 1, 3

N=3, D=3: 1, 4, 7

N=4, D=4: 1, 5, 9, 13

Vemos que todas las progresiones así construidas finalizan en un número de Hogben.

Esto es ningún misterio. Según la teoría de las progresiones tendremos:

H(n)=H(1)+D*(n-1)=1+n(n-1)=n²-n+1, que es la fórmula de estos números.

(2) Los números de Hogben son los residuos de n³ respecto a n²+1

Con la función RESIDUO de Excel y Calc es fácil comprobarlo:

Algebraicamente también es fácil, porque n³=(n-1)*(n²+1)+n²-n+1 con lo que el residuo es

n²-n+1=H(n)

(3) Los números de Hogben H(n) se representan como 111 en la base (n-1)

Por ejemplo, 7(10 = 111(2,  13(10=111(3,  21(10=111(4

La razón es que H(n+1)=(n+1)²-(n+1)+1 por definición, y simplificando queda n2+n+1, lo que significa 111(n.

 

(4) Si recordamos el cociente entre una suma de potencias y la suma de sus bases, obtendremos un sencillo resultado:

Así que basta dividir el cubo de n³+1 entre n+1 para obtener H(n):

H(4)=(64+1)/(4+1)=13

H(7)=(343+1)/(7+1)=344/8=43