Regresos(1): Suma de los primeros cuadrados

Hace más de diez años publiqué en mi blog una entrada breve basada en la igualdad

1²+2²+3²+4²+5²+…+23²+24² = 70²

http://hojaynumeros.blogspot.com/2010/01/sumas-de-los-primeros-cuadrados-o.html

Desde entonces, he usado herramientas variadas para abordar este tipo de igualdades, y, como la entrada quedó algo corta, regreso a ella. Esta operación la efectuaré en un futuro con otras entradas. Por eso llamo “Regresos” a esta serie.

Para encontrar casos similares y comprobar este, acudiremos a nuestra función ESPOTENTIPO, que devuelve la base si n es una potencia de exponente k o bien 0 si no lo es.

Public Function espotentipo(n, k)

Dim m, i, e

m = Log(n) / k ‘Calcula el logaritmo de la base

m = Int(Exp(m)) ‘Posible base

e = 0 ‘Caso en el que la base no pueda ser entera

For i = m - 1 To m + 1 ‘Para evitar redondeos, busca base entera

If i ^ k = n Then e = i

Next i

espotentipo = e

End Function

Con esta función se puede confeccionar un bucle de búsqueda similar a este:

a = 0

for i = j To l

a = a + i ^ 2

b= espotentipo(a, 2)

If b <> 0 Then msgbox(i):msgbox(b)

next i

 

Con un bucle algo más complejo hemos obtenido solo dos soluciones:

Y, en efecto, según nos recordaba Claudio Meller en un comentario: “Esta demostrado que 70^2 es el único número que es igual a la suma de los primeros cuadrados. La demostración la publicó en 1918 G.N. Watson en Messenger of Mathematics, New Series, Vol. 48, pp. 1 - 22.”

No se tiene en cuenta la solución trivial de 1^2=1^2

Como estas sumas son en realidad números piramidales de cuatro lados, para índices 1 y 70 son los únicos que se pueden convertir en un cuadrado.

Equivalencias similares

Si en nuestro bucle de búsqueda cambiamos el exponente de las sumas y el del resultado, obtendremos muchas equivalencias similares.

Si hubiéramos sumado los primeros cubos en lugar de los cuadrados, hubiéramos obtenido siempre un cuadrado, porque se puede demostrar que esa suma es el cuadrado de un número triangular. Así:

1+2^3=9=3^2

1+2^3+3^3=36=6^2

1+2^3+3^3+4^3=100=10^2

No es difícil demostrarlo mediante inducción completa.

Para suma de cubos equivalente a un cubo no parece existir solución (recordemos a Fermat).

Tampoco hemos obtenido soluciones en el caso de suma de potencias cuartas equivalentes a un cuadrado.

 

Potencias quintas

La suma de potencias quintas sí da lugar a cuadrados. Para simplificar el problema, usamos la fórmula, tomada de Wikipedia, que da la suma de las primeras de estas potencias:

Esta función en PARI exige que la expresión anterior dé lugar a un cuadrado perfecto:

ok(k)=issquare((k^2*(k^2*(2*k^2+6*k+5)-1))/12)

(hemos sacado factor común dos veces)

El resultado de la búsqueda es

1, 13, 133, 1321, 13081, 129493, 1281853, 12689041, 125608561, 1243396573, 12308357173, 12308357173, 121840175161, 1206093394441,

Por usar una ecuación del tipo Pell y afines, se podía sospechar que estos valores  siguieran una recurrencia. La buscamos con nuestra hoja de cálculo ecurrecurre.xslm

(http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm)

con este resultado:

Por tanto, los valores buscados v(i) cumplirán la recurrencia v(1)=1, v(2)=13, v(3)=133, v(n)=11*v(n-1)-11*v(n-2)+v(n-3)

Este procedimiento en PARI refleja esta recurrencia:

mylist(n)={my(v=List(),a=1,b=13,c=133,d);listput(v,a);listput(v,b);listput(v,c);for(i=1,n-3,d=a-11*b+11*c;a=b;b=c;c=d;listput(v,d));v}

print(mylist(20))nos devuelve el número de sumandos del tipo k^5

1, 13, 133, 1321, 13081, 129493, 1281853, 12689041, 125608561, 1243396573, 12308357173, 121840175161, 1206093394441, 11939093769253, 118184844298093, 1169909349211681, 11580908647818721, 114639177128975533, 1134810862641936613, 11233469449290390601

Esta sucesión está publicada en http://oeis.org/A031138 por Ignacio Larrosa Cañestro. Nuestro trabajo anterior se organizó con otros objetivos y, al dar protagonismo al número de sumandos, vimos con satisfacción la coincidencia con el profesor Larrosa.

Triangulares

En la entrada antigua que revisitamos, se proponía una cuestión similar para triangulares. Se sugería la existencia de pocas soluciones y, en efecto, solo una suma de los primeros triangulares es triangular para estos números de sumandos: 0, 1, 3, 8, 20, 34

(http://oeis.org/A224421)

Para comprobarlo nos sirve el mismo método que con las potencias quintas. Basta ver que la suma de los primeros triangulares tiene como fórmula n(n+1)(n+2)/6, y la prueba para saber si un número T es triangular consiste en que sea cuadrada la expresión 8T+1. Reuniendo las dos expresiones nos resulta el código en PARI siguiente:

ok(k)=issquare(8*k*(k+1)*(k+2)/6+1)

for(i=1,1000,if(ok(i),print(i)))

Ejecutándolo, nos resultan los valores ya reseñados:

Según nuestra publicación sobre números piramidales, estas sumas serán tetraedros.

(http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf)

Los mismos índices nos sirven para oblongos, porque son doble de los triangulares.