Acercamiento entre potencias

Se sabe que sólo existen dos potencias que se diferencien en una unidad, que son 8=2³ y 9=3². Sí pueden existir otros casos con diferencias mayores entre cuadrado y cubo. Vemos los primeros ejemplos:

Dif=2: 5²+2=3³
Dif:=3: 2²-3=1³
Dif=4: 2²+4=2³; 11²+4=5³
Dif=5 y 6: No hay ejemplos elementales
Dif=7: 1²+7=2³; 181²+7=32³
Dif=8: 3²-8=1³; 4²-8=2³; 312²-8=46³
Dif=9: 6²-9=3³; 15²-9=6³; 253²-9=40³
Dif=10: No hay ejemplos elementales.

Todos son casos particulares de la ecuación x²=y³+k, que necesita conocimientos profundas de Teoría de Números para su resolución. Por eso, aquí se usarán técnicas de búsqueda de soluciones en casos particulares.

Diferencias entre cuadrados y cubos

Podemos usar una función que mida el acercamiento a un cubo. Así, si se construye una lista de cuadrados, se podrán elegir aquellos que se diferencien de un cubo en un número dado. Así se han encontrado los ejemplos del párrafo anterior.

La función adecuada puede ser esta, que está diseñada para cualquier valor del exponente. Actúa sobre un número (que puede ser otra potencia), una diferencia dada y el exponente de la potencia. Al número le sumamos y restamos la diferencia dada, y con otra función, espotentipo, se averigua si es potencia perfecta o no.


Public function difepot(n,dife,ex1) as boolean
'para un número n ver si dista dife unidades de una potencia dada
‘Variables: n es el número, dife, la diferencia dada y ex1 el exponente de la potencia.

dim a,b
dim es as boolean

es=false ‘Declaramos que la función es falsa
a=n+dife ‘Buscamos la potencia “por arriba”
if espotentipo(a,ex1) then ‘Más abajo se explica esta función
es=true ‘Si es potencia, la diferencia es válida.
else
b=n-dife ‘Buscamos la potencia “por arriba y procedemos del mismo modo”
if b>0 then
If espotentipo(b,ex1) then es=true
end if
end if
difepot=es
end function

La función espotentipo busca si un número es potencia con un exponente dado. Actúa sobre el número y el exponente y devuelve VERDADERO o FALSO. Su código es el siguiente:

Public Function espotentipo(n, k) As Boolean
Dim m, i
Dim e As Boolean

m = Log(n) / k
m = Int(Exp(m)) ‘Mediante logaritmos, encuentra un posible valor para la base de la potencia
e = False
For i = m - 1 To m + 1 ‘Por si existen errores de redondeo, prueba con m, m+1 y m-1
If i ^ k = n Then e = True ‘Si con uno de ellos se reconstruye la potencia, es válido
Next i
espotentipo = e
End Function

Con estas dos funciones, bastará crear una lista de cuadrados y ver si alguno de ellos se diferencia de un cubo (mayor o menor que él) en una cantidad dada.  Por ejemplo, si construimos la lista de los veinte primeros cuadrados, veremos que al llegar al 14, su cuadrado se diferencia en 20 unidades del cubo de 6: 14²+20=6³.

Potencia más cercana

Podemos encontrar, para un número cualquiera, la potencia de cierto exponente que esté más cercana, y evaluar su diferencia. Para ello podemos usar esta otra función:

Public function difepot2(n,ex1)
'busca la potencia ex1 más cercana y devuelve la diferencia
dim p,q

p=int(n^(1/ex1))
dife=abs(n-p^ex1)
q=abs(n-(p+1)^ex1) ‘Busca la potencia si es menor o mayor. Ambas valen.
if q<dife then dife=q ‘Se queda con la diferencia menor.
difepot2=dife
end function

En esta tabla puedes observar las diferencias con el cubo más cercano. Se descubre que esos cubos son el 8 o el 27. Hasta el 17, el cubo más cercano es el 8, y a partir del 18, el 27.

Versión en PARI

Estas funciones de Excel no tienen mucha potencia de cálculo. Por eso, en algún momento usaremos sus versiones en PARI, cuyo código es el siguiente:

espotentipo(n,k)=local(m,i,es);m=log(n)/k;m=truncate(exp(m));es=0;for(i=m-1,m+1,if(i^k==n,es=1));es
difepot(n,ex1)=local(p,q,dife);p=truncate(n^(1/ex1));dife=abs(n-p^ex1);q=abs(n-(p+1)^ex1);if(q<=dife,dife=q);dife

Con el uso de ambas, hemos reproducido la tabla anterior entre el 10 y el 20:

Como ejemplo del uso de esta función, se inserta a continuación la tabla de diferencias entre cuadrado y cubo menores que 10 (y mayores que 0) para potencias interiores a 1000000:

Otras potencias

Diferencias mínimas entre cubo y cuarta potencia, dife<30:

Entre cuartas y quintas potencias, dife<50:

Así podemos seguir con otros casos. Terminamos con cubos y séptimas potencias:

Para terminar, agrupamos en una misma tabla diferencias menores que 10 en algunos casos. Hemos eliminado en la segunda potencia los valores 1 y 2, ya conocidos y triviales: