Simulaciones - Distribución uniforme (1/2)

Iniciamos hoy una serie, que nos tomaremos con calma, sobre simulaciones elementales de variables aleatorias. Nos basaremos en las prácticas de nuestro curso de Estadística, (http://www.hojamat.es/estadistica/iniestad.htm) adaptándolas al formato de un blog. Usaremos nuestro Simulador implementado para hojas de cálculo, el cual puede sufrir cambios a lo largo de la serie, por lo que se aconseja su recarga en caso de duda.

Comenzaremos con la distribución uniforme. Si no tienes claro el concepto puedes acudir a la Teoría correspondiente

(http://www.hojamat.es/estadistica/tema6/teoria/teoria6.pdf).

Por ahora te basta con la idea de que representa experimentos aleatorios en los que todos los elementos presentan una misma probabilidad de ocurrir, como tiradas de dados o las loterías. Se suele distinguir entre distribución uniforme discreta, cuando sólo existe un número finito de posibilidades (dados o monedas), o continua, cuando pueden aparecer infinitos sucesos, o al menos, tantos, que sea preferible tratarlos como infinitos.


Distribución uniforme discreta

En ella se trabaja sobre un conjunto finito de n elementos con la hipótesis de que todos ellos poseen la misma probabilidad de aparecer, que será, por tanto, 1/n. Un ejemplo es el de una tirada de dados. La distribución uniforme más útil es aquella en la que el conjunto está formado por los números comprendidos entre a y b ambos inclusive. En los dados a=1 y b=6
.
Puedes consultar en cualquier manual los valores de los principales estadísticos de esta distribución.

Media:

Varianza:

En el caso de las tiradas de dados m=3,5 y var=35/12=2,92 y su desviación típica 1,7321.

Podemos comprobar estos valores mediante nuestro simulador, alojado en estas direcciones:

http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.ods (versión LibreOffice Calc)

http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.xlsm (versión Excel)

Contiene dos hojas, la de criterios y simulación y la de los estadísticos. La mejor forma de aprender su funcionamiento es proceder a la primera simulación.

Deseamos saber si con 1000 tiradas de dados su media y varianza se acercan suficientemente a la teoría. Para ello, en la primera página del simulador concretamos lo siguiente:

Cinco repeticiones de 200 filas y una columna, para que se acumulen 1000 tiradas, mínimo=1 y máximo=6. Como criterios, “Uniforme”, “Entero”, para que la distribución sea discreta, y “Máximo-Mínimo”. También es conveniente fijar, unas celdas más abajo, el número de intervalos en 6. El resto de parámetros se puede ignorar. Con ello, al dar al botón Simulador obtendrás los resultados en la siguiente hoja de Estadísticos. En nuestro caso serían:

Se ha obtenido una aproximación apreciable. La herramienta también nos proporciona la asimetría y la kurtosis, pero prescindimos de ellas en esta simulación. A la derecha puedes observar la tabla de frecuencias y el diagrama de barras, que presenta una uniformidad de alturas bastante aceptable para el número de simulaciones que hemos fijado:

Como ya sabrás, es probable que, si aumentamos el número de repeticiones, el ajuste mejore, pero no lo des por seguro, que sólo existe una probabilidad. Si aumentamos a 50 repeticiones obtenemos:

Ha mejorado bastante el ajuste. En general, las simulaciones comienzan a ser útiles si las repites miles de veces. Con unas pocas no son útiles.


Distribución uniforme continua

En esta modalidad los datos se distribuyen de forma continua (en la práctica, con todos los decimales que deseemos) entre dos extremos a y b. Prácticamente no hay ejemplos en la vida diaria de distribuciones uniformes, ya que son más frecuentes otras, como la normal.  Suelen aparecer en experimentos diseñados o en instrumentos creados por nosotros, como puede ser el movimiento de las manecillas de un reloj, que recorre de manera uniforme toda la circunferencia.

Un ejemplo de distribución uniforme continua es el experimento de calcular π mediante simulación (método de Montecarlo). Consiste en simular dos coordenadas X e Y de manera uniforme entre 0 y 1 y contar aquellos pares en los que X^2+Y^2<1. De esa forma, su frecuencia relativa deberá ser ?/4=0,7854 aproximadamente. En la imagen sería como contar todos los puntos que caen dentro de la zona sombreada.

Lo organizaremos así:

Planteamos los criterios contenidos en la imagen:

Tomamos 500 filas y dos columnas (que representarán X e Y). No planteamos repeticiones porque añadiremos una columna nueva a la simulación. Concretamos un mínimo de 0 y un máximo de 1. En los restantes criterios elegimos “Uniforme”, “Decimal” (por ser continua) y “Máximo-Mínimo”.

Con ello obtenemos dos columnas de 500 valores de X e Y. Ahora, en una columna paralela, por ejemplo comenzando en J5, escribimos =SI(G5^2+H5^2<1;1;0). Esto significa que obtendremos un 1 si el punto (X,Y) pertenece al sector circular sombreado, y 0 si está fuera. Extendemos esa fórmula hacia abajo hasta abarcar los 500 valores:

Ahora basta sumar esa columna nueva y deberemos obtener un valor próximo a 500π/4≈393. Esto no se suele obtener en una simulación con tan pocos datos. En nuestro caso se ha obtenido 389. Podemos repetir el trabajo (de forma manual) varias veces y encontrar la media de resultados. Aquí tienes un ejemplo, con 7 repeticiones o 3500 casos:

389, 408, 383, 389, 392, 386, 384

Sumo y obtengo 2731, divido entre 3500 (para encontrar la frecuencia relativa) y multiplico por 4 para aproximar a ?: 2731/3500*4=3,1211. No es una extraordinaria aproximación a π, pero resulta aceptable si tenemos en cuenta las herramientas utilizadas.

Análisis de intervalos

En una de las actualizaciones del Simulador hemos añadido una simulación entre intervalos. En el caso de la distribución uniforme nos servirá para analizar la igualdad aproximada de las frecuencias en intervalos de igual longitud.

En la segunda hoja Estadísticos figura una tabla y un botón para obtener frecuencias f entre dos extremos a y b . Estos extremos se consideran alcanzables, por lo que en las distribuciones discretas estarán incluidos. En la última fila se calcula la frecuencia relativa h. Sólo se puede usar para tres columnas o menos. Basta fijar los extremos en cada columna, pulsar el botón Intervalos y comparar resultados.

La imagen corresponde a una simulación uniforme continua entre 10 y 20, con tres columnas. En cada una de ellas hemos fijado extremos con una diferencia de 4, con lo que las tres frecuencias relativas se acercan a 0,4.