Continuamos en esta entrada el estudio de las posibilidades de encontrar un número n que convierta la expresión n(n+k) en un cuadrado. Ya descubrimos cómo encontrar soluciones y cómo contarlas según varios tipos concretos de números.
Ya hemos acumulado experiencia para abordar el caso general, que resume en cierto modo lo descubierto hasta ahora. Mediante búsqueda empírica y razonamiento posterior, creemos que podemos acudir a este procedimiento:
(1) Encontramos la valuación del número k respecto a 2, es decir, el exponente máximo del 2 contenido en el número dado, llamémosle m. Esto quiere decir que el número k se descompone en parte par, 2m, y parte impar. Entonces:
k2=22m*v, siendo v la parte impar.
(2) Hallamos la función TAU de la parte impar v, y aplicamos la fórmula vista en párrafos anteriores (TAU(k2 2)-1)/2 , y al resultado le llamaremos t.
(3) En ese caso, el número de soluciones para nuestra condición de que sea cuadrado n(n+k) vendrá dada por
N=t*(2m-3)+m-2 si m>2. Si no, lo tratamos como impar.
El primer sumando proviene de combinar todas las soluciones de la parte impar (la TAU t) con todas las de 2m (vimos que con un solo primo resultaban 2m-3) y el segundo de la partición que se desechó en la parte impar por tener dos factores iguales (k*k).
Esto hay que tomarlo como una explicación, no como demostración, que requeriría un conteo más sistemático de todos los casos. Lo vemos, por ejemplo, con 336=24*3*7. En este caso m=4 y la parte impar de k2 es 441=32*72, cuya TAU vale (1+2)(1+2)=9 y t=(9-1)/2=4. Por tanto, según la expresión que hemos presentado, n=4*(2*4-3)+4-2=4*5+2=22
En efecto, la función numcuadprod nos devuelve 22:
Según el razonamiento de más arriba, el segundo sumando, 4-2=2 proviene de tomar en la parte impar de 212 el par 21*21. Y así es en este ejemplo, ya que se corresponderían a los productos 1344*84=21*64*21*4=336*336 y a 672*168=21*32*21*8=336*336
Los restantes 20 productos válidos se corresponderán con todas las combinaciones válidas de los productos de la parte par con los de la parte par.
Por curiosidad, los copiamos aquí. Ninguno de ellos presenta el factor común 21 en ambos factores:
28224*4, 14112*8, 9408*12, 7056*16, 4704*24, 4032*28, 3528*32, 3136*36, 2352*48, 2016*56, 1764*64, 1568*72, 1344*84, 1176*96, 1008*112, 784*144, 672*168, 576*196, 504*224 y 448*252.
Las 22 soluciones para n respecto al valor de k=336 las podemos obtener, ordenadas de menor a mayor, con la función escuadprod:
Tomemos una al azar, como 847: 847*(847+336)=1002001=10012. Resulta un cuadrado, luego es una solución válida.
Hemos construido la función numcuadprod2 recogiendo el algoritmo propuesto.
Con ella se puede verificar la coincidencia de los dos métodos que podemos utilizar, el de la búsqueda simple (numcuadprod) y el basado en las consideraciones desarrolladas en este apartado (numcuadprod2)
En esta tabla de datos tomados al azar se observa la equivalencia:
Casos publicados
Analizamos ahora los casos que se publicaron en Twitter en enero de 2018:
Según nuestro procedimiento, como es impar, buscamos la función TAU de su cuadrado:
2019=3*673, luego TAU(20192)=(1+2)(1+2)=9, y el número de soluciones será (9-1)/2=4
Estas cuatro soluciones provendrán de los productos válidos del cuadrado de 2019:
Hemos seguido lo sugerido en esta serie de entradas:
- Buscar productos cuya diferencia sea múltiplo de 4
– Llamar A y B a los factores
– Encontrar su promedio p
– Aplicar la fórmula n=(p-k)/2.
Podemos observar la coincidencia entre nuestro cálculo y el publicado.
Aquí 2020=22*5*101. Es el caso en el que el exponente de 2 es 2, luego el número de casos será 4, pues la parte impar sólo presenta dos factores y el cuadrado de 2 no incrementa ese número.
Los productos válidos de 20202 son:
Para 2310=2*3*5*7*11 bastará calcular el número de casos de la parte impar de su cuadrado. Es fácil ver que TAU(23102)=3*3*3*3=81, luego el número de casos será (81-1)/2=40, tal como se afirma en la publicación que analizamos.
Reproducir los cuarenta casos es muy pesado. Deberíamos factorizar el cuadrado de 2310, 5336100 y buscarle todos los divisores:
5336100 2668050 1778700 1334025 … 10 9 7 6 5 4 3 2 1
Después formaríamos pares con ellos y nos quedaríamos con los que presentan una diferencia múltiplo de 4. No lo haremos con todos, sólo con los primeros:
Si siguiéramos el procedimiento con todos los pares de factores coincidiríamos con lo publicado de forma total.
Problema inverso
En las tres entradas referidas a este tema hemos buscado el valor de n que consigue que n(n+k) sea un cuadrado. Si planteamos el problema inverso, si dado un n ver si existe un k que cumpla la misma condición, con lo visto en párrafos anteriores tenemos la respuesta, pues vimos que n(n+3n) es un cuadrado, luego existe solución para todo n.
También vimos más arriba que 8n, 15n, 24n,…son todas soluciones para k, luego existen infinitas. La más pequeña suele ser 3n, pero con muchas excepciones, como puedes ver en la siguiente tabla, en la que las hemos marcado en rojo:
Esos casos se producen en los números que contienen cuadrados. Analizamos la situación:
(a) Si n es libre de cuadrados, será producto de varios primos, todos elevados a exponente 1. Por tanto, el cuadrado resultante de n(n+k) ha de ser múltiplo de los cuadrados de esos primos, luego el paréntesis también lo será, lo que obliga a que k sea múltiplo de n. De ahí que la solución mínima sea 3n.
(b) Si n contiene un cuadrado mayor que 1, será, por ejemplo, n=r2*s, lo que nos lleva a la situación de que r2*s*(r2*s+k) sea un cuadrado. Esto se consigue dando un valor a k que convierta el paréntesis en otro cuadrado. Para ello se puede convertir r2 en (r+1)2. Sabemos que la diferencia entre esos dos cuadrados es 2r+1, luego el valor de k que nos conviene es (2r+1)*s, ya que r2*s*(r2*s+(2r+1)*s)= r2*s*(r+1)2*s= r2*s2*(r+1)2, luego hemos conseguido el cuadrado.
Lo vemos con algún ejemplo:
N=20=22*5. Hacemos k=(2*2+1)*5=25 y queda 20(20+25)=20*45=900=302
N=24=22*6. Si k=(2*2+1)*6=30, tenemos 24(24+30)=1296=362
No hemos analizado si existe en el caso de números que contienen cuadrados alguna solución menor que la presentada. Lo importante es que todos los valores de n admiten infinitas soluciones para k.
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