En la anterior entrada comenzamos a “dar vueltas” a la cuestión de qué números n cumplen que n(n+k) es un cuadrado para un número k dado. Ya presentamos la función escuadprod(n,k) para averiguar si un número n forma cuadrado mediante n(n+k). Después se tradujo a PARI y se desarrolló un procedimiento algebraico para encontrar las soluciones del problema planteado.
En esta segunda entrada comenzaremos por contar las soluciones que presenta cada valor de k, para pasar luego a algunos casos interesantes.
Función para contar soluciones
Mediante procedimientos similares a los desarrollados en la anterior entrada, podemos crear la función numcuadprod(k) que cuente las soluciones para un valor concreto de k. El siguiente código para VBA de Excel resuelve la cuestión.
Function numcuadprod(k)
Dim a, i, r, c
c = 0 ‘Contador de soluciones
r = k ^ 2 / 4 ‘Cota de búsqueda
For i = 1 To r
a = i * (i + k)
If a = Int(Sqr(a)) ^ 2 Then c = c + 1 ‘Si se cumple, se incrementa el contador
Next i
numcuadprod = c
End Function
Si prefieres la exactitud del lenguaje PARI, puedes usar este código:
numcp(k)={local(c=0, a=0,r=k^2/4,i=0);for(i=1,r,a=i*(i+k);if(issquare(a),c+=1)); c}
print(numcp(960))
Lo hemos particularizado para k=960
Aquí tienes el resultado en Excel
Y aquí en PARI
Con la función escuadprod(n,k) que estudiamos en la anterior entrada podemos buscar esas 40 soluciones. Son:
En Excel:
Y en PARI
Casos particulares
Estudiaremos a continuación algunos casos particulares en los que no es complicado contar soluciones.
Múltiplos de 3
Todos tienen al menos una solución. Si k=3m, una solución para n es m, ya que m(m+3m)=4m2=(2m)2
Un razonamiento similar valdría para múltiplos de 8, ya que m(m+8m)=(3m)2
Por tanto los múltiplos de un número anterior a un cuadrado presentarán la misma situación.
Números que no presentan soluciones
Los números 1, 2 y 4 no admiten soluciones, porque sus cuadrados no se pueden descomponer en dos factores A y B cuya diferencia sea múltiplo de 4.
Números primos mayores que 2
Si k es primo, A=k2 y B=1. Todos los cuadrados de primos mayores que 2 son de la forma 4m+1, ya que (2k+1)2=4(k2+k)+1, (2k+3)2=4(k2+3k+2)+1, y por tanto A-B será múltiplo de 4. En este caso tendremos que p=(k2+1)/2 y n=((k2+1)/2-k)/2=(k2-2k+1)/4=(k-1)2/4, o bien:
Así lo comunica @republicofmath
Aquí añadimos que esta solución también es válida para todos los impares, aunque sólo tiene que ser única para los primos (recuérdese el 21).
En el caso de 21, n=(21-1)2/4=400/4=100, pero existen otras.
Podemos listar las soluciones para los primeros primos y comprobar esa fórmula:
Potencias de 2 mayores que 4
Si k=2r, con r>2, el número de soluciones será r-2
En efecto, k2 en ese caso se podría descomponer de la forma A=2a, B=2b, con la condición de que a+b=2r a>b y que la diferencia A-B sea múltiplo de 4, para lo que b ha de ser mayor que 1, ya que
A-B=2a-2b=(2a-b-1)*2b
En esa diferencia el paréntesis es impar, luego sólo será múltiplo de 4 si lo es 2b, es decir, con b>1
Esto reduce los valores de b a 2, 3, 4,…r-1, ya que el valor r produciría la
igualdad A=B. Contamos casos, y, efectivamente, son r-2
Lo vemos para el 16:
Si k=16, r=4, 2r=8, y los valores posibles de b, 2 y 3
Si b=2, B=4, A=64, p=(A+B)/2=34, n=(34-16)/2=9, y se cumple
9(9+16)=225=152
Si b=3, B=8, A=32, p=(A+B)/2=20, n=(20-16)/2=2, y tenemos 2(2+16)=36=62
Con la función numcuadprod(n) podemos comprobar estos resultados:
Se observa la coincidencia de valores en los resultados de la función numcuadprod y la expresión r-2
Semiprimos pares mayores que 4
Estos números presentan una sola solución, ya que si k=2h, k2=4h2, con h primo impar y la única forma de descomponer k en dos factores adecuados es A=2h2, B=2, con lo que su diferencia será 2*(h2-1). El paréntesis será múltiplo de 4, ya que h2 es de la forma 4m+1. Así que las soluciones se formarán así:
p=(2h2+2)/2=h2+1 y de ahí, n=(p-k)/2=(h2+1-2h)/2=
(h-1)2/2=(k-2)2/8
En resumen
Lo puedes comprobar con la tabla de los primeros semiprimos pares:
Estos razonamientos confirman lo visto en la anterior entrada, cuando se afirmaba que 2018 (semiprimo par) sólo presentaba una solución, 508032.
Números de la forma k=2m*p, con m>1 y p primo mayor que 2
En este caso k2=22m*p2
Al descomponer k2 en factores, el primo p puede pertenecer a ambos, o bien p2 pertenecerá a uno de ellos y al otro no.
Primer caso
Si el primo figura en ambos factores, sean A=2rp y B=2sp, aparecerán tantos factores como indique 2m, ya que p no añadirá ninguno más. Como vimos en el apartado de potencias de 2, se producirán m-2 soluciones válidas.
Segundo caso
Si p2 figura en un factor y en otro no, ambos factores han de ser múltiplos de 4, luego de todas las potencias de 2 que dividen a 2m, sean 21, 22, 23,… 22m-2, 22m-1,22m, habrá que eliminar la primera, que no es múltiplo de 4, y las dos últimas, que impedirían que fuera múltiplo de 4 el otro factor, luego sólo nos quedan 2m-3 posibilidades.
Sumamos y resultan 3m-5 el número de soluciones que admite k=2m*p.
Lo comprobamos con un ejemplo. Sea k=80=24*5. Según la fórmula, deben aparecer 2*4-5=7 soluciones. Lo desarrollamos:
K22=6400
Descomponemos en productos válidos.
Primer caso
Debe entrar el 5 en ambos factores. Las posibilidades son: 320*20 y 160*40, en total 4-2 soluciones, que serían:
A=320, B=20, p=(320+20)/2=170, n=(170-80)/2=45. Compruebo: 45(45+80)=752
A=160 B=40, p=(160+40)/2=100, n=(100-80)/2=10. Se cumple: 10(10+80)=900=302
Segundo caso
El primo 5 sólo figura en un factor. Nos quedarían los productos válidos 1600*4, 800*8, 400*16, 200*32, 100*64, que darían lugar (omitimos los cálculos) a las soluciones 361, 162, 64, 18 y 1. Serían 5 soluciones, es decir 2*4-3, según la fórmula.
Resumimos ambos casos y resultan las siete soluciones (3*4-5) que podemos obtener con la función escuadprod:
Números impares
En el caso de los impares el cálculo se simplifica. Sólo necesitamos conocer su descomposición factorial, en la que todos los números primos serán impares. Todos ellos serán del tipo 4k+1 o 4k+3, pero sus cuadrados, cuartas o sextas potencias serán todos del tipo 4k+1 y sus diferencias múltiplos de 4. Si en el emparejamiento un primo del tipo 4k+3 se toma una vez, el otro factor también lo contendrá, y se compensa el 3 al restar, resultando también un múltiplo de 4.
En este caso k2 tendrá la forma k2=p2tq2ur2vs2w…, con p, q, r, s primos y t, u, v y w sus exponentes primitivos. Se sabe que entonces su número de divisores será (1+2t)(1+2u)(1+2v)…Este producto es la función TAU, la que cuenta divisores.
Todos esos factores se deberán emparejar, ya que sus diferencias siempre serán múltiplos de 4. Un par tendrá dos factores iguales, y se deberá eliminar, con lo que nos quedan (TAU(k2)-1)/2 productos posibles, y soluciones para k.
Ejemplo
Si k=165=3*5*11, según la función numcuadprod, se deberán esperar 13 soluciones, número que coincide con la fórmula que acabamos de obtener: =(TAU(1652)-1)/2=(33-1)/2=26/2=13. En efecto, al sacar los divisores de 1652 podemos obtener trece pares válidos. Reproducimos los cálculos habituales para sacar todas las soluciones para k=165:
El último par se desecha por tener los factores idénticos, y nos quedan 13 soluciones en la última columna. Coinciden con las obtenidas mediante búsqueda ordenada con la función escuadprod ya vista anteriormente:
Un ejemplo con k conteniendo potencias:
Sea k=33*52*7=4725. Su cuadrado tendrá de exponentes 6, 4 y 2. Calculamos TAU=(1+6)(1+4)(1+2)=7*5*3=105
El número de soluciones será (TAU-1)/2=(105-1)/2=52, que coincide con el que nos devuelve numcuadprod:
En la siguiente entrada discutiremos el caso general y el problema inverso.
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