Números piramidales (5) Hexágonos

Quienes sigáis esta serie sobre números piramidales adivinaréis que los de tipo hexagonal son suma de los primeros números poligonales hexagonales, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325,… Ve acumulando sumas y obtendrás los piramidales hexagonales (PHEX):

1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360, 2856, 3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372,… http://oeis.org/A002412

Con nuestra calculadora Calcupol puedes también recorrerlos. Descárgala desde

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados

Fija el tipo en Piramidal de orden 6, escribe un 1 en pantalla y pulsa reiteradamente la tecla PROX. Así los obtendrás uno a uno. En la imagen hemos llegado hasta el 525.

Como todos los números piramidales, estos poseen una expresión polinómica que los genera. En este caso es

PHEX(n) = n(n + 1)(4n - 1)/6

Esta fórmula se obtiene particularizando para 6 la general de los piramidales:

Lo podemos comprobar, por ejemplo, para n=6, y nos queda:
PHEX(6)=6*7*23/6=161, como era de esperar.

Recurrencias

Estos números presentan varias formas de generación por recurrencia. La más práctica es la siguiente:

a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) + 4.

Podemos organizarlo según esta tabla, que iniciamos con 1, 7, 22. En cada fila añadimos un elemento nuevo calculado mediante la recurrencia:

Como suma

De diferencias de cuadrados

La definición de los números figurados mediante acumulación de otros más simples hace que sean frecuentes las generaciones mediante sumas de elementos. En el caso de los piramidales hexagonales basta acumular diferencias de cuadrados entre un número natural N y todos los menores que él. Lo puedes ver en esta tabla:

Por ejemplo, 50 es igual a 4^2-0^2+4^2-1^2+4^2-2^2+4^2-3^2

Se puede desarrollar algebraicamente, si recuerdas la fórmula para la suma de los primeros cuadrados:

S = n²-0²+n²-1²+n²-2²+n²-3²+…n²-(n-1)² = n³-n(n-1)(2n-1)/6 = n(n+1)(4n-1)/6

Hemos desembocado en la fórmula de los piramidales hexagonales, lo que demuestra la propiedad.

De números naturales impares

Todos los números piramidales hexagonales son suma de triangulares impares. Así, el tercero a(3) = t(1)+t(3)+t(5) = 1+6+15 = 22

Algebraicamente:

1*2/2+3*4/2+5*6/2+…(2n-1)n, expresada como sumatorio queda:

Si desarrollas llegarás a la fórmula del piramidal hexagonal: PHEX(n)=n(n+1)(4n-1)/6

Relación con números combinatorios

El denominador 6 de la fórmula de los piramidales hexagonales sugiere su relación con números combinatorios de índice inferior igual a 3, y, en efecto, existen esas relaciones:

Lo desarrollamos:

C(n+2,3)+3C(n+1,3)=(n+2)(n+1)n/6+3(n+1)n(n-1)/6=n(n+1)/6*(n+2+3n-3)=n(n+1)(4n-1)/6

Es un simple identidad algebraica.

Otra relación:

Es también una identidad algebraica sencilla.

Fin de la serie

No podemos extender en demasía la exposición de números piramidales. Terminamos con una breve referencia a los octogonales.

Como todos los anteriores, los piramidales octogonales resultan de la suma de los poligonales del mismo número de lados. Por ejemplo, la pirámide octogonal de índice 5 resultará de la suma: 1+8+21+40+65=135

Los primeros octogonales son:

1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, 1045, 1386, 1794, 2275, 2835, 3480, 4216, 5049, 5985, 7030, 8190, 9471, 10879,… http://oeis.org/A002414

Su fórmula: a(n)=n(n+1)(2n-1)/2

Por ejemplo, a(7)=7*8*13/2=28*13=364

En una próxima entrada justificaremos este tipo de fórmulas mediante interpolación polinómica sobre el conjunto {1, 2, 3, 4,…, n}

Fin de temporada

Con esta entrada damos fin a la temporada 2016-17 de este blog. Como todos los años, aprovecharemos el verano para resumir y ordenar materiales, así como actualizar otros pertenecientes a hojamat.es. Nos volveremos a encontrar en septiembre. Feliz verano.