Números figurados e interpolación polinómica

Las entradas sobre números piramidales publicadas en este blog contenían siempre una fórmula polinómica para expresar cada término de la sucesión. Por ello parece conveniente presentar un método general para la obtención de esas fórmulas. Disponemos para ello de la teoría de la interpolación polinómica, en la que elegiremos el método de Newton, y una hoja de cálculo que nos facilitará las cosas.

Teoría

Los conceptos y métodos de la interpolación polinómica los puedes encontrar en cualquier texto del primer ciclo de estudios universitarios. Todos se basan en el cálculo con diferencias sucesivas. En nuestro caso nos limitaremos a la suma de funciones enteras definidas sobre los primeros números naturales, lo que simplifica mucho los cálculos.

Por ejemplo, imaginemos que deseamos sumar los primeros números oblongos: 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6,…o bien, 2, 6, 12, 20, 30,…Queremos obtener una expresión para 2+6+12+20+30+…

En las técnicas de interpolación que usaremos, la primera operación es la obtención de las diferencias sucesivas, es decir, diferencias entre los elementos, diferencias entre las diferencias, y así sucesivamente hasta (en el caso polinómico) que sean todas iguales. Lo intentamos con el ejemplo. En primer lugar encontramos las sumas parciales de oblongos: 2, 2+6=8, 2+6+12=20,…que serían 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168, 240,…

Lo puedes organizar con una hoja de cálculo:

La siguiente imagen, tomada de nuestra hoja newton.xls, puedes entender muy bien el concepto de diferencias sucesivas. En primer lugar hemos escrito nuestra sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112, 168,…Después hemos ido restando cada elemento con el siguiente: 6, 12, 20, 30, 42, 56,…(resultan ser los oblongos). A continuación hemos restado esas diferencias: 6, 8, 10, 12, 14,…entre sí, y al final en otra resta, hemos llegado a 2, 2, 2,…Esa es la señal de que esos números siguen una expresión polinómica, el que las diferencias se hagan iguales y las siguientes nulas.

Como aquí las diferencias constantes se alcanzan en tres pasos, la fórmula que buscamos será un polinomio de tercer grado. Lo repasamos en teoría:

Fórmula de interpolación de Newton

Cuando en un proceso se llega a diferencias constantes, sabemos que es posible expresar la sucesión dada mediante un polinomio dependiente del número de orden. La fórmula hallada por Newton es algo compleja en el caso general, en el que hay que usar diferencias divididas, pero se simplifica bastante en el caso de un polinomio aplicado al conjunto 1, 2, 3, 4,…Sería esta:

En ella a₀ es el primer término, d₁ la primera diferencia, d₂ la primera de las segundas diferencias, y así sucesivamente. En nuestro caso sería:

P(x)=2+6(x-1)+6(x-1)(x-2)/2!+2(x-1)(x-2)(x-3)/3!

Reduciendo a común denominador y simplificando:

Lo hemos comprobado con la hoja de cálculo. Observa la coincidencia de los valores en rojo:

Como ves, lo que es más complicado es la simplificación, pero el método es simple: encontrar diferencias sucesivas hasta que se estabilicen, y aplicar la fórmula de interpolación simplificada para los puntos de apoyo 1, 2, 3, 4,…
Todo esto puedes reproducirlo con nuestra hoja de cálculo newton, que puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

Recuerda que sólo te vale para sumas definidas sobre los primeros naturales.

Basta escribir los valores de la sucesión en la segunda fila

y leer los coeficientes (en forma de fracción) más abajo:

Es fácil de interpretar (de derecha a izquierda): 2/1 es el coeficiente de 1, 6/1 el de (x-1), 6/2 para (x-1)(x-2) y, finalmente, 2/6 para (x-1)(x-2)(x-3). Después vendría la simplificación, pero si quieres ahorrártela, la hoja dispone del cálculo para un valor concreto. Por ejemplo, ¿cuánto suman los diez primeros oblongos?

Para ello dispones de las celdas adecuadas

La respuesta es 440. Hay que advertir que puede producir pequeños errores para índices grandes, por lo que se aconseja comprobar.

Si deseas evitarte la simplificación puedes acudir a un CAS. Nosotros hemos usado wxMaxima para obtener el resultado previsto:

Otro paso sería el intentar, si es posible, buscar una interpretación al resultado obtenido. En nuestro caso es fácil ver que, para x mayor o igual a 3, se reduce a

Este proceso se puede repetir para números poligonales, piramidales o poligonales centrados (y otros similares que nos inventemos), porque todos se basan en sus definiciones en la acumulación de sumas, lo que garantiza que la fórmula buscada es de tipo poligonal.

Otro ejemplo

Sabemos que los números piramidales triangulares se construyen sumando los triangulares, y estos, a su vez, acumulando los naturales. Con un sencillo esquema los identificamos:

Luego los primeros piramidales son 1, 4, 10, 20,….Los volcamos en la hoja newton para descubrir sus diferencias y los coeficientes de interpolación:

Las diferencias son 1, 3, 3 y 1, y con ellas se construyen los coeficientes 1/1, 3/1, 3/2 y 1/6. Rellenamos la fórmula de interpolación y queda:

P(x)=1+3(x-1)+3/2(x-1)(x-2)+1/6(x-1)(x-2)(x-3)

Simplificamos con wxMaxima:

Coincide con la que se obtuvo en la entrada correspondiente a los números tetragonales (o piramidales triangulares)

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

Con lo aprendido hoy estamos preparados para saltar a la cuarta o quinta dimensión, y sumar números piramidales consecutivos. Lo dejamos para otra entrada.