Número octogonal

 Introducción

Con los poligonales de ocho lados (octogonales) finalizamos la serie de estudios individualizados de cada tipo. En una última entrada se incluirán referencias rápidas de otros  poligonales.

Como en casos anteriores, se recomienda visitar algún tipo de los ya estudiados en este blog, como los hexagonales o heptagonales.

Definición e inserción con los poligonales en general

La formación de un número octogonal sigue el mismo procedimiento que en los casos anteriores. El simple estudio de esta imagen lo aclara:

Vemos en ella cuatro octógonos que se forman sobre un mismo vértice y sus dos lados adyacentes, con un número de unidades por lado creciente. Su índice es 5, porque lo forman cuatro polígonos más la unidad del principio que también se cuenta. Así que este esquema representa un poligonal de orden 8 con índice 5.

Par calcular su número de unidades partimos, como en toda la serie, de la fórmula general:

Basta sustituir k por 8 para obtener la fórmula adecuada para los octogonales, que representaremos como Oc(n):

Así, el número de unidades del octogonal de la imagen de arriba será:

Con esta expresión es fácil crear una columna de octogonales en una hoja de cálculo:

Estos son los primeros octogonales:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936,… (http://oeis.org/A000567)

 

Descomposiciones diversas de un número octogonal

Los números octogonales participan de las descomposiciones generales de todos los poligonales. Las repasamos para este caso:

Suma de una progresión aritmética de diferencia 6 partiendo de 1

1+7=8

1+7+13=21

1+7+13+19=40

Basta ver en la imagen anterior que en cada capa nueva de octógonos el incremento es 6 unidades mayor que el anterior. Algebraicamente:

Un triángulo de lado k y 5 triángulos de lados k-1

Por ejemplo, 176 es el octogonal de orden 8 y equivale a un triangular de ese índice y cinco del anterior:

176=8*9/2+5*7*8/2=36+5*28=36+140=176

Gráficamente:

Algebraicamente: n(n+1)/2+5n(n-1)/2 = (n²+n+5n²-5n)/2 = 3n²-2n

 

Un lado de longitud k y 6 triángulos de índice k-1

Una propiedad similar se demostró en tipos anteriores, por lo que omitimos su justificación. Es tan sencilla como la anterior.

Lo aplicamos al octogonal de índice 9, 225:

225=9+6*8*9/2=9+6*36=9+216=225

 

Un cuadrado y cuatro triángulos de una unidad menos

Esta descomposición es propia de los octogonales. Se deduce de su fórmula:

Lo aplicamos al 133, que tiene lado 7:

133=7²+4*6*7/2=49+4*21=49+84=133

En la imagen reconocemos los cuatro cuadrados (contornos en negro) y dos triangulares consecutivos (índices 4 y 5, los de contorno rojo) que adosados forman un cuadrado de lado 5.

Del desarrollo efectuado anteriormente también se deduce la siguiente descomposición:

Un octogonal equivale a la suma de un cuadrado con el doble de un oblongo

Los números oblongos son los del tipo N(N+1) o N(N-1). Así que también lo hemos deducido sin saberlo:

El octogonal 280 se puede descomponer así:

280=10²+2*10*9=100+180=280

 Criterio para reconocer octogonales

Como en otros casos, para que N sea octogonal, ha de tener solución entera positiva la ecuación N=3n²-2n, o 3n²-2n-N=0

Resolviendo:

Si la solución es entera positiva, N será octogonal. Lo podemos plasmar con la función:

Function ordenoctogonal(n)

Dim a, b

 

b = 0

a = 3 * n + 1 ‘Debe ser un cuadrado

If escuad(a) Then

b = (1 + Sqr(a)) / 3 ‘Solución de la ecuación

If b <> Int(b) Then b = 0 ‘Ha de ser entera

End If

ordenoctogonal = b

End Function

 

Con esta función podemos comprobar, por ejemplo, que en el rango 300-310 no existe ningún octogonal:

Si hubiéramos buscado en el rango 400-410 habríamos encontrado que 408 es el octogonal número 12:

Algunas propiedades

Los números octogonales alternan la paridad .

Con índice par 2k:

Oc(2k)=3(2k)²-2(2k)=12k²-4k, que es claramente par.

Con impar 2k+1:

Oc(2k+1)=3(2k+1)²-2(2k+1)=12k²+12k+3-4k-2=12k²+12k-4k+1, que es impar.

Esta alternancia se comprueba en su listado:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560,…

 

Una propiedad atractiva

Amarnath Murthy propone en http://oeis.org/A000567 la siguiente propiedad:

Oc(n) = (3n-2)(3n-1)(3n)/((3n-1) + (3n-2) + (3n))

En efecto: (3n-2)(3n-1)(3n)/(3*(3n-1)) = n(3n-2) = 3n²-n=Oc(n)

Traduciendo a lenguaje ordinario, los octogonales equivalen al producto de tres números naturales consecutivos adecuados dividido entre su suma. Por ejemplo, el 408 equivale a 34*35*36/(34+35+36).

 

Número de divisores

J. Lowell propone en esa misma página que el octogonal de índice n equivale al número de divisores de 24^(n-1). En realidad, no es necesario usar el número 24, pues valdría para esta propiedad cualquier número con dos divisores y exponentes 3 y 1 respectivamente. En efecto, en este caso la función TAU que cuenta divisores valdría:

TAU=(1+3(n-1))(1+n-1)=(3n-2)*n=3n²-2n

En la página indicada de OEIS se presentan más propiedades, pero con las que hemos publicado ya basta por hoy.

Se conservan propiedades al multiplicar por 10

 Muchas propiedades de los números enteros se conservan cuando le añadimos un cero a la derecha, es decir, si los multiplicamos por 10. Un ejemplo son todas las referentes a ser múltiplo de otro número, como los pares o los múltiplos de 3 o 5, que siguen siéndolo si les añadimos un 0. Igual ocurre con las hipotenusas de las ternas pitagóricas.

Otras propiedades desaparecen en esta operación, como el hecho de ser un cuadrado perfecto. Si a 144 le añadimos un cero, se convierte en 1440, que no es cuadrado. Igual ocurre con la propiedad de ser primo o semiprimo. Tampoco parece (lo he comprobado parcialmente) que los términos de la sucesión de Fibonacci cumplan esto.

Por último, existen propiedades que se conservan en unos números sí y en otros no. Esas son las que estudiaremos aquí con algunos números figurados.

Oblongos

Los oblongos, es decir los del tipo k=n(n+1) se caracterizan porque 4k+1 ha de ser un cuadrado. Por tanto, para que un oblongo conserve su carácter al multiplicarlo por 10, también deberá ser cuadrado 40k+1. En este hecho se basa esta condición en PARI:

ok(n)=issquare(4*n+1)&&issquare(40*n+1)

Con ella, añadiendo un bucle, podemos investigar qué oblongos conservan su carácter al añadirles un cero:

ok(n)=issquare(4*n+1)&&issquare(40*n+1)

for(i=1,10^6,if(ok(i), print(i)))

 Obtenemos:

Con un poco de paciencia, llegando hasta potencias altas de 10, podemos encontrar esta sucesión:

2, 42, 156, 3080, 60762, 225150, 4441556, 87618960, 324666342, 6404720870, 126346479756, 468168640212, 9235603053182, 182191536189390, 675098854519560, 13317733197967772, 262720068838620822, 973492080048565506, 19204162035866474240

Por ejemplo, 3080 es oblongo, porque 3080=55*56, y 30800 también lo es, ya que 30800=175*176

Esta sucesión está formada por los dobles de la siguiente que estudiaremos.

Otro método de búsqueda

Si llamamos “y” a la raíz cuadrada de 4k+1 y “x” a la de 40k+1, ambas deben ser enteras, y despejando k tenemos que k=(y²-1)/4=(x²-1)/40, con lo que llegamos a una ecuación de tipo Pell: x²-10y²=-9

Podemos plantear una búsqueda de todos los números “y” tales que 10y²-9 sea cuadrado. Estos son los primeros resultados:

El valor de k se obtiene de (y²-1)/4 y coincide con el oblongo buscado. Es un algoritmo mucho más rápido que el anterior.

Triangulares

Si probamos con los triangulares, basta saber que la condición que han de cumplir es que 8T+1 sea un cuadrado, luego, si los buscamos de la misma forma que los oblongos, resultarán números que serán la mitad de los anteriores. Están publicados en http://oeis.org/A068085. Puedes comprobar en su listado que son la mitad de los oblongos del apartado anterior (en OEIS suelen comenzar por el 0)

0, 1, 21, 78, 1540, 30381, 112575, 2220778, 43809480, 162333171, 3202360435, 63173239878, 234084320106, 4617801526591, 91095768094695, 337549427259780, 6658866598983886, 131360034419310411

En nuestra sucesión hemos logrado dos términos más.

Podemos organizar una búsqueda alternativa, como procedimos con los oblongos. Tendríamos que plantear x²-10y²=-9 y solo cambiaría que para obtener k deberíamos usar (y²-1)/8.

Algunos poligonales

Los pentagonales no presentan ningún caso entre los primeros números, pero en los hexagonales existe alguno:

1540 es el único hexagonal menor que 10^8 que posee la propiedad de que al añadirle un cero por la derecha sigue siendo hexagonal:

La fórmula de los hexagonales es n(2n-1) y se cumple que

1540=28×(2×28-1)

15400=88×(2×88-1)

Una idea sería la de extraer ejemplos del listado de triangulares visto más arriba, ya que todo hexagonal equivale a un triangular impar. Así hemos obtenido otro ejemplo, 3202360435, de índice 40015, y que al multiplicarlo por 10 se convierte en el hexagonal de índice 126538.

En efecto:

3202360435=40015*(2*40015-1)

32023604350=126538*(2*126538-1)

Los primeros heptagonales con esta propiedad son 7, 748, 2772, 202635 y 78857064.

Se puede usar la condición ok(n)=issquare(40*n+9)&&issquare(400*n+9), según se vio en una reciente entrada de este blog dedicada a estos números.

Por último, no parece que existan octogonales que cumplan lo exigido. Con esto dejamos la búsqueda, que ha resultado más limitada de lo esperado.

Números heptagonales

 Introducción

En la serie de este curso sobre números poligonales, esta entrada es posterior a la dedicada a los pentagonales y hexagonales. Por ello, en algunos temas remitiremos a estos números y puede ser aconsejable consultar las entradas correspondientes. Busca en el blog las palabras “pentagonales” o “hexagonales”

Definición e inserción con los poligonales en general

Los números heptagonales se generan, como todos los poligonales, alineando los elementos en estructuras de este tipo adosadas en orden creciente, y compartiendo dos lados cada una con la anterior, como se puede ver en este esquema construido con Excel:

 

Observamos que se ha construido adosando cuatro heptágonos con tamaño creciente. Como se cuenta también la unidad inicial, este número heptagonal tendría índice 5.

 Si estás siguiendo esta serie sabrás ya que todos los números poligonales se calculan con la fórmula

Tal como procedimos con otros poligonales, si hacemos k=7 obtendremos la fórmula adecuada para los heptagonales, que representaremos como Hp:

Con una hoja de cálculo se crea rápidamente una columna de heptagonales aplicando esta fórmula:

Los primeros números heptagonales son:

1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782,…

(http://oeis.org/A000566)

 

Caracterización de los números heptagonales

 

Si multiplicamos un heptagonal por 5 y añadimos una unidad, obtenemos un número triangular. En efecto:

 

El criterio para saber si un número es triangular es que 8T+1 sea cuadrado, luego, en el caso del heptagonal deberá ser cuadrado C²=8(5Hp+1)+1=40Hp+9

Por ejemplo, ¿Es heptagonal 783?

Aplico el criterio: C=40*783+9=31329=177^2, luego es un cuadrado y 783 es heptagonal.

La raíz cuadrada siempre terminará en 7. Si sustituimos el número a probar por la fórmula de un heptagonal, queda:

 

Claramente, la expresión 10n-3 termina en 7 en el sistema decimal de numeración.

Si se cumple el criterio, podemos encontrar el orden del heptagonal:

Igualamos la fórmula del heptagonal a su valor llegamos a la ecuación

5n²-3n-2H=0

Escribiendo la solución en función de C llegamos a una relación muy simple: n=(C+3)/10.

Todo esto se puede resumir en una función:

 

Function ordenheptagonal(n)

Dim a, b

 

b = 0 ‘Comenzamos haciendo cero el posible orden

a = 40 * n + 9 ‘Buscamos el cuadrado

If escuad(a) Then ‘Si es cuadrado, n es heptagonal

b = (Sqr(a) + 3) / 10 ‘Calculamos su orden

End If

ordenheptagonal = b

End Function

 

De esta forma podemos identificar si un número es heptagonal  o no.

En la tabla siguiente hemos buscado el primer heptagonal a partir de 400:

Vemos que sólo 403 es heptagonal de orden 13, porque 403=13*(5*13-3)/2

 

Omitimos para los heptagonales la referencia a mi calculadora Calcupol. Puedes consultar la entrada para pentagonales o la de hexagonales. No conviene repetir demasiado.

 

Otras formas de expresar los heptagonales

 

Paul Barry da en OEIS este desarrollo: a(n) = Sum_{k = 1..n} (4*n - 3*k).

Traducimos a nuestra notación:

Es fácil de comprobar, ya que el sumatorio de 4n será 4n², y el de 3k es el triple de un número triangular, quedando

Hp(n)=4n²-3n(n+1)/2=n(5n-3)/2, que es la fórmula del heptagonal.

Por ejemplo, para n=6

Viendo este ejemplo te puedes preguntar si existen más heptagonales que sean cuadrados. La respuesta es afirmativa y los tienes publicados en http://oeis.org/A036354

 

Los números heptagonales equivalen a un número triangular de su mismo lado sumado con cuatro veces su anterior.

Lo podemos comprobar con la siguiente imagen

También es sencilla la justificación algebraica:

Es n(n+1))/2+4(n-1)n/2=n(5n-3)/2=Hp(n)

Es válida para heptagonales la descomposición Hp(n)=n+5T(n-1), como suma de un lado y cinco triangulares de lado n-1

En efecto, n+5n(n-1)/2=n(5n-3)/2=Hp(n)

 

Recurrencias

Todos los poligonales siguen esta sencilla recurrencia P(n,k)=P(n,k-1)+(k-1)(n-2)+1. En el caso de los heptagonales hacemos n=5 y queda Hp(k)=Hp(k-1)+5(k-1)+1

Hp(k)=Hp(k-1)+5(k-1)+1=Hp(k-1)+5(k-1)+1

Así, nos queda esta tabla:

La primera columna contiene índices, la segunda los incrementos 5k+1 y la tercera las sumas, que se convierten en los heptagonales. Hemos destacado que 55=21+34

En OEIS proponen varias recurrencias. Comprobamos la de  Jaume Oliver Lafont:

a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3),  a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = 7.

Lo intentamos con nuestra herramienta de sucesiones recurrentes lineales http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Abrimos la hoja “Tercer orden” y rellenamos datos:

Los coeficientes son 3, -3 y 1, y como iniciales hemos elegido 0, 1, 7. Pulsamos el botón “Ver sucesión” y obtenemos los primeros heptagonales.

 

Productos palindrómicos

En nuestras búsquedas de números y de desarrollos curiosos nos hemos encontrado a menudo con operaciones que dan lugar a números capicúas o palindrómicos (en esta entrada usaremos la palabra capicúa, que es más popular entre nosotros). Para abreviar, nos restringiremos a la operación producto con datos no necesariamente capicúas, pero cuyo resultado sí  lo es. Usaremos factores cercanos como objetivo de la búsqueda.

Siguiendo la costumbre general, consideramos capicúas a los de una cifra.

En este blog disponemos de la función ESCAPICUA, que puedes consultar en el Anexo de nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/02/suma-y-producto-de-cubo-y-otro-tipo-1.html El problema es que depende mucho de la estructura del lenguaje VBASIC DE Excel y Calc. Proponemos una nueva versión que se traslada mejor a otro lenguaje:

Function escapicua(n) As Boolean

Dim a, b, c, i, j, t

Dim es As Boolean

If n < 10 Then escapicua = True: Exit Function ‘Si es de una cifra, es capicúa

es = True ‘Suponemos que es capicúa

c = 1

While n >= 10 ^ c: c = c + 1: Wend ‘Calcula el número de cifras

t = Int((c + 1) / 2) ‘Punto medio de las cifras

i = 1

While i <= t And es

a = Int((n - Int(n / 10 ^ i) * 10 ^ i) / 10 ^ (i - 1)) ‘a y b son cifras simétricas

j = c - i + 1

b = Int((n - Int(n / 10 ^ j) * 10 ^ j) / 10 ^ (j - 1))

If a <> b Then es = False ‘Si las cifras simétricas son desiguales, no es capicúa

i = i + 1

Wend

escapicua = es

End Function

 

Con esta función es fácil analizar si un producto es capicúa o no. Podéis elegir la versión que más os guste.

En el lenguaje PARI, al poder usar listas y vectores, la función es muy simple. La que sigue se inspira en la propuesta por Michel Marcus:

ispalindromic(n) = my(d = digits(n)); Vecrev(d) == d

La función digits convierte el número en un vector de cifras y solo queda comprobar que es idéntico a su reverso.

 Productos entre números próximos

Caso N(N+1)

Un caso sencillo es el de multiplicar dos números consecutivos para dar como resultado un número oblongo (ver http://oeis.org/wiki/Oblong_numbers)

En hoja de cálculo basta construir una columna con productos N(N+1) y después aplicarle la función ESCAPICUA. Nosotros hemos usado un sencillo buscador que realiza la misma función, con este resultado:

Estos primeros casos están publicados en http://oeis.org/A028336

Con nuestra función en PARI podemos llegar más lejos sin esfuerzo:

Código:

ispalindromic(n) = my(d = digits(n)); Vecrev(d) == d

for(i=1,10^6,if(ispalindromic(i*(i+1)),print(i,"  ",i*(i+1))))

Es curioso el caso del 77, que siendo capicúa, produce un oblongo también capicúa: 6006=77*78

Una simpática referencia a estas búsquedas la tienes en  http://www.worldofnumbers.com/consec.htm

 

CASO N(N+2)

Este caso lo podemos tratar de la misma forma que el anterior. Esta es la tabla que se puede construir con hoja de cálculo:

Es curioso el caso de los números formados por nueves. Estas igualdades son muy simples, pero ilustrativas:

9×(9+2)=99

99×(99+2)=9999

999×(999+2)=999999

9999×(9999+2)=99999999

También destaca el capicúa 191, que se convierte en otro capicúa: 191*(191+2)=36863

Están publicados los primeros valores de N en http://oeis.org/A028503 y algunas curiosidades en http://www.worldofnumbers.com/quapron.htm. En ellas se comprueba la pertenencia de 9, 99, 999, 9999,…

Una consecuencia inmediata de la forma de estos productos es que equivalen a un número cuadrado menos la unidad. Es fácil verlo: a(a+2)=a²+2a=(a+1)²-1. Se puede comprobar mentalmente con los primeros, o creando una columna nueva en la hoja de cálculo.

 

Caso N(N+3)

Finalizamos este tipo de producto con el caso de dos factores que se diferencian en tres unidades, es decir, N(N+3)

Aplicando los mismos criterios de búsqueda llegamos a la sucesión de palíndromos. Esta vez usaremos el siguiente código PARI:

ispalindromic(n) = my(d = digits(n)); Vecrev(d) == d

for(i=1,10^6,if(ispalindromic(i*(i+3)),print(i,"  ",i*(i+3))))

Los primeros valores de N y del palindrómico N(N+3) son

 

Si en el anterior caso destacábamos el caso de 9, 99, 999, aquí llama la atención el de 28, 298, 2998,…en los que se forman:

28*(28+3)=868

298*(298+3)=89698

2998*(2998+3)=8996998

Estos casos están publicados en http://oeis.org/A028553. En esa página se enlazan otras de         

Patrick De Geest que analizan estos casos y los siguientes, N(N+4), N(N+5), que no estudiaremos aquí.

Caso K(2K+1)

Con las mismas técnicas que los anteriores podemos investigar aquellos números de los que uno es el doble del otro más la unidad. Resultan estos casos:

Elegimos esta relación para ver si la cumplía algún número primo de Sophie Germain (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germain), pero solo hemos encontrado el par (5, 11) con producto capicúa 55.

Caso K*K

Es el caso de los cuadrados que son capicúas.

Son bastantes, y están publicados en http://oeis.org/A002778

 

Caso K*2K

Es como buscar los productos que son doble de un cuadrado. No aparecen tantos como era de esperar, ya que la siguiente tabla presenta los menores de 10^5:

Están publicados los resultados, pero no los valores de N, en http://oeis.org/A028985

En esa página se destaca que el número de divisores de estos resultados es impar

En efecto, la suma de divisores de un número tiene como fórmula

Si el resultado es el doble de un cuadrado, su descomposición factorial tendrá la forma

Todos los factores con exponente par producirán en la fórmula de arriba factores impares. Por ejemplo, 7⁴ produciría 1+7+7²+7³+7⁴, que es impar. Igual ocurre con el 2, que, por ejemplo, 2²=1+2+2², impar. Por último, el 2 que encabeza la expresión produciría el factor 1+2=3, luego todos los paréntesis de la fórmula serán impares, y con ellos el producto.