Muchas propiedades de los números enteros se conservan cuando le añadimos un cero a la derecha, es decir, si los multiplicamos por 10. Un ejemplo son todas las referentes a ser múltiplo de otro número, como los pares o los múltiplos de 3 o 5, que siguen siéndolo si les añadimos un 0. Igual ocurre con las hipotenusas de las ternas pitagóricas.
Otras propiedades desaparecen en esta operación, como el
hecho de ser un cuadrado perfecto. Si a 144 le añadimos un cero, se convierte
en 1440, que no es cuadrado. Igual ocurre con la propiedad de ser primo o
semiprimo. Tampoco parece (lo he comprobado parcialmente) que los términos de
la sucesión de Fibonacci cumplan esto.
Por último, existen propiedades que se conservan en unos
números sí y en otros no. Esas son las que estudiaremos aquí con algunos
números figurados.
Oblongos
Los oblongos, es decir los del tipo k=n(n+1) se caracterizan
porque 4k+1 ha de ser un cuadrado. Por tanto, para que un oblongo conserve su
carácter al multiplicarlo por 10, también deberá ser cuadrado 40k+1. En este
hecho se basa esta condición en PARI:
ok(n)=issquare(4*n+1)&&issquare(40*n+1)
Con ella, añadiendo un bucle, podemos investigar qué
oblongos conservan su carácter al añadirles un cero:
ok(n)=issquare(4*n+1)&&issquare(40*n+1)
for(i=1,10^6,if(ok(i), print(i)))
Con un poco de paciencia, llegando hasta potencias altas de
10, podemos encontrar esta sucesión:
2, 42, 156, 3080, 60762, 225150, 4441556, 87618960,
324666342, 6404720870, 126346479756, 468168640212, 9235603053182,
182191536189390, 675098854519560, 13317733197967772, 262720068838620822,
973492080048565506, 19204162035866474240
Por ejemplo, 3080 es oblongo, porque 3080=55*56, y 30800
también lo es, ya que 30800=175*176
Esta sucesión está formada por los dobles de la siguiente
que estudiaremos.
Otro método de
búsqueda
Si llamamos “y” a la raíz cuadrada de 4k+1 y “x” a la de
40k+1, ambas deben ser enteras, y despejando k tenemos que k=(y2-1)/4=(x2-1)/40,
con lo que llegamos a una ecuación de tipo Pell: x2-10y2=-9
Podemos plantear una búsqueda de todos los números “y” tales
que 10y2-9 sea cuadrado. Estos son los primeros resultados:
Triangulares
Si probamos con los triangulares, basta saber que la
condición que han de cumplir es que 8T+1 sea un cuadrado, luego, si los
buscamos de la misma forma que los oblongos, resultarán números que serán la
mitad de los anteriores. Están publicados en http://oeis.org/A068085.
Puedes comprobar en su listado que son la mitad de los oblongos del apartado
anterior (en OEIS suelen comenzar por el 0)
0, 1, 21, 78, 1540, 30381, 112575, 2220778, 43809480,
162333171, 3202360435, 63173239878, 234084320106, 4617801526591,
91095768094695, 337549427259780, 6658866598983886, 131360034419310411
En nuestra sucesión hemos logrado dos términos más.
Podemos organizar una búsqueda alternativa, como procedimos
con los oblongos. Tendríamos que plantear x2-10y2=-9 y
solo cambiaría que para obtener k deberíamos usar (y2-1)/8.
Algunos poligonales
Los pentagonales no presentan ningún caso entre los primeros
números, pero en los hexagonales existe alguno:
1540 es el único hexagonal menor que 10^8
que posee la propiedad de que al añadirle un cero por la derecha sigue siendo
hexagonal:
La fórmula de los hexagonales es n(2n-1) y
se cumple que
1540=28×(2×28-1)
15400=88×(2×88-1)
Una idea sería la de extraer ejemplos del
listado de triangulares visto más arriba, ya que todo hexagonal equivale a un
triangular impar. Así hemos obtenido otro ejemplo, 3202360435, de índice 40015,
y que al multiplicarlo por 10 se convierte en el hexagonal de índice 126538.
En efecto:
3202360435=40015*(2*40015-1)
32023604350=126538*(2*126538-1)
Los primeros heptagonales con esta propiedad son 7, 748,
2772, 202635 y 78857064.
Se puede usar la condición ok(n)=issquare(40*n+9)&&issquare(400*n+9), según se vio en
una reciente entrada de este blog dedicada a estos números.
Por último, no parece que existan octogonales que cumplan lo
exigido. Con esto dejamos la búsqueda, que ha resultado más limitada de lo
esperado.
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