¿Qué hay entre dos primos consecutivos? (1)

Evidentemente, lo que hay entre dos primos consecutivos son números compuestos, pero puede haber también cuadrados, semiprimos u oblongos, y se pueden contar o sumar. De algunas clases sólo habrá uno o ninguno, como en el caso de los cuadrados, y en otras aparecerán muchos más. Nos entretendremos con esas búsquedas, para ver qué conseguimos.

En primer lugar, un escenario

Para entender mejor lo que sigue, hemos construido una tabla con todos los números del 2 al 997, que puedes extender tanto como desees. Dicha tabla está organizada escribiendo los números primos en una misma columna, y los comprendidos entre cada dos de ellos consecutivos (los llamaremos “entreprimos”), en las columnas siguientes. Algo como esto:

Hemos alojado esta tabla en http://www.hojamat.es/blog/entreprimos.xlsm

De esta forma, cuando deseemos contar, sumar o destacar entreprimos, trabajaremos por filas, lo que en una hoja de cálculo facilita mucho el trabajo. Por ejemplo, con la función CONTAR podemos añadir una columna que nos exprese el intervalo entre dos primos consecutivos. Por eso comenzamos la tabla en la columna D, para poder insertar columnas delante de ella. Observa cómo quedaría la función CONTAR en la columna C:

Como era de esperar, salvo el caso del 2 y el 3, el número de entreprimos es siempre par, y distribuido de forma irregular.

Podíamos haber sumado, y obtendríamos los términos de la sucesión http://oeis.org/A054265

0, 4, 6, 27, 12, 45, 18, 63, 130, 30, 170, 117, 42, 135, 250, 280, 60, 320, 207, 72,… como puedes observar en la imagen, en la que hemos usado la función SUMA.

En la página enlazada http://oeis.org/A054265 se te propone una fórmula para estas sumas. Es fácil de entender. Si llamamos P(N) al primo número N es claro que el número de entreprimos entre P(N) y P(N+1) es P(N+1)-P(N). Pero es trivial que forman una progresión aritmética, luego se pueden sumar mediante la fórmula clásica

Que en este caso sería (P(N+1)-1+P(N)+1)*(P(N+1)-P(N)+1)/2, es decir:

Por ejemplo, entre 23 y 29 la suma de compuestos sería (23+29)*(29-23+1)/2=26*5=130, como se comprueba en la tabla.

Número de entreprimos

Para recuentos posteriores, es útil disponer de una fórmula para contar los entreprimos inferiores a un primo dado. Recordamos que existe una función PI(x), o p(x) con x real, que cuenta los primos menores o iguales a un número dado. En lenguajes de programación se podrá expresar como PrimePi(x) en el Wolfram Language, primepi(x), en PARI o nuestra PRIMHASTA para hoja de cálculo. Es evidente que el número de entreprimos hasta N se calculará restando N y PRIMEPI(N), para así eliminar los primos. En PARI podíamos definir esta función:

entreprimos(n)=n-primepi(n)

Con este código contamos los entreprimos de la tabla-escenario propuesta:

entreprimos(n)=n-primepi(n)
{print(entreprimos(997))}

Si lo ejecutas te devolverá 829, aunque en la tabla hay 828. Esto es porque cuenta el 1.

Si deseas contar entre dos primos puedes usar esta otra función:

entreprimos2(m,n)=n-primepi(n)-m+primepi(m)

Por ejemplo, para m=31 n=53 nos devuelve el valor 17, que puedes comprobar en la tabla

Usaremos más adelante estas funciones en cálculos de densidades de ciertos tipos de entreprimos. Finalizamos aquí para no mezclar los temas con los de la siguiente entrada.

Volvemos a los números "arolmar" (3) Coincidencias

Proseguimos hoy el estudio y curiosidades que presentan nuestros números arolmar, aquellos libres de cuadrados en los que la media de sus factores primos es también un número primo. Esta es la tercera entrada de la serie. Puedes leer previamente las dos anteriores. Para ello busca en este mismo blog la etiqueta "Números AROLMAR"

Los números arolmar pueden presentar otras características, pertenecer a otro tipo de números. Por definición, no pueden ser primos ni cuadrados, pero sí, por ejemplo, triangulares. Aquí tienes los primeros números arolmar que también son triangulares:

(En la tabla figura el número n, su orden como triangular y sus factores)

Entre ellos hay pocos semiprimos, ya que se pueden necesitar más factores para construir una expresión del tipo n(n+1)/2. Un caso especial es el 231, que es triangular de orden también triangular.

Como ser triangular aquí es una mera casualidad, no aparecen muchos. Inferiores a 10000 sólo hay los diez de la tabla.

También pueden ser pentagonales:

O hexagonales:

Otra causalidad es que un arolmar pertenezca a la sucesión de Fibonacci. Entre los inferiores a 25000 sólo hemos encontrado estos dos, el 21, de orden 8 y el 987, de orden 16.

Existen también palindrómicos

33
393
505
565
949
969
1221
1441
5885

Y también hipotenusas de ternas pitagóricas:

N          Catetos
85          13 ,  84
105        63 ,  84
145        17 ,  144
195        48 ,  189
205        45 ,  200
265        23 ,  264
445        84 ,  437

Parecerá que deben ser múltiplos de 5, pero no es necesario. El siguiente en la lista es el 493.

Con estos ejemplos vemos que los números arolmar están entremezclados con los de otros tipos, compartiendo términos con muchos de ellos. La principal causa de esto es su relativa abundancia y su tendencia casi lineal (ver la primera entrada de esta serie http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html), que los aproxima a otros que presentan tendencias distintas.

Números arolmar interprimos

En la entrada anterior  (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/01/volvemos-los-numeros-arolmar-2.html) presentamos pares de números arolmar gemelos entremezclados con primos gemelos. Esto nos anima a buscar interprimos, es decir, números que son media aritmética entre dos números primos consecutivos. Ya señalamos que la abundancia de los números arolmar propicia que aparezcan bastantes situaciones que planteemos. Esta es una de ellas. Basta ver la tabla para darse cuenta de la abundancia de los números arolmar interprimos:

Comprueba con algunos casos que los números primos son consecutivos y que su media es el número arolmar.

Un número arolmar, por definición, produce un número primo como media de sus divisores primos. Así tendríamos una generación de primos a partir de dos de ellos consecutivos. Esto no es más que una curiosidad, pero muy atractiva. Tienes un ejemplo en la imagen siguiente:

Es evidente que esta generación sólo tiene lugar si los dos primos tienen como media un número arolmar. Lo destacable, y eso lo hemos visto en anteriores entradas, es que los números arolmar relacionan números primos con otros fácilmente. En la siguiente entrada veremos más.

Dobles interprimos

Recientemente hemos publicado la sucesión de dobles interprimos (https://oeis.org/A263674), aquellos que son media de dos primos consecutivos y también del anterior y el posterior a ese par. Por ejemplo, es doble interprimo el 9, porque 9 = (7+11)/2 = (5+13)/2, con 5, 7, 11, 13 primos consecutivos. También entre ellos figuran algunos arolmar:

Estos son los primeros que aparecen. Hemos incluido sus factores y media prima, así como los cuatro primos consecutivos de los que el arolmar es media de dos en dos (y por tanto, también de los cuatro). Se observa que no existe relación aparente entre la media prima y los valores y diferencias entre los cuatro primos consecutivos. Era de esperar.

¿Existen arolmar equilibrados?

Llamaremos arolmar equilibrados a aquellos que son media de otros consecutivos con ellos y de la misma clase (también arolmar).

Sí existen, y son estos:

En ellos el número arolmar del centro es media entre los dos extremos, que también son arolmar. Vemos, por ejemplo, la terna 2245, 2255 y 2265. Es evidente que el central es media de los otros dos. En la siguiente tabla los analizamos:

Los tres son compuestos, libres de cuadrados y media prima, luego 2255 es un arolmar equilibrado. Como en curiosidades anteriores, la media prima resultante no ha de tener ninguna relación aparente con la terna que elijamos.

Entre ellos figurarán las ternas de gemelos, cousin o sexy.

Arolmar abundantes

Al ser los arolmar números libres de cuadrados parece que no habrá muchos entre ellos que sean abundantes, es decir, que sus divisores propios presenten una suma mayor que el número dado, o bien que sigma(n)>2n (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_abundante)

Efectivamente, hasta el 33495 no aparece ningún arolmar abundante. En la siguiente tabla están contenidos los primeros, junto con su descomposición factorial, el cociente sigma(n)/n y la media prima:

Llama la atención que todos contienen como factores 3, 5, 7 y 11 o 13, y que, por tanto, la media prima sea también relativamente pequeña. Parece ser que la existencia de primos pequeños propicia que existan más divisores y su suma aumente hasta sobrepasar 2n. Dejamos esta cuestión para otro momento.

Podríamos seguir buscando coincidencias con otros tipos de números, pero parece quedar claro que rara es la propiedad que no está presente en algún término de nuestra sucesión.

Los interprimos (2)

En la anterior entrada estudiamos los números interprimos, que son media de dos primos consecutivos. Entre ellos había cuadrados y triangulares. Veremos ahora otros tipos.

Otros interprimos

Oblongos

Un oblongo puede ser también interprimo. Los primeros son estos:

6, 12, 30, 42, 56, 72, 240, 342, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 870, 1056, 1190, 1482, 1722, 1806, 2550, 2652, 2970, 3540, 4422, 6320, 7140, 8010, 10302, 12656, 13572, 14042, 17292, 18360, 19182, 19460, 20022, 22952,…

Esta sucesión estaba inédita y la hemos publicado en https://oeis.org/A263676

Por su propia definición, todos son pares. Si estudiamos sus restos respecto al 6, veremos que sólo pueden ser 0 y 2, es decir, todos los oblongos de esta sucesión han de tener la forma 6k o bien 6k+2. La razón es que los primos son todos del tipo 6k+1 o 6k+5. Intenta encontrar sus medias y verás que nunca pueden ser del tipo 6k+4.

Potencias de primo no triviales

Las potencias de un primo aparecen en muchas cuestiones sobre números. Tampoco faltan entre los interprimos. Los primeros son estos:

4, 9, 64, 81, 625, 1681, 4096, 822649, 1324801, 2411809, 2588881, 2778889, 3243601, 3636649, 3736489, 5527201, 6115729, 6405961, 8720209, 9006001, 12752041, 16056049, 16589329, 18088009, 21743569, 25230529, 29343889, 34586161, 37736449, …

Los más abundantes son los cuadrados de primos, como puedes comprobar en la lista.

Se pueden engendrar en PARI (nosotros los hemos comprobado con hoja de cálculo) mediante este código:

{for(i=1,10^10,if(isprimepower(i)>1&&i==(precprime(i-1)+nextprime(i+1))/2,write1("final.txt",i,", ");print(i)))}

Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A263675

La función isprimepower es muy útil, pues da el posible exponente de la potencia de primo que buscamos. Como deseamos que dicha potencia no sea trivial, exigimos que el valor de la función sea mayor que 1. Es muy curiosa la lista de potencias en base pequeña que son interprimas. Las más destacadas son:

Potencias de 2

4, 64, 4096, 75557863725914323419136, 3064991081731777716716694054300618367237478244367204352,…

Por ejemplo, 75557863725914323419136=2^76 es interprimo entre 75557863725914323419121 y 75557863725914323419151. Es una simple curiosidad, pero impresiona que hayamos podido llegar a encontrar estos ejemplos.

Potencias de 3

9, 81, 387420489, 3486784401, 7509466514979724803946715958257547, 147808829414345923316083210206383297601, 11433811272836884826665874049685357613602127080237382571153151471568389249023393608050222706416077770721, 448892491307036257313398359006707643432387469456810160991926368303464199896097475113561830407152947942076292623881529083368591747123618100530770752056321305926194706763551153705251146130442138394723337920866081218864301061606664140464321,

Potencias de 5

5, 625, 32311742677852643549664402033982923967414535582065582275390625, 161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953125,

Una buena cuestión, que daríamos por verdadera, es si existen infinitas potencias de este tipo.

Dobles interprimos

A los interprimos, que son media entre dos primos consecutivos, les podíamos exigir que también lo fueran respecto al anterior y al siguiente primo de ese par. Es decir, que dados cuatro primos consecutivos p, q, r y s, exista un número N tal que N=(p+s)/2 y N=(q+r)/2. Esto se cumplirá cuando q-p = s-r, lo cual no quiere decir que los cuatro estén en progresión aritmética.

Un ejemplo: 600 es doble interprimo, porque está en el centro de los cuatro primos consecutivos 593, 599, 601 y 607, cumpliéndose que 600 = (599+601)/2 = (593+607)/2.

No es difícil encontrarlos, y no son escasos. Los primeros que aparecen son:
9, 12, 15, 18, 30, 42, 60, 81, 102, 105, 108, 120, 144, 165, 186, 195, 228, 260, 270, 312, 363, 381, 399, 420, 426, 441, 462, 489, 495, 552, 570, 582, 600, 696, 705, 714, 765, 816, 825, 858,…

(Los publicamos en https://oeis.org/A263674)

A primera vista todos parecen ser múltiplos de 2 o 3, pero, como nos ocurrió con una propiedad similar, esa afirmación es falsa. El primer contraejemplo es 2405, doble interprimo entre 2393, 2399, 2411 y 2417.

Los interprimos (1)

Los interprimos

Se llaman “interprimos” a los números naturales que son media de dos primos consecutivos. El conjunto de estos números es amplísimo, y se puede descomponer en diversos subconjuntos interesantes, la mayoría ya publicados.

Los primeros interprimos son

4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26, 30, 34, 39, 42, 45, 50, 56, 60, 64, 69, 72, 76, 81, 86, 93, 99, 102, 105, 108, 111, 120, 129, 134, 138, 144,…y están publicados en https://oeis.org/A024675.

Basta estudiar la lista para darse cuenta de que hay entre ellos cuadrados (A075190), como 81 y 144, pares (A072568) e impares (A072569), triangulares (A130178), como el 6 y el 15, semiprimos (A078443), como el 21, y muchos más tipos. Sólo los que son potencias ocupan muchas páginas de OEIS (A075190, A075191, A075192, A075228, A075229,…)

Visita la página http://oeis.org/wiki/Interprimes y te abrumará la cantidad de variantes que presentan los interprimos.

Quedan pocas posibilidades para explorar, pero alguna habrá por ahí.

Evidentemente, un interprimo no puede ser primo, pues entonces los dos primos no serían consecutivos.

Casi todos los interprimos son múltiplos de 2 o de 3, pero no todos (que es lo que afirma Wikipedia), ya que hemos encontrado este contraejemplo: 803 es interprimo entre 797 y 809, y no es múltiplo ni de 2 ni de 3, ya que 803=11*73.

De hecho, están publicados los interprimos que no lo cumplen:

205, 217, 473, 515, 625, 667, 803, 1003, 1207, 1243, 1313, 1465, 1505, 1517, 1537, 1681, 1715, 1795, 1817,… https://oeis.org/A072573

Interprimos entre primos gemelos

Entre ellos son interesantes los que son media de dos primos gemelos:

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, 150, 180, 192, 198, 228, 240, 270, 282, 312, 348,… https://oeis.org/A014574

Salvo el primero, todos son múltiplos de 6, ya que los primos gemelos han de tener la forma 6k-1 y 6k+1 (salvo 3 y 5), con lo que la media será 6k. Este mismo hecho demuestra también que el interprimo es la raíz cuadrada del producto de los dos primos más una unidad:

(6k-1)(6k+1)+1=36k²=(6k)²

Según esto, (6k)²-1 es un semiprimo, pues sólo tiene como factores 6k-1 y 6k+1. Esta puede ser una definición alternativa para estos interprimos. Lo puedes comprobar con PARI

{for(i=1,10^3,m=i*i-1;if(!issquare(m)&&bigomega(m)==2,print1(i,", ")))}

Te devuelve la misma sucesión, pero con la definición de números tales que n²-1 es un semiprimo.

Interprimos entre primos “cousin” y “sexy”

Los primos “cousin” son los que se diferencian en 4 unidades. Sus promedios son estos:

5, 9, 15, 21, 39, 45, 69, 81, 99, 105, 111, 129, 165, 195, 225, 231, 279, 309, 315, 351, 381, 399, 441,… https://oeis.org/A087679

Si los anteriores eran todos múltiplos de 6, salvo los primeros, estos lo serán de 3 y no de 6. La razón es que los primos que se diferencian en 4 unidades han de tener la forma 6k+1 y 6k+5, con lo que el promedio será (12k+6)/2=6k+3.

Si el par de primos es “sexy”, es decir, que se diferencian en 6 unidades, sus interprimos son:

26, 34, 50, 56, 64, 76, 86, 134, 154, 160, 170, 176, 236, 254, 260, 266, 274, 334, 356, 370, 376, 386,… https://oeis.org/A072571

En este caso, para que diferencien en 6, los primos han de ser 6k+1 y 6(k+1)+1 o bien 6k+5 y 6(k+1)+5. Y los promedios 6k+4 o 6(k+1)+2, luego estos interprimos son todos pares, pero no múltiplos de 3.

Algunos tipos curiosos de interprimos

Ya hemos destacado que existen interprimos cuadrados (A075190). También los hay triangulares (A130178)

Interprimos cuadrados

Son los siguientes:

4, 9, 64, 81, 144, 225, 324, 441, 625, 1089, 1681, 2601, 3600, 4096, 5184, 6084, 8464, 12544, 13689, 16641, 19044, 19600, 25281, 27225, 28224, 29584, 36864, 38025, 39204, 45369,…( http://oeis.org/A069495)

Salvo el primero, asociado a los primos gemelos 3 y 5, ningún otro será media de este tipo de primos, pues estos tendrían la expresión n²-1 y n²+1, y el primero no es primo para n>3, por ser igual a (n+1)(n-1). El mismo razonamiento nos vale para afirmar que la diferencia entre el cuadrado dado y sus primos próximos no puede ser un cuadrado k², pues el anterior sería n²-k²=(n+k)(n-k), no primo. De hecho, estas son las primeras diferencias entre el interprimo cuadrado y el primo más próximo:

Vemos que ninguna es un cuadrado. En ocasiones similares nos hemos preguntado si se recorrerán todas las diferencias posibles, en este caso no cuadradas. Vemos 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12,…¿Estarán todas? Hemos creado una función para averiguarlo. Si no te interesa la programación, ignora el código que se inserta a continuación:

Public Function difcuad(d) ‘Busca el primer cuadrado interprimo con diferencia d
Dim i, n, d1, d2, n0
Dim novale As Boolean

i = 1 ‘Contador de búsqueda
n0 = 0 ‘En el inicio damos el valor 0 a la función por si fracasa la búsqueda
novale = True ‘Variable para controlar el fin de la búsqueda
While i < 10 ^ 5 And novale ‘El tope de 10^5 es arbitrario. Si salen ceros habrá que aumentarlo
n = i * i ‘Se construye un cuadrado
d1 = n - primant(n) ‘Se analizan sus diferencias con los primos próximos
d2 = primprox(n) - n
If d1 = d And d2 = d Then n0 = n: novale = False ‘Si es interprimo, se toma nota y paramos
i = i + 1
Wend
difcuad = n0 ‘La función devuelve el primer cuadrado con la diferencia pedida.
End Function

Con esta función hemos creado una tabla, en la que a cada diferencia (no cuadrada) se le asigna el primer cuadrado n² tal que sea interprimo y su diferencia con los primos próximos sea la dada:

Observamos que hasta el 37 todas las diferencias se corresponden con un cuadrado. A partir de ahí, el cálculo se ralentiza, aunque es de esperar que todas las diferencias no cuadradas tengan una imagen en esta función. Si quieres experimentar por tu cuenta, usa este programa en PARI

difcuad(n)= { local(i=2,m,v=0,p,q);
while(v==0&&i<10^6,m=i*i; p=m-precprime(m-1);q=nextprime(m+1)-m;if(p==n&&q==n,v=m);i+=1)
;return(v) }
{x=difcuad(50);print(x);print(sqrt(x))}

Sustituye el 50 por otro número cualquiera, y si el resultado es 0, cambia 10^6 por una potencia mayor. Aunque PARI es rápido, puedes tener que esperar un poco. Si nuestra conjetura es cierta, al final obtendrás un cuadrado.

Interprimos triangulares

Existen también números triangulares que son interprimos. Los primeros son estos:

6, 15, 21, 45, 105, 120, 231, 300, 351, 465, 741, 780, 861, 1176, 1431, 1485, 3081, 3240, 3321, 3828, 4005, 4278, 5460, 6786, 6903, 7140, 7381, 7503, 7875, 8001, 10731, 11175, 11325, 11781, 12246, 12561,…( http://oeis.org/A130178)

Casi todos ellos son múltiplos de 2, 3 o ambos, pero no todos. Una excepción es 7381=11*11*61, interprimo entre 7369 y 7393.

No hemos encontrado interprimos triangulares cuya diferencia con sus primos próximos sea también triangular, salvo el caso trivial de 6 con 5 y 7.

Volvemos a los números AROLMAR (2) Diferencias

En una entrada anterior, cuya lectura previa recomendamos,

(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html) 

se desarrollaron algunas técnicas para la búsqueda e identificación  de los números arolmar (aquellos números compuestos que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo). En esta buscaremos propiedades y curiosidades sobre ellos.

Todos son impares

No puede haber números pares en esta sucesión arolmar, porque en ese caso uno de los factores primos sería 2 (elevado a la unidad por ser libres de cuadrados) lo que daría lugar a lo siguiente:

Si el 2 está acompañado de un número impar de primos impares, su suma con el 2 sería impar, y al hallar el promedio deberíamos dividir entre un número par, lo que produciría un promedio no entero. Si el número de factores primos que acompañan al 2 es par, la suma de todos sería par, pero habría que dividir entre un impar, con lo que, en el caso de media entera, esta sería par y no prima.

No obstante este razonamiento, hemos generado términos hasta altas potencias de 10 sin encontrar ningún par, como era de esperar.

Estudio de las diferencias

Podemos encontrar números arolmar que se diferencien en un número par dado 2K. Así podemos encontrar, por ejemplo números arolmar gemelos (que se diferencien en 2 unidades). Usaremos esta función para ver si N y N+2K son ambos del tipo arolmar:

Public Function aroldif(n, k) As Boolean
If esarolmar(n) And esarolmar(n + 2 * k) Then aroldif = True Else aroldif = False
End Function

(Tienes la descripción de la función esarolmar en la anterior entrada citada)

Si formamos un bucle con todos los números naturales hasta un tope y una diferencia dada, se nos devolverán aquellos números N del tipo arolmar tales que N+2k también lo sea.

Números arolmar gemelos

Si hacemos k=1 y pasamos la función anterior a un conjunto de números, obtendremos la lista de los números arolmar gemelos. Son estos:

En las dos primeras columnas tenemos los pares de números arolmar gemelos, en las siguientes su descomposición en factores primos, y en las últimas, los promedios primos de sus factores. Los hemos incluido para que se destaque que aparecen valores promedio bastante alejados, especialmente si el número de primos en la descomposición es diferente en ellos.

También se observa que ambos gemelos han de tener factores primos diferentes. Si hubiera uno igual en ambos, al sacarlo factor común veríamos que la diferencia debería ser mayor que 2. Destacamos en la tabla el par (5883,5885), que produce primos promedio muy cercanos, 31 y 41.

Como estas entradas van de curiosidades en gran parte, incluimos ahora conjuntos de cuatro impares consecutivos, en los que los dos primeros son del tipo arolmar y los últimos primos gemelos:

Arol,    Arol,   Primo, Primo
3367,   3369,   3371,   3373
5017,   5019,   5021,   5023
15637, 15639, 15641, 15643
16645, 16647, 16649, 16651
23737, 23739, 23741, 23743
42277, 42279, 42281, 42283
48307, 48309, 48311, 48313
52285, 52287, 52289, 52291
52357, 52359, 52361, 52363
91093, 91095, 91097, 91099

Por su magnitud vemos que no parece ser un caso infrecuente, y que surgirán más en números mayores.

También existen conjuntos similares, pero con los dos primos gemelos anteriores a los gemelos arolmar:

Primo,   Primo,   Arol,      Arol
5879,     5881,     5883,     5885
59357,   59359,   59361,   59363
82529,   82531,   82533,   82535
116189, 116191, 116193, 116195
121439, 121441, 121443, 121445
122609, 122611, 122613, 122615
152039, 152041, 152043, 152045
192629, 192631, 192633, 192635
206909, 206911, 206913, 206915
223829, 223831, 223833, 223835

Y ya, por terminar, situaremos a los arolmar en el centro y los primos en los extremos:

Primo, Arol,    Arol,    Primo
7681,   7683,   7685,   7687
10831, 10833, 10835, 10837
23167, 23169, 23171, 23173
27067, 27069, 27071, 27073
28387, 28389, 28391, 28393
30631, 30633, 30635, 30637
33311, 33313, 33315, 33317
33931, 33933, 33935, 33937
37561, 37563, 37565, 37567

Os invitamos a encontrar otras posibilidades.

Números arolmar cousin (se diferencian en 4)

Usando la misma técnica que con los gemelos, podemos encontrar pares (N, N+4) entre los arolmar. Los primeros son:

Al igual que los anteriores, estos tampoco pueden tener factores primos comunes, pues en ese caso la diferencia no podría ser 4. Predominan los pares en los que uno de los términos es múltiplo de 3, con pocas excepciones, como 19561=31*631 y 19565=5*7*13*43. Como ambos son impares, si el primero es múltiplo de 3 se cumplirá que el segundo es del tipo 6k+1. Basta desarrollar 3*(2m+1)+4=6m+7=6k+1. Si el múltiplo de 3 es el segundo, el primero será 3*(2m+1)-4=6m-1

Los arolmar sexy

En los pares (N,N+6) sí puede existir el factor común 3, y es un caso que se presenta frecuentemente:

Como en casos similares, nos podemos preguntar si existirán pares con cualquier diferencia par que imaginemos. En la tabla siguiente hemos reflejado la primera aparición de dos números arolmar con diferencia 2k igual al doble de la dada k.

Podemos confiar en que sea verdadera la conjetura de que para una diferencia dada 2k siempre existirá un par de números arolmar con esa diferencia.

Hemos proseguido con PARI y para las primeras 1000 diferencias pares nos resultan números arolmar no excesivamente grandes.

913, 129, 231, 85, 195, 21, 217, 69, 177, 85, 195, 33, 205, 57, 597, 145, 231, 21, 445, 93, 195, 85, 889, 21, 145, 33, 177, 253, 195, 33, 133, 21, 129, 145, 195, 21, 553, 57, 231, 133, 483, 21, 145, 57, 105, 85, 1239, 33, 133, 33, 93, 133, 1239, 21, 85, 21, 195, 133, 663, 57, 505, 21, 69, 85, 663, 85, 493, 69, 57, 253, 793, 33, 85, 57, 483, 85, 627, 21, 469, 57, 33, 85, 627, 69, 493, 33, 21, …

Ello puede ser debido a la tendencia prácticamente lineal de los números arolmar.

Ternas de números arolmar gemelos

Ya hemos adivinado que los números que estudiamos son más asequibles que los primos para ciertas propiedades. Por ejemplo, podemos encontrar muchas ternas de números arolmar con diferencia igual a 2:

4713,   4715,   4717
12813, 12815, 12817
26941, 26943, 26945
27861, 27863, 27865
46293, 46295, 46297
56013, 56015, 56017
57757, 57759, 57761
63969, 63971, 63973
66009, 66011, 66013…

Dejamos a los lectores su búsqueda, así como otras estructuras similares. Sólo daremos algún otro ejemplo destacado.

663243, 663245, 663247, 663249, es una cuaterna de números arolmar gemelos. Aquí tienes el desarrollo:

979145, 979147, 979149, 979151 es la siguiente.

Con cinco pares consecutivos hemos encontrado estos: 10075387, 10075389, 10075391, 10075393, 10075395. La comprobación es esta:

Os dejamos el resto de búsquedas de este tipo.

Números belgas

Estos números han sido introducidos por Eric Angelini y publicados en el año 2005 en http://oeis.org/A106039. Hay varios tipos, por lo que comenzaremos con los 0-Belgas. Estos números tienen la propiedad de que si a partir del número 0 vamos sumando reiteradamente las cifras (por orden) del número dado, se forma una sucesión que contiene a ese número. Por ejemplo, el 18 es 0-belga, porque a partir del 0 vamos a ir sumando sucesivamente 1, 8, 1, 8,…hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 9, 10, 18, resultando que el mismo 18 es término de la sucesión. Sin embargo, el 19 no lo es, porque se forma la sucesión 0, 1, 10, 11, 20, 21, 30,…al ir sumando sucesivamente 1, 9, 1, 9,… y el mismo 19 es sobrepasado sin pertenecer a la sucesión. Se llaman 0-belgas porque la sucesión la comenzamos en 0, y los primeros son estos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 33, 35, 36, 39, … http://oeis.org/A106039

Si un número posee 3, 4 o más cifras, estas se irán también sumando de forma sucesiva y ordenada.

Llamaremos n-belgas a aquellos números que pertenecen a la sucesión formada al sumar cifras, pero comenzando en el número n, siendo n menor que el número dado. Así, estos son los 1-belgas:

1, 10, 11, 13, 16, 17, 21, 23, 41, 43, 56, 58, 74, 81, 91, 97, 100, 101, 106, 110,… http://oeis.org/A106439

Por ejemplo, el 23, comenzando en 1, genera con las cifras 2 y 3 la sucesión 1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23,…a la que él mismo pertenece.
Se han publicado también los 2-belgas (A106518), los 3-belgas (A106596) y otros.

Función ESBELGA

Dado un número cualquiera, es posible saber si es 0-belga, 1-belga o de rango superior. Podemos idear una función con dos parámetros, uno, el número dado, y otro, el tipo. Como el objetivo de esta entrada es experimentar y descubrir curiosidades, daremos dos versiones de esta función, una un poco larga, antes de reflexionar sobre la cuestión, y otra simplificada.

En primer lugar pensamos en lo obvio:
* Deberemos extraer las cifras del número
* Después las iremos sumando ordenadamente a partir del número tipo
* Proseguimos hasta llegar o sobrepasar el presunto número belga
* Si un término de la sucesión coincide con el número dado, es que sí es belga.

Algo así, en el Basic VBA:

Function esbelga(n, t) ‘Los parámetros son el número y el tipo
Dim c(10) ‘Se reserva un vector para almacenar hasta diez cifras (se puede ampliar)
Dim i, nu, a, b, m, p
Dim es As Boolean

‘En primer lugar se extraen las cifras y se almacenan

i = 0: m = n
While m > 0
p = m - 10 * Int(m / 10)
i = i + 1
c(i) = p ‘memorias que guardan las cifras
m = Int(m / 10)
Wend
nu = i

‘Iniciamos la prueba para ver si es belga

es = False
i = 1: a = t ‘La variable a se inicia en el tipo
While a < n ‘Creamos una sucesión hasta n
m = i Mod nu: If m = 0 Then m = nu
a = a + c(nu - m + 1) ‘Se van sumando las cifras a la variable a
i = i + 1
If a = n Then es = True ‘Si la sucesión coincide con n, es belga
Wend
esbelga = es
End Function

Esta función resulta lenta para valores grandes de n, ya que contiene demasiados ciclos de suma de cifras. Sería más práctico eliminar todo esos ciclos dividiendo de forma entera n-t (siendo t el tipo de belga) entre la suma de sus cifras. Para números pequeños no se advierte diferencia en la rapidez del algoritmo, pero siempre debemos intentar simplificar. También se puede usar la función MOD para acelerar la extracción de cifras. Quedaría así:

Function esbelga(n, t) As Boolean
Dim c(10)
Dim i, nu, a, m, p, s
Dim es As Boolean

i = 0: m = n: s = 0
While m > 0
p = m Mod 10
i = i + 1
c(i) = p: s = s + p ‘Extracción de cifras en orden inverso
m = Int(m / 10)
Wend
nu = i

a = (n - t) Mod s ‘Se eliminan los ciclos de suma de cifras
i = 1
If a = 0 Then ‘Si el número es múltiplo de la suma de cifras, es belga
es = True
Else
es = False
For i = 1 To un ‘Se eliminan cifras de la suma para ir probando
If Abs(a - s) < 1 Then es = True ‘Debería escribirse a=s, pero así eliminamos problemas de coma flotante
If Not es Then s = s - c(i)

Next i
End If
esbelga = es
End Function

Por si deseas experimentar, esta es la versión de la función para PARI:

esbelga(n,p)={s=0;k=0;x=n;while(x>0,s+=x%10;x=(x-x%10)/10;k++);
r=(n-p)%s;t=s;x=n;e=0;for(j=0,k,if(r==t,e=1);t-=x%10;x=(x-x%10)/10;);
return(e);}

En la imagen se han generado con esta función los belgas de tipo 0, 1 y 2:

Algunas propiedades

Esta idea de eliminar previamente todos los ciclos de suma de cifras permite afirmar algo más:

Si un número es divisible entre la suma de sus cifras, será 0-belga.

En efecto, al sumar n ciclos de suma de cifras llegamos a n sin tener que recorrer la sucesión. Estos números son los llamados Números Harshad o de Niven:

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70,… http://oeis.org/A005349

Aplícale a cualquiera de ellos la función ESBELGA con parámetro 0 y deberá devolverte siempre VERDADERO.

El número de k-belgas, para cualquier valor de k, es infinito.

Bastará sumar a k todos los múltiplos de la suma de cifras de cualquier otro número.

Todo número es k-belga para algún valor de k.

Porque k puede ser el resto de dividir n entre la suma de sus cifras.

Números autobelgas

Puede darse la casualidad de que un número que comienza por la cifra k, sea también k_belga. Por ejemplo, el 25 tiene como primera cifra el 2, y 2-belga.
Esto no pasa de ser un divertimento, como todo el tema, pero nos permite crear una función:

Function autobelga(n)
Dim c, l

l = Len(Str$(n)) – 1 ‘Extrae el número de cifras
If l = 1 Then c = n Else c = Int(n / 10 ^ (l - 1)) ’Extrae la oprimera cifra
If esbelga(n, c) Then autobelga = True Else autobelga = False ‘Comprueba si es belga
End Function

Con ella es fácil crear listados de autobelgas. En la imagen se han listado los comprendidos entre 10 y 30:

Están publicados en http://oeis.org/A107062

Estos números se llaman autobelgas de primer tipo. Hay otros de segundo, en los que además de coincidir la primera cifra con el tipo, también lo hace la segunda con la primera cifra del segundo término. No merece el tema tanta complicación. Te dejamos que busques información y experimentes.

Volvemos a los números "arolmar" (1) Historia y generación

Esta entrada y otras siguientes que aparecerán sobre el mismo tema suponen un regreso a una sucesión que ideamos en 2011, cuya originalidad atrajo a nuestro colaborador Rafael Parra, que fue quien le dio el nombre de “números arolmar”. Tanto él como el autor publicaron sobre el tema en OEIS (The On-line Encyclopedia of integer sequences). Ahora, transcurridos cuatro años, hemos querido desarrollar con tranquilidad la generación de esos números, así como sus propiedades, curiosidades y otras sucesiones afines.

No busque el lector profundidad en esta serie. Se trata tan sólo de exprimir a nivel descriptivo las posibilidades que nos ofrece esta sucesión, sin plantearnos otros objetivos.

Es posible que la publicación no se efectúe de forma consecutiva, a fin de no bloquear el blog si surgen cuestiones de actualidad. Pueden aparecer siete o más entradas distintas.

Historia

Con fecha 23/2/2011 se publicó en este blog una pequeña entrada titulada “Primos por todas partes” (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/02/primos-por-todas-partes.html) En ella se presentaba la sucesión

21, 33, 57, 69, 85, 93, 105, 129, 133, 145, 177, 195,…

Son números compuestos que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo.

Por ejemplo 145=5*29, y el promedio de ambos es (5+29)/2= 17, que es primo.
195=3*5*13, y el promedio es (3+5+13)/3 = 21/3 = 7, también primo.

Posteriormente se publicó esta sucesión en OEIS (https://oeis.org/A187073), y Rafael Parra Machío les dio el nombre de números arolmar, dedicándoles un estudio publicado en http://hojamat.es/parra/arolmar.pdf

Dado el interés del tema, ampliaremos la búsqueda de esos números y estudiaremos algunos detalles más sobre esta sucesión y otras afines. Nos moveremos en un nivel de profundidad de tipo medio, que es el que domina el autor, sin pasar a cuestiones de criptosistemas, muy bien explicados en el documento de Rafael Parra. Nuestro objetivo será el de ampliar las formas de generarlos, estudiar alguna subsucesión y buscar números con propiedades similares.

En esta primera entrada reflexionaremos sobre su generación con varias herramientas.

Generación de la sucesión

Con el Buscador de Naturales

En el documento http://www.hojamat.es/publicaciones/Hojanum3.pdf publicamos la forma de encontrar estos números con nuestro Buscador de números naturales (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global)

Basta leer las cuatro líneas de condiciones necesarias para entender la gran potencia de este buscador:

Si lo descargas y escribes las cuatro condiciones en la zona dedicada a ellas obtendrás los primeros términos de la sucesión:

En la primera columna figuran los términos y en la segunda el número primo promedio de los factores primos de los mismos.

La primera condición exige que el promedio de factores primos sea también primo. La segunda lo presenta. La tercera exige que esté libre de cuadrados, y la cuarta que no sea primo.

Con el Basic de las hojas

Al ser el Buscador una herramienta no contrastada, puede ser bueno comprobar los resultados con otros instrumentos. En este blog solemos usar el Basic de las hojas de cálculo. Si tenemos definidas las funciones pertinentes, la búsqueda se reduce a un simple bucle FOR-NEXT

Necesitamos las funciones

PARTECUAD

Te devuelve la parte cuadrada de un número natural. Si esa parte vale 1, es que el número es libre de cuadrados. La tienes en

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre-solucion.html

Se puede encontrar escribiendo PARTECUAD en Google.

ESPRIMO

La hemos usado mucho en este blog. La puedes encontrar en nuestra hoja sobre conjeturas

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global

SOPF y F_OMEGA

(o SOPFR Y BIGOMEGA, que en libres de cuadrados son equivalentes)

La primera suma los factores y la segunda los cuenta. Su cociente dará el promedio.
En la entrada http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/11/de-donde-vengo-3-sumamos-y-contamos.html damos algunas ideas sobre ellas.

Bucle

Con esas funciones y alguna otra podemos ya construir nuestro bucle de búsqueda:

For i = 2 to 1000
If Not esprimo(i) And partecuad(i) = 1 Then
b = sopf(i) / f_omega(i)
If esentero(b) And esprimo(b) Then msgbox(i)
End If
Next i

Implementando un programa similar en una hoja en la que los resultados aparecen bien ordenados, obtenemos los mismos resultados que con el Buscador:

En la primera columna figuran los números arolmar y en la segunda el promedio (primo) de sus factores primos.

Existen infinitos números arolmar, según veremos en la próxima entrada, siempre que se admita la conjetura de Goldbach. En el gráfico de los primeros de ellos (hasta una cota de 2000) se percibe una clara tendencia lineal, que en este intervalo presenta una pendiente aproximada de 17 con un ajuste de nivel 0,9971. Podemos esperar un número arolmar en cada incremento de 17.

Más incidencias presenta la distribución de los números primos que son promedio de sus factores:

En el gráfico distinguimos fácilmente varias líneas de tendencia ¿Adivinas la causa? Pues sí, depende del número de factores que intervengan en el promedio. La línea superior corresponden a los números arolmar que son semiprimos, la siguiente a los que tienen tres factores, y las de más abajo, que llegan a hacerse indistinguibles, a los números que poseen más factores aún. Como también veremos en utra entrada, este gráfico recorre todos los primeros números primos.

Código PARI

En la sucesión A187073 figura un código generador debido a Charles R Greathouse IV

 isA187073(n)=my(f=factor(n)); #f[, 1]>1&vecmax(f[, 2])==1&denominator(f=sum(i=1, #f[, 1], f[i, 1])/#f[, 1])==1&isprime(f) 

Como puede resultar incomprensible, por compacto, lo sustituiremos por otro más sencillo (y largo), pero que nos permitirá ir explicando las funciones que necesitamos:

freesqrcomp(n)=issquarefree(n)&&!isprime(n)
sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) }
averg(n)={local(s); s=sopf(n)/omega(n); return(s)}
{  for (n=4, 10^3,  if(freesqrcomp(n), m=averg(n);if(m==truncate(m),if(isprime(m), print1(n, ", ")))))}

En él se van implementando las condiciones exigidas a los números buscados.

Carácter de número compuesto libre de cuadrados:

Basta definir esta función.

freesqrcomp(n)=issquarefree(n)&&!isprime(n)

En ella exigimos que sea libre de cuadrados (issquarefree) y que no sea primo (!isprime(n)). El signo “!” representa la conectiva NO y && la conjunción Y. Si escribes a continuación “{print(freesqrcomp(30))}” la respuesta será 1, que significa VERDADERO, pues 30=2*3*5 es compuesto y libre de cuadrados. Ya tenemos el primer paso: identificar los números de este tipo.

Función SOPF

sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) }

Esta parte es más difícil de entender. Esta función suma los factores primos de un número sin contar las repeticiones. En PARI la matriz (o vector) factor(n) contiene los factores primos en la primera columna y sus exponentes en la segunda. La variable s suma sólo los factores primos, pero no sus exponentes. Por eso se escribe s+=f[i, 1])

Promedio de los factores primos

averg(n)={local(s); s=sopf(n)/omega(n); return(s)}

Se basa en la función anterior SOPF y en OMEGA, que cuenta los factores primos sin repetición. Por tanto, su cociente es el promedio de los factores primos.

Bucle de búsqueda

{  for (n=4, 10^3,  if(freesqrcomp(n), m=averg(n);if(m==truncate(m),if(isprime(m), print1(n, ", ")))))}

Lo que queda es ya recorrer los números (en el ejemplo desde 4 hasta 1000) e imprimir aquellos cuyo promedio de factores primos es entero (m==truncate(m)) y primo (isprime(m))

Aquí tienes la pantalla con el resultado:

Hemos querido detenernos en esta generación en PARI porque usaremos más adelante códigos similares.

Por último, incluimos la función ESAROLMAR, que nos devuelve VERDADERO si su argumento es un número arolmar. Con ella se pueden emprender otras búsquedas y encontrar curiosidades.

Función ESAROLMAR

Con el Basic de las hojas de cálculo podría tener esta estructura:

Public Function esarolmar(n)
Dim es As Boolean
Dim b

es = False
If Not esprimo(n) And partecuad(n) = 1 Then
b = sopf(n) / f_omega(n)
If esentero(b) And esprimo(b) Then es = True
End If
esarolmar = es

End Function

La segunda línea exige que el número no sea primo (Not esprimo(n))y que sí sea libre de cuadrados, o bien que su parte cuadrada sea igual a 1 (partecuad(n) = 1), que son las dos condiciones iniciales de la definición de número arolmar.

En la siguiente se calcula la media de los factores primos, dividiendo su suma (sopf(n)) entre su número (f_omega(n)) y, por último, se exige que el resultado sea entero y primo.

La versión con PARI necesita la definición progresiva de varias funciones:

freesqrcomp(n)=issquarefree(n)&&!isprime(n)
sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) }
averg(n)={local(s); s=sopf(n)/omega(n); return(s)}
esarolmar(n)={local(a=averg(n),s);s=freesqrcomp(n)&&a==truncate(a)&&isprime(a); return(s)}
{for(i=2,1000,if(esarolmar(i),print(i)))}

La última línea presenta todos los números arolmar hasta el 1000.

En la siguiente entrada sobre este tema estudiaremos el carácter impar de estos números y cómo aparecen sus diferencias (arolmar gemelos, cousin, sexy,...)

Recuerda que esta serie no se publicará de forma consecutiva. Intercalaremos otros temas y para el verano resumiremos todo en una publicación,