Se llaman “interprimos” a los números naturales que son media de dos primos consecutivos. El conjunto de estos números es amplísimo, y se puede descomponer en diversos subconjuntos interesantes, la mayoría ya publicados.
Los primeros interprimos son
4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26, 30, 34, 39, 42, 45, 50, 56, 60, 64, 69, 72, 76, 81, 86, 93, 99, 102, 105, 108, 111, 120, 129, 134, 138, 144,…y están publicados en https://oeis.org/A024675.
Basta estudiar la lista para darse cuenta de que hay entre ellos cuadrados (A075190), como 81 y 144, pares (A072568) e impares (A072569), triangulares (A130178), como el 6 y el 15, semiprimos (A078443), como el 21, y muchos más tipos. Sólo los que son potencias ocupan muchas páginas de OEIS (A075190, A075191, A075192, A075228, A075229,…)
Visita la página http://oeis.org/wiki/Interprimes y te abrumará la cantidad de variantes que presentan los interprimos.
Quedan pocas posibilidades para explorar, pero alguna habrá por ahí.
Evidentemente, un interprimo no puede ser primo, pues entonces los dos primos no serían consecutivos.
Casi todos los interprimos son múltiplos de 2 o de 3, pero no todos (que es lo que afirma Wikipedia), ya que hemos encontrado este contraejemplo: 803 es interprimo entre 797 y 809, y no es múltiplo ni de 2 ni de 3, ya que 803=11*73.
De hecho, están publicados los interprimos que no lo cumplen:
205, 217, 473, 515, 625, 667, 803, 1003, 1207, 1243, 1313, 1465, 1505, 1517, 1537, 1681, 1715, 1795, 1817,… https://oeis.org/A072573
Interprimos entre primos gemelos
Entre ellos son interesantes los que son media de dos primos gemelos:
4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, 150, 180, 192, 198, 228, 240, 270, 282, 312, 348,… https://oeis.org/A014574
Salvo el primero, todos son múltiplos de 6, ya que los primos gemelos han de tener la forma 6k-1 y 6k+1 (salvo 3 y 5), con lo que la media será 6k. Este mismo hecho demuestra también que el interprimo es la raíz cuadrada del producto de los dos primos más una unidad:
(6k-1)(6k+1)+1=36k2=(6k)2
Según esto, (6k)2-1 es un semiprimo, pues sólo tiene como factores 6k-1 y 6k+1. Esta puede ser una definición alternativa para estos interprimos. Lo puedes comprobar con PARI
{for(i=1,10^3,m=i*i-1;if(!issquare(m)&&bigomega(m)==2,print1(i,", ")))}
Te devuelve la misma sucesión, pero con la definición de números tales que n2-1 es un semiprimo.
Interprimos entre primos “cousin” y “sexy”
Los primos “cousin” son los que se diferencian en 4 unidades. Sus promedios son estos:
5, 9, 15, 21, 39, 45, 69, 81, 99, 105, 111, 129, 165, 195, 225, 231, 279, 309, 315, 351, 381, 399, 441,… https://oeis.org/A087679
Si los anteriores eran todos múltiplos de 6, salvo los primeros, estos lo serán de 3 y no de 6. La razón es que los primos que se diferencian en 4 unidades han de tener la forma 6k+1 y 6k+5, con lo que el promedio será (12k+6)/2=6k+3.
Si el par de primos es “sexy”, es decir, que se diferencian en 6 unidades, sus interprimos son:
26, 34, 50, 56, 64, 76, 86, 134, 154, 160, 170, 176, 236, 254, 260, 266, 274, 334, 356, 370, 376, 386,… https://oeis.org/A072571
En este caso, para que diferencien en 6, los primos han de ser 6k+1 y 6(k+1)+1 o bien 6k+5 y 6(k+1)+5. Y los promedios 6k+4 o 6(k+1)+2, luego estos interprimos son todos pares, pero no múltiplos de 3.
Algunos tipos curiosos de interprimos
Ya hemos destacado que existen interprimos cuadrados (A075190). También los hay triangulares (A130178)
Interprimos cuadrados
Son los siguientes:
4, 9, 64, 81, 144, 225, 324, 441, 625, 1089, 1681, 2601, 3600, 4096, 5184, 6084, 8464, 12544, 13689, 16641, 19044, 19600, 25281, 27225, 28224, 29584, 36864, 38025, 39204, 45369,…( http://oeis.org/A069495)
Salvo el primero, asociado a los primos gemelos 3 y 5, ningún otro será media de este tipo de primos, pues estos tendrían la expresión n2-1 y n2+1, y el primero no es primo para n>3, por ser igual a (n+1)(n-1). El mismo razonamiento nos vale para afirmar que la diferencia entre el cuadrado dado y sus primos próximos no puede ser un cuadrado k2, pues el anterior sería n2-k2=(n+k)(n-k), no primo. De hecho, estas son las primeras diferencias entre el interprimo cuadrado y el primo más próximo:
Vemos que ninguna es un cuadrado. En ocasiones similares nos hemos preguntado si se recorrerán todas las diferencias posibles, en este caso no cuadradas. Vemos 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12,…¿Estarán todas? Hemos creado una función para averiguarlo. Si no te interesa la programación, ignora el código que se inserta a continuación:
Public Function difcuad(d) ‘Busca el primer cuadrado interprimo con diferencia d
Dim i, n, d1, d2, n0
Dim novale As Boolean
i = 1 ‘Contador de búsqueda
n0 = 0 ‘En el inicio damos el valor 0 a la función por si fracasa la búsqueda
novale = True ‘Variable para controlar el fin de la búsqueda
While i < 10 ^ 5 And novale ‘El tope de 10^5 es arbitrario. Si salen ceros habrá que aumentarlo
n = i * i ‘Se construye un cuadrado
d1 = n - primant(n) ‘Se analizan sus diferencias con los primos próximos
d2 = primprox(n) - n
If d1 = d And d2 = d Then n0 = n: novale = False ‘Si es interprimo, se toma nota y paramos
i = i + 1
Wend
difcuad = n0 ‘La función devuelve el primer cuadrado con la diferencia pedida.
End Function
Con esta función hemos creado una tabla, en la que a cada diferencia (no cuadrada) se le asigna el primer cuadrado n2 tal que sea interprimo y su diferencia con los primos próximos sea la dada:
Observamos que hasta el 37 todas las diferencias se corresponden con un cuadrado. A partir de ahí, el cálculo se ralentiza, aunque es de esperar que todas las diferencias no cuadradas tengan una imagen en esta función. Si quieres experimentar por tu cuenta, usa este programa en PARI
difcuad(n)= { local(i=2,m,v=0,p,q);
while(v==0&&i<10^6,m=i*i; p=m-precprime(m-1);q=nextprime(m+1)-m;if(p==n&&q==n,v=m);i+=1)
;return(v) }
{x=difcuad(50);print(x);print(sqrt(x))}
Sustituye el 50 por otro número cualquiera, y si el resultado es 0, cambia 10^6 por una potencia mayor. Aunque PARI es rápido, puedes tener que esperar un poco. Si nuestra conjetura es cierta, al final obtendrás un cuadrado.
Interprimos triangulares
Existen también números triangulares que son interprimos. Los primeros son estos:
6, 15, 21, 45, 105, 120, 231, 300, 351, 465, 741, 780, 861, 1176, 1431, 1485, 3081, 3240, 3321, 3828, 4005, 4278, 5460, 6786, 6903, 7140, 7381, 7503, 7875, 8001, 10731, 11175, 11325, 11781, 12246, 12561,…( http://oeis.org/A130178)
Casi todos ellos son múltiplos de 2, 3 o ambos, pero no todos. Una excepción es 7381=11*11*61, interprimo entre 7369 y 7393.
No hemos encontrado interprimos triangulares cuya diferencia con sus primos próximos sea también triangular, salvo el caso trivial de 6 con 5 y 7.
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