Máximo producto en la partición de un número (1)

Ya sabemos que una partición de un número entero positivo N es una suma de números también enteros positivos cuyo resultado es ese número. Ya hemos tratado en este blog el tema de las particiones, y lo volveremos a desarrollar próximamente. Si no tienes claro el concepto puedes acudir a las direcciones

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/02/particiones-de-un-numero.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros)

Está muy estudiado el tema del desarrollo de las particiones y el del cálculo de su número. Aquí nos interesará el máximo producto que se puede lograr multiplicando los sumandos de cada partición. Lo introducimos con ejemplos:

Máximo producto logrado con particiones

Tomemos el número 6. Mentalmente se pueden escribir sus particiones (no se tiene en cuenta el orden): 6=5+1=4+2=3+3=4+1+1=… En cada partición calculamos el producto entre sumandos: 6, 5, 8, 9, 4,… y nos quedamos con el máximo. En el esquema lo verás mejor:

Figuran las once particiones del 6 y en la columna de la derecha los productos de sumandos. En la partición de sumando único lo elegimos como producto. Se observa que el máximo producto es 9. Como el resultado es único, constituye una función del número elegido, que podríamos escribir como MPP (Máximo Producto en Particiones) y se tendría que MPP(6)=9.

Otro ejemplo: En PARI las particiones se obtienen con la función partitions. Si pedimos las particiones del número 8 las obtenemos como vectores independientes:

Si multiplicas los sumandos dentro de cada vector descubrirás que el máximo producto es 18=2*3*3, luego MPP(8)=18

Estos resultados figuran en la página de OEIS http://oeis.org/A000792 con una definición recursiva que ya trataremos:

1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 243, 324, 486, 729, 972, 1458, 2187, 2916, 4374, 6561, 8748, 13122, 19683, 26244, 39366, 59049, 78732, 118098, 177147, 236196, 354294, 531441, 708588, 1062882, 1594323, 2125764, 3188646, 4782969,…

Como era de esperar, los valores son crecientes (cada uno es un máximo que se apoya en los anteriores) y pronto adquieren una buena tasa de crecimiento. La página citada contiene una fórmula recursiva que es fácil de entender.

a(n) = max{ (n-i)*a(i) : i<n}; a(0) = 1

Se define a(0) como 1, y también es fácil entender las siguientes: a(1)=1, a(2)=2, a(3)=3,… La recursividad tampoco es difícil de captar. Se trata de multiplicar cada valor menor que n por el máximo correspondiente a su diferencia con n. En efecto, las particiones de n se forman eligiendo esos valores i:1…n-1 para luego unirlos con las particiones de n-i. Por ejemplo, en las particiones del 7, si elegimos el valor 4, se deberá combinar con las particiones del 3 para formar las particiones del 7 que contengan un 4. Igual ocurre con todos los valores: 5 se añadirá a las particiones del 2 y 3 se unirá a las particiones de 4.

Si conservamos los valores máximos de cada partición de n-i, al multiplicarlos por i resultarán productos de la partición superior, candidatos a ser máximos. Al recorrer todos los valores menores que n dispondremos de n-1 posibles máximos, y uno de ellos será el MPP.

Algoritmo de construcción de la función MPP

Las ideas anteriores nos permitirán construir la función  MPP. En VBA de Excel se puede usar esta definición de función:

Public Function mpp(n)
Dim mx, i, m, j, mm
Dim a(50) ‘Está preparado para n<=50. Se puede ampliar a otro número

If n = 0 Or n = 1 Then mpp = 1: Exit Function
If n = 2 Then mpp = 2: Exit Function ‘Casos particulares
a(0) = 1: a(1) = 1: a(2) = 2: mx = 2
If n > 2 Then
For i = 1 To n ‘Se recorren los valores anteriores para la recursión
m = 1 ‘Valor provisional del máximo
For j = 1 To i
mm = j * a(i - j)
If m < mm Then m = mm ‘Se busca un máximo nuevo mediante los productos con los anteriores
Next j
mx = m: a(i) = m ‘Se incorpora el máximo a la lista
Next i
End If
mpp = mx ‘Máximo final
End Function

Con esta función podemos encontrar el máximo producto entre particiones de cualquier número. Si es mayor que 50 bastará cambiar la dimensión del vector de máximos. En la tabla siguiente hemos recogidos los valores de MPP para los números comprendidos entre 30 y 40:

Para quienes conozcan el lenguaje PARI (gratuito y muy recomendable para estos temas) se inserta un código para esta función, que también devuelve los valores entre 30 y 40:

mpp(n)=my(a=vector(50), m, mm, mx=2,mp=1);a[1]=1;a[2]=2;if(n<2,mp=1,if(n==2,mp=2,for(i=3,n,m=1;for(j=1,i, d=i-j;if(d>0,mm = j * a[d],mm=j);if(m<mm,m=mm));mx=m;a[i]=m));mp=mx;mp)
for(k=30,40,print1(mpp(k),", "))

Aquí tienes el resultado, que coincide con el de Excel:

Interpretación algebraica

Estos valores coinciden con los cardinales máximos de los subgrupos del grupo simétrico S(n). Usando la descomposición en ciclos se les puede dar un significado (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/10/ciclos-2-descomposicion-en-ciclos.html)

Por ejemplo, en el caso del 8 visto más arriba, mpp(8)=18, y puede dársele el significado de que es el cardinal máximo de un subgrupo propio del grupo de permutaciones de 8. En concreto, usando la descomposición en ciclos, podría ser G=(1,2)(3,4,5)(6,7,8) o cualquiera de sus isomorfos. En el caso del 6 es fácil ver que el subgrupo maximal es el GM=(1,2,3)(4,5,6), de cardinal 3*3=9, que es el valor de mpp(6).

Existe una forma directa y simple para calcular mpp(n), sin recurrencias ni algoritmos. Como es un cambio importante en el desarrollo que hemos llevado hasta ahora, lo dejamos para la próxima entrada.

Conjetura de Rassias

Esta conjetura recibe el nombre de su autor, M. Th. Rassias, que la enunció siendo muy joven, mientras preparaba una Olimpiada Matemática. Se puede formular de varias formas, pero la que preferimos es la siguiente:

Para cada número primo p>2 existen dos primos p₁ y p₂, con p₁<p₂ tales que

(p-1)p₁=p₂+1

Es decir, que si el primer primo lo multiplicamos por p-1, conseguimos un número al que precede otro número primo. Por ejemplo:

Para el número 17, el par de primos puede ser 2 y 31, porque (17-1)*2=32=31+1. Para el primo 47 los primos pueden ser 3 y 137, porque (47-1)*3=138=137+1

La conjetura afirma que siempre se pueden encontrar esos dos primos para uno dado.

Obtención con hoja de cálculo

En teoría se podría comprobar esta conjetura mediante una tabla de doble entrada con los primeros números primos, pero sería un procedimiento costoso en espacio y tiempo. Es preferible acudir al VBASIC o lenguaje similar. En Excel puedes intentar una función que nos devuelva el más pequeño q de los dos primos, suficiente para comprobar la conjetura, ya que el otro lo podemos calcular mediante (p - 1) * q - 1

Public Function rassias(p)
Dim a, q

If Not esprimo(p) Then rassias = 0: Exit Function  ‘Si no es primo nos devuelve un cero
q = 2 ‘Posible valor del primo más pequeño
a = 0 ‘Si a=0 significa que aún no se han encontrado los primos
While a = 0
If esprimo((p - 1) * q - 1) Then ‘Prueba para saber que se encontraron los primos
a = q
End If
q = primprox(q) ‘Se prueba con el siguiente primo
Wend
rassias = a ‘Se encontró el primo menor
End Function

Las funciones ESPRIMO y PRIMPROX las puedes copiar desde nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/04/proposito-de-ormiston.html

Con esta función y el cálculo posterior podemos construir una tabla en la que para cada número primo contenga los dos primos más pequeños que verifican la conjetura. Sería similar a esta:

Programa en PARI

Para quienes conozcan el lenguaje PARI, con este programa comprobamos la conjetura para los primos inferiores a 200:

p=2;while(p<200,p=nextprime(p+1);q=2;a=0;while(a==0,b=(p-1)*q-1;if(isprime(b),a=q);q=nextprime(q+1));print(p,", ",a,", ",b))

Resultado:

Con los cambios oportunos se puede lograr la comprobación para otros conjuntos de primos.

Otros puntos de vista

En la tabla anterior destaca la frecuencia con la que aparecen los valores 2 y 3 para el primo más pequeño. Es una indicación de que la conjetura no es algo complicado, sino que se comprueba fácilmente para valores pequeños. Podemos plantear una búsqueda para saber cuándo aparecerán otros valores, si es que lo hacen. Aquí tienes los resultados para la primera aparición de otros primos:

Esta tabla sugiere que la conjetura también se cumple para todo p₁. El problema radica en que no hay tope en la búsqueda de p y de  p₂ , por lo que de no cumplirse para algún valor, entraríamos en un bucle sin fin. No obstante, lo intentamos con esta función:

Public Function rassias2(p)
Dim q, b, a

If Not esprimo(p) Then rassias2 = 0: Exit Function
q = 2
a = 0
While a = 0
b = (q - 1) * p - 1
If esprimo(b) Then
a = b
End If
q = primprox(q)
Wend
rassias2 = a
End Function

Con ella vemos que a todo valor de  p₁ le corresponde otro de  p₂. No tienen que resultar los mismos valores anteriores, porque al cambiar el punto de vista se encuentran otros mínimos, pero lo importante es que existe siempre una solución.

Aquí tienes un resultado:

Por ejemplo, para 2081 como  p₁, el valor de  p₂ es 20809, calculado mediante p=11, ya que 20809=2081*10-1, y 20809 es primo.

No resistimos la elaboración de una función para p₂:

Public Function rassias3(p)
Dim q, b, a

If Not esprimo(p) Then rassias3 = 0: Exit Function
q = 2
a = 0
While a = 0
b = (p + 1) / q + 1
If esprimo(b) Then
a = b
End If
q = primprox(q)
Wend
rassias3 = a
End Function

Con ella se puede construir una tabla que relaciones  p₂ con  p₁ y p:

Todas estas tablas se podrían prolongar hasta números mucho mayores, y siempre existe una solución de dos primos respecto al dado, luego se puede dar por comprobada la conjetura dentro de la herramienta que hemos usado.

Primos relacionados con uno fijo

Por último, nos podríamos plantear si para cada valor de p podemos encontrar infinitos pares  p₁ y  p₂ que cumplan la conjetura. Lo dejamos como ejercicio. En la tabla observamos pares de seis cifras que cumplen la conjetura para p=11:

Como los primos de la primera columna se multiplican por 10, los de la segunda terminan todos en 9. Este ejercicio lo podemos repetir para cualquier valor, y dentro del rango que deseemos. Terminamos con los primos de siete cifras que corresponden a p=137:

Conjetura de Collatz

Ya se trató esta conjetura en este blog, pero desde el punto de vista de su experimentación en un Taller de Matemáticas

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/la-conjetura-de-collatz-en-un-taller-de.html

En esta ocasión se buscarán rutinas y funciones que nos ayuden a comprobar la conjetura para muchos números, así como encontrar sus cúspides y órbitas. Se ha escrito mucho sobre esta conjetura, por lo que aquí se desarrollará sólo ese aspecto.

Planteamiento

Para quienes no conozcan esta conjetura recordaremos su planteamiento:

Se toma un número entero positivo N cualquiera, por ejemplo el 13, y se le aplica la siguiente operación, a la que llamaremos función COLL(N):

• Si el número es par, se divide entre 2.
• Si el número es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1.

En el caso del 13, como es impar, se le aplicará la segunda, y quedará COLL(13)=13*3+1=40.

La idea de la conjetura es que sigamos aplicando esta operación a todos los resultados que obtengamos, En nuestro caso sería COLL(40)=20 (por ser par), COLL(20)=10, COLL(10)=5, COLL(5)=3*5+1=16, COLL(16)=8, COLL(8)=4, COLL(4)=2, COLL(2)=1, y a partir del 1 se entra en el ciclo {4, 2, 1}

La conjetura afirma que este final en el 1 y el ciclo posterior ocurre para cualquier otro entero positivo. Sea cual sea el comienzo, se llegará al número 1. Todas las sucesiones construidas así terminarán en el ciclo 4, 2, 1.

Lo vemos con otro ejemplo:

COLL(6)=3, COLL(3)=10, COLL(10)=5, COLL(5)=16, COLL(16)=8, COLL(8)=4, COLL(4)=2, COLL(2)=1

Insistimos en que existen muchas publicaciones sobre esta conjetura y aquí sólo nos limitaremos a pequeñas comprobaciones. La más sencilla es mediante celdas en la hoja de cálculo.

Comprobación con celdas de hoja de cálculo

Escribimos el entero positivo inicial (lo podemos nombrar como semilla) en una celda, sea por ejemplo, la D4. En la celda inferior D5 escribimos SI(RESIDUO(D4;2)=0;D4/2;3*D4+1), que divide entre 2 el valor de la D4 si es par (porque entonces se verifica RESIDUO(D4;2)=0) y lo multiplica por 3 añadiendo 1 si es impar. En la imagen vemos el resultado para el número 132:

Al ser par el 132 se ha dividido entre 2. Ahora lo único que tenemos que hacer es rellenar esa fórmula hacia abajo y parar cuando aparezca un 1:

(Troceamos la imagen porque aparecen muchos números)

La conjetura ha sido comprobada hasta números muy grandes, por lo que puedes tener la seguridad de que llegarás siempre al valor 1. Al conjunto de números que se recorren hasta llegar a ese valor le podemos llamar órbita del número dado, que aquí son los 29 números que aparecen en la imagen. Al número mayor que hayamos alcanzado en la órbita le llamaremos cúspide. En este ejemplo la cúspide es el mismo 132.

De esta forma tan simple podemos comprobar la conjetura dentro del alcance de la herramienta que usamos. Si la órbita tiene una longitud grande este procedimiento puede alargarse. Por ello acudiremos ahora a la definición de funciones:

Funciones sobre la conjetura de Collatz

Ya hemos presentado COLL(N). Sería bueno introducir su versión en VBA para poder construir sobre ella otras funciones más complicadas. Su código es muy sencillo:

Public Function coll(n)
If n / 2 = n \ 2 Then coll = n / 2 Else coll = 3 * n + 1
End Function

No necesita grandes explicaciones. La condición n/2=n\2 equivale a indicar que n es par, ya que entonces el resultado de la división n/2 es idéntico al de la división entera n\2. El resto se entiende bien. Con esta función podemos reproducir las órbitas en columna de forma idéntica a como procedimos en el primer ejemplo.

En PARI el código es similar:

coll(n)=if(n/2==n\2,n/2,3*n+1)

En la imagen vemos el resultado de pedir coll(132)

Función orbicoll

A cualquier número entero le podemos asignar una cadena que contenga todos los números por los que “pasa” hasta llegar al 1, es decir, su órbita. En VBA podía ser esta:

Public Function orbicoll(n)
Dim b
Dim s$ ‘Cadena (string) para recoger los resultados
b = n: s$ = Str$(b) ‘La cadena comienza con el número inicial (semilla)
While b <> 1 ‘Se trabaja hasta llegar al 1
b = coll(b) ‘ En cada paso se aplica la función COLL
s$ = s$ + Str$(b) ‘Se incorpora el resultado al string
Wend
orbicoll = s$
End Function

En la imagen puedes comprobar la creación de la órbita del número 132:

Después puedes usar la prestación de convertir texto en columnas (antes debes copiar la órbita en otra celda mediante copiar valores) y crear un gráfico que abarque toda la órbita:

Puedes observar que arranca en 132 y termina en 1. Los tramos ascendentes representan números impares, y los descendentes a los pares.
Puedes seguir este proceso con cualquier otro número entero y seguir la evolución de su órbita.

En la imagen aparece la órbita del número 127, más compleja y con una cúspide cercana a 4500:

Función orbicoll en PARI

Es fácil la traducción de esta función a PARI:

coll(n)=if(n/2==n\2,n/2,3*n+1)
orbicoll(n)=my(b=n,s=Str(n));while(b<>1,b=coll(b);s=concat(concat(s," "),Str(b)));s

En la imagen se ha pedido la órbita de 127:

Estudia al código siguiente para la función lorbicoll, que devuelve el número de elementos de una órbita:

Public Function lorbicoll(n)
Dim a, b
a = 1: b = n
While b <> 1
b = coll(b)
a = a + 1
Wend
lorbicoll = a
End Function

Con ella podemos comprobar lo que ya sabemos, que 132 tiene una órbita de 29 elementos.

Con la versión PARI puedes abordar casos con números mayores:

coll(n)=if(n/2==n\2,n/2,3*n+1)
lorbicoll(n)=my(b=n,a=1);while(b<>1,b=coll(b);a+=1);a

Te proponemos comprobar que el número  871 es el que posee la órbita de más longitud entre los de tres cifras, y que contiene 179 elementos. De los de cuatro cifras el de órbita de más longitud es el número 6171, con 262 elementos.

Función cuspicoll

Del mismo modo que construimos la órbita de un número entero positivo, podemos encontrar su cúspide. El procedimiento será similar, pero, en lugar de añadir resultados a un string, tomaremos nota en cada paso del máximo valor que ha aparecido:

Public Function cuspicoll(n)
Dim a, b
a = n: b = n
While b <> 1
b = coll(b)
If b > a Then a = b
Wend
cuspicoll = a
End Function

La instrucción clave es If b > a Then a = b, que convierte a en el nuevo máximo si aparece un elemento b mayor que los precedentes.

Con las funciones definidas podemos construir un esquema en el que se analice el comportamiento de la conjetura de Collatz para una semilla dada:

Finales previsibles

Algunos tipos de números presentan una órbita bastante previsible. Por ejemplo:

Potencias de 2: a partir de ellos se entra en una ruta descendente y previsible que finaliza en el 1.

Números tipo (2^n-1)/3: Desembocan en una potencia de 2, por lo que también inician una ruta directa,  y esto ocurre una potencia sí y otra no, porque 2^n es del tipo 3k+1 o 3k+2 y al multiplicar por Si es 3k+1 es candidato a que (2^n-1)/3 sea entero, y si es del tipo 3k+2, la siguiente potencia será 6k+4, o sea del tipo 3k+1

Otros tienen recorrido corto, como el 6, el 10 o el 20.

Es normal que pensemos en que muchas órbitas pasarán por ellos, y existan pares de órbitas  que pasan ambas por el mismo punto de entrada, más o menos primario.

Podemos intentar ver si dos números presentan alguna coincidencia en sus órbitas, porque entonces compartirán final. No es difícil programar una función que nos devuelva un punto de coincidencia en las órbitas de dos números. En primer lugar necesitamos una función que nos indique si el número n pertenece a la órbita del número m. Puede ser esta:

Public Function enlacoll(m, n) As Boolean
Dim e As Boolean
Dim p
If m = n Then
e = True
Else
e = False
p = m  ‘p recorrerá la órbita de m
While Not e And p <> 1
p = coll(p)
If p = n Then e = True  ‘Si p es igual a n, sí pertenece
Wend
End If
enlacoll = e
End Function

Con esta función enlacoll(m,n) podemos saber si n pertenece a la órbita de m. Se puede organizar un esquema de cálculo:

En la imagen se ha verificado que 52 pertenece a la órbita de 57.

Coincidencia en las órbitas

Con la anterior función ya estamos preparados para encontrar la primera coincidencia entre dos órbitas. Si no existe una coincidencia anterior, se nos devolverá un cero. El código de la función es:

Public Function coincicoll(m, n)
Dim c, q
q = m
c = 0
While q > 1 And c = 0 ‘q recorre la órbita de m
If enlacoll(n, q) Then c = q ‘si q pertenece a la órbita de n, hay coincidencia
q = coll(q)
Wend
coincicoll = c
End Function

Con ella también podemos construir otro esquema de cálculo. En la imagen se comprueba que 125 y 126 comparten una subórbita de 95 elementos, que comienzan en 364.

Con estas ideas puedes construir otras muchas funciones, o emprender otras búsquedas. Sólo se ha pretendido en esta entrada dar ideas para comprobaciones y experimentaciones sobre la conjetura, ya de por sí bastante estudiada en otros aspectos.

Hipotenuseando

En mis exploraciones por la página OEIS (Enciclopedia On-line de sucesiones de números enteros, http://oeis.org/?language=spanish), me encontré con la sucesión http://oeis.org/A104863

10, 30, 31, 43, 53, 68, 86, 109, 138, 175, 222, 282, 358, 455, 578, 735, 935, 1189,…

En ella, a partir de los valores a(1)=10 y a(2)=30, se van formando los siguientes como la parte entera de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los dos anteriores.

Así, el tercer elemento es igual a

ENTERO(RAIZ(10^2+30^2))=ENTERO(RAIZ(1000))=ENTERO(31,62)=31.

Prueba a justificar que el siguiente es 43.

Esta definición equivale a que cada término es la hipotenusa truncada correspondiente a los términos anteriores tomados como catetos. Por eso le hemos llamado a esta sucesión la de “hipotenusear”. Su expresión recurrente sería:

Esta sucesión presenta algunas características que le hacen merecer esta entrada:

(1) El uso de la parte entera obliga a renunciar a las fórmulas teóricas. De hecho, en términos avanzados de la sucesión, el cumplimiento del Teorema de Pitágoras es deplorable. Observa este ejemplo, en el que a(n-2)=8348, a(n-1)= 10618 y a(n)=13506. Si elevamos al cuadrado obtenemos:

13506^2=182412036
8348^2+10618^2=182431028

Restamos y nos queda un error de 18992 unidades. Así que las hipotenusas que obtengamos con esta recurrencia no son tales, aunque seguiremos llamándolas así.

(2) Como también ocurre en las recurrencias lineales, el cociente entre dos términos consecutivos se va estabilizando y tiende a un límite. Esto nos permite “razonar en el límite”, aunque sepamos que es una técnica aproximada, que sólo nos valdrá para explicar (y no demostrar) algunas conjeturas que se han afirmado para esta sucesión y otras similares.

(3) La sucesión presentada es sólo un caso particular de toda una familia en la que podemos fijar a(1) y a(2) como deseemos. La mayoría de las propiedades se mantendrán. Vemos la primera:

Conjetura: El límite del cociente a(n+1)/a(n) es la raíz cuadrada del número áureo.

La llamamos conjetura por causa de la parte entera, que nos impide mejores razonamientos. Esta cuestión, de manejarnos entre aproximaciones y conjeturas, es uno de los objetivos de esta entrada.

Podemos comprobar lo anterior con hoja de cálculo. Escribimos dos catetos uno debajo de otro, como 2 y 5, y después, en columna rellenamos la fórmula

=ENTERO(RAIZ(CATETO1^2+CATETO2^2)).

No es difícil de organizar. Después, en la columna de la derecha calculamos los cocientes entre dos términos consecutivos. Algo así:

Al llegar al término 14 ya se adivina el valor deseado. Si seguimos bajando, la aproximación mejora mucho

Podemos razonarlo en el límite. Llamamos k al cociente a(n+1)/a(n). Por tanto, en la expresión de a(n) podemos escribir:

O bien, pasando a(n-1) al primer miembro,

Elevando al cuadrado y agrupando, tenemos que k se debe aproximar a la solución de la ecuación k⁴ – k² – 1 = 0, una bicuadrada cuya solución es el límite sugerido, la raíz cuadrada del número áureo.

Incluimos las cuatro soluciones tal como las da WolframAlpha:

Elegimos la real positiva, y, efectivamente, resulta 1,27201964951407…

Manteniendo el razonamiento en el límite, si a(n-1) y a(n) se comportan como cateto e hipotenusa respectivamente con esa razón dada, el otro cateto, a(n-2), se podrá aproximar (también en el límite) de esta forma:

Plantéate como ejercicio demostrar el último paso. Recuerda que F-1=1/F
En esta sucesión a(n) tiende en el límite a a(n-2)*F

Lo hemos demostrado en el párrafo anterior. También lo podemos razonar mediante la idea de que si el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima a la raíz del número áureo, el correspondiente a a(n) y a(n-2) será dicho número F.

Por tanto, en el límite, cada tres términos consecutivos forman un triángulo rectángulo cuyos lados son proporcionales a (1, 1,272019…, 1,618033…) y cuyo ángulo menor es de 38,17º.

Un ejercicio: ¿Cuál es, en el límite, el cociente entre el área del triángulo (a(n+1), a(n), a(n-1)) y el correspondiente a (a(n), a(n-1), a(n-2))?

Para quienes conozcáis el lenguaje PARI, con una línea de código similar a esta podéis estudiar la sucesión hasta términos más avanzados:

a=1;b=7;for(i=1,30,c=truncate(sqrt(a^2+b^2));a=b;b=c;print1(c,", "))

Podéis estudiar los cocientes añadiendo el código adecuado.

Conjetura: A partir de un término mínimo, a(n) se diferencia de a(n-2)+a(n-4) en a lo sumo una unidad.

Esta conjetura está publicada en la página OEIS citada para el caso a(1)=10 y a(2)=30, en el que la diferencia se estabiliza en 1. Su verificación no depende de los términos iniciales, salvo, quizás, el tope inferior de 1. Por ejemplo, lo comprobaremos con hoja de cálculo y los términos iniciales a(1)=4 y a(2)=7:

En este caso vemos que a(n) tiende a coincidir con a(n-2)+a(n-4)-1

En el límite se puede justificar usando todos los cocientes presentados más arriba:

a(n-2)+a(n-4) = a(n)/F+a(n)/F^2 = a(n)*(F+1)/F^2 = a(n)

Así que en el límite la coincidencia es exacta: a(n-2)+a(n-4) = a(n), y la unidad como error aparece por los truncamientos.

Puedes cambiar la función ENTERO por la de REDONDEAR. Así lo hacen las sucesiones A104803,  A104804, A104805 y A104806, con resultados similares.

¿Variaciones o combinaciones?

En el mes de julio pasado descubrí que el número 1716 equivale a un número de variaciones sin repetición y también de combinaciones sin repetición, ambas con el mismo índice superior. En efecto, 1716 = 13*12*11 = V(13,3), pero también equivale a C(13,6) o C(13,7), ya que

Se ha producido la feliz casualidad de que 13*12*11 = 6*5*4*3*2*1, y por eso se ha podido simplificar.

En esta propiedad el verdadero protagonista, a efectos de construcción de algoritmos, es el número 13, que es el que participa en ambas fórmulas, de combinaciones y variaciones. No existen muchos índices que cumplan esto. Los primeros son 8, 13, 27, 124, 725 y 5046, si imponemos la condición razonable de que el índice inferior sea mayor que 1, para evitar trivialidades.

Búsqueda “ingenua”

Para encontrar estos índices superiores podemos acudir a la definición que hemos insinuado: “Números n para los que existen dos índices k y h tales que V(n,k) = C(n,h)”. Si disponemos de las funciones C y V, basta recorrer índices para cada candidato y parar cuando se dé una coincidencia. Podemos acotar la búsqueda eligiendo para h el intervalo (2, n/2), por cuestión de simetría en los números combinatorios. Por otra parte, es claro que k ha de ser menor que h, para que tenga lugar la igualdad. En Basic de hojas de cálculo podía usarse algo así:

Public Function vari(n, k)
Dim v, i
v = 1
For i = 0 To k - 1: v = v * (n - i): Next i
vari = v
End Function

Public Function combi(n, k)
Dim v, w, i
v = 1: w = 1
For i = 0 To k - 1: v = v * (n - i): w = w * (i + 1): Next i
combi = v / w
End Function

Código para cada valor de n (aquí representado por la variable i):
a = 0 ‘variable para parar la búsqueda
k = 2
While k <= i / 2 And a = 0 ‘ se recorren los valores de k
b = combi(i, k) ‘ se encuentra el número de combinaciones b
h = 2
While h < k And a = 0 ‘se recorren los valores de h
c = vari(i, h) ‘ se encuentra el número de variaciones c
If b = c Then a = 1: m = k: n = h ‘en caso de igualdad, se para y toma nota
h = h + 1
Wend
k = k + 1
Wend

La salida será el valor m del índice k y el n del índice h. En forma de tabla estos serían los primeros valores:

Los comprobamos (salvo el 13 que ya se ha visto):

V(8,2)=8*7 = 56, C(8,3)=(8*7*6)/(3*2*1)=56

V(27,3)=27*26*25=17550, C(27,4)=(27*26*25*24)/(4*3*2*1) =27*26*25=17550

V(124,4)=124*123*122*121=225150024 = C(124,5)

Algoritmo con recursividad

En este primer intento estamos realizando más operaciones de lo debido. No es necesario calcular C(n,k) y V(n,h) en cada paso. Es mejor generar cada intento recursivamente a partir del anterior:

a = 0
k = 2
b = i
While k <= i / 2 And a = 0
b = b * (i - k + 1) / k ‘recursividad para combinaciones
h = 2
c = i
While h < k And a = 0
c = c * (i - h + 1) ‘recursividad para variaciones
If b = c Then a = 1: m = k: n = h
h = h + 1
Wend
k = k + 1
Wend

Con hoja de cálculo se llega pronto al desbordamiento de decimales. Deberemos cambiar a PARI:

for(i=3,1000,a=0;j=2;m=i;while(j<=i/2+1&&a==0,m=m*(i-j+1)/j;k=2;n=i;while(k<j&&a==0&&n<=m,n*=i-k+1;if(m==n,a=1);k+=1);j+=1);if(a==1,print(i,", ",j,", ",k,", ",m)))

Es poco legible. Contiene las mismas ideas desarrolladas con VBA, pero escritas de forma excesivamente compacta.

El resultado te será familiar, y aparece un nuevo índice, el 725:

Para seguir avanzando se requiere ya mucha paciencia, porque los cálculos se van haciendo lentos y complejos. El siguiente índice superior en aparecer es el 5046:

El valor de V(5046,7) = C(5046,8) da idea de cómo se va complicando esto. Sin embargo, nos conduce al hecho de que en

V(5046,7)=5046*5045*5044*5043*5042*5041*5040,

el último factor es el factorial de 7, lo que permite la simplificación que da lugar a la igualdad entre variaciones y combinaciones.

Casos particulares

El último ejemplo nos da una idea de la naturaleza de algunos de los índices superiores con la propiedad buscada. Es fácil entender que todo índice del tipo n!+(n-1) da lugar a un número m en el que el número de variaciones de n-1 elementos coincide con el de combinaciones de n elementos. Así ha ocurrido con muchas de las soluciones presentadas. En la siguiente tabla se han destacado en rojo las que ya conocíamos. Nos hemos detenido en el último factorial que Excel puede expresar de forma entera:

Por tanto, el número de índices adecuados es infinito, y crece a ritmo de factorial.
Los casos que faltan, como el 13, provienen de la casualidad de que un producto de números consecutivos equivalga a un factorial, que es lo que ocurre con 10*9*8 = 6! ¿Existirán más casos? Mediante una búsqueda manual descubrimos: 6*5*4=5!, lo que nos da de nuevo el candidato 8, pero esta vez con la expresión C(8,5) y la solución 56 ya vista. De ella podemos extraer la coincidencia 10*9*8*7=7!, que nos llevaría al índice 13.

Este estudio es un ejemplo más de una forma clásica de abordar problemas:

•  Usar un algoritmo sencillo, que no hace uso de propiedades especiales. Es un buen método para comenzar, pero suele ser largo y poco interesante. Así ha sido nuestro procedimiento “ingenuo”.
•  Perfeccionar el algoritmo a fin de conseguir mayor velocidad de búsqueda. En este caso se ha logrado con la recursividad.
•  Acudir a la teoría o el razonamiento. Hemos descubierto así que existen infinitos casos con la fórmula n!+n-1, más unos cuantos casos aislados. Así le hemos quitado el misterio a la cuestión planteada.

Expresión cuadrática X^2+kY^2 = N

Hace unos meses publiqué en Twiter, como una curiosidad, esta tabla de desarrollos para el número 4516

No existen muchos números que admitan esas diez expresiones cuadráticas con enteros. En concreto estos son los primeros:

1009, 1129, 1201, 1801, 2521, 2689, 3049, 3361, 3529, 3889, 4036, 4201, 4516, 4561, 4729, 4804, 5209, 5569, 5881, 6841, 7204, 7561, 7681, 8089, 8521, 8689, 8761, 8929, 9081, 9241, 9601, 9769,…

¿Qué hay detrás de esta lista?

Realmente, el problema radica en resolver la ecuación X²+kY²=N, con k>0 buscando soluciones enteras X>1 Y>1, para evitar trivialidades.

Despejando X en X²+kY²=N nos queda

Por tanto, para averiguar si un número se puede desarrollar de esta forma, bastará recorrer los valores de Y entre 1 y la raíz cuadrada de N/k. El valor que dé como resultado un cuadrado en el radicando será válido.

Por ejemplo, hemos afirmado arriba que 4516 se puede desarrollar como X²+9Y², con X>1 e Y>1. Según lo anterior, buscamos la raíz cuadrada de 4516/9, que resulta ser 22 (si tuviera decimales, truncaríamos). Por tanto habrá que ir probando desde Y=1 hasta Y=22 para ver qué valor da un cuadrado perfecto. Si se posee la función ESCUAD (puedes copiarla desde nuestra entrada http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/02/numeros-especiales-que-son-un-producto.html ) para ver si un número es cuadrado perfecto, lo podemos organizar en una hoja de cálculo.

No hemos encontrado una solución hasta el valor 18, que junto a la raíz cuadrada de 1600 forma la expresión vista en el primer párrafo 40^2+9*18^2=4516

Función esforma(N;k)

Esta búsqueda que hemos efectuado se podría automatizar. Dado un número N y un coeficiente k podemos diseñar una función que devuelva TRUE si es posible la expresión N=X2+KY2 y FALSE en caso contrario. Existe una variante más útil, y es que si la expresión es posible, la devuelva en forma de String, y en caso contrario la frase “NO”.

En el Basic de VBA podría tener este código (añadimos la función ESCUAD por si no la has encontrado)

Public Function escuad(n) As Boolean
If n < 0 Then
escuad = False
Else
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False
End If
End Function

Public Function esforma(n, k) As String
Dim a, b, i
Dim es As Boolean
If k <= 0 Then esforma = "NO": Exit Function ‘Para k<=0 no hay solución
a = Int(Sqr(n / k)) ‘Tope de búsqueda
es = False
i = 1
While i <= a And Not es
b = n - k * i * i
If escuad(b) And b > 0 Then es = True: b = Sqr(b) ‘Se encuentra una solución
i = i + 1
Wend
If es Then
esforma = Str$(b) + "^2+" + Str$(k) + "*" + Str$(i - 1) + "^2" ‘Construcción del String
Else
esforma = "NO" ‘No es expresable
End If
End Function

Con esta función podemos construir un esquema para ver si un número admite la expresión N=X²+kY² con un valor de k dado. En esta imagen encontramos el desarrollo de 4516 con coeficiente 5:

Hay que advertir que la función ESFORMA sólo da la primera solución posible, sin descartar que existan otras.

En esta otra imagen se comprueba que el número 1298 no admite la expresión N=X²+7Y²,

Ordenando un poco los cálculos podemos reproducir la imagen con la que comenzamos la entrada (con formato de hoja de cálculo)

En el caso de k=3 nos devuelve una solución distinta, ya que hay más de una, y hemos prolongado la tabla para comprobar que para los valores k=11 y k=13 no existe solución.

Listado de números expresables

Con esta función y un bloque FOR-NEXT podemos encontrar la lista de los primeros números que se pueden expresar como N=X²+kY²  para un valor de k determinado, e incluso con un doble bucle, los que son expresables para varios valores. Así hemos construido la lista de los que son expresables para los valores k=1..10: 1009, 1129, 1201, 1801, 2521, 2689,…

Números que se puedan expresar con los valores de k=1..11 existen muchos menos. Los primeros son: 7561, 10756, 14116, 14281,…

El número 21961 satisface las expresiones para k=1..13 y los números 32356, 35044 y 35281 llegan al valor 14. Llegan hasta el 15 los números 32356, 35044 y 35281. Y así podríamos seguir, con valores cada vez más altos y escasos.

En estos listados están incluidos valores de k que pueden resultar redundantes. Por ejemplo, si un número es expresable como X^2+8Y^2, también lo es como X^2+2(2Y)^2. Así que si comprobamos la expresión X^2+8Y^2 lo estamos haciendo también con X^2+2Y^2. Como los cálculos no eran muy lentos, hemos preferido dejarlos. En otros trabajos similares se suelen estudiar tan solo los valores primos de k.

Aspecto modular

Si nos fijamos en los restos módulo k, es fácil ver que para que N=X²+kY²,  ha de ser N congruente con X²  módulo k, es decir, que N ha de ser un resto cuadrático módulo k. Si se dispone de un listado de esos restos, o un programa que los genere, podemos averiguar para qué polinomios del tipo dado es expresable un número. La hoja que hemos alojado en esta dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/hoja/congruencias2.xlsm

contiene restos cuadráticos para cada caso

Hemos adaptado provisionalmente esta herramienta para este caso particular. A cada número que probemos le calculamos el resto respecto a k y lo comparamos con la lista de cuadráticos. Esta prueba sólo la efectuaremos para valores de k que sean primos impares. Los demás casos se reducen a este. Vemos unos ejemplos mediante imágenes:

Aquí vemos que el resto 5 no figura en el listado de restos cuadráticos (columna de la izquierda), 1, 4, 6, 9, 10,…módulo 13, por lo que no es expresable para ese coeficiente.

El mismo resultado obtendríamos mediante ESFORMA(4516,13).

Por el contrario, el número 35281 sí es expresable mediante X²+13Y², , ya que su resto respecto al 13 es 12, y ese valor sí figura como resto cuadrático (el último de la primera columna). Lo dejamos aquí por si te apetece profundizar en la teoría de los restos cuadráticos.

Volvemos a los números AROLMAR (y 9) Números "arolmar" cuadráticos

Como todos los años, al llegar julio interrumpimos la publicación de entradas hasta septiembre. Esto nos sirve  para descansar y planificar la siguiente temporada del blog, que será ya la novena. Por acumulación de material, las tres últimas entradas tratan del mismo tema, pero era bueno terminarlo en el mismo ciclo. Deseo un buen descanso en estos dos meses a quienes me siguen.


Terminamos la serie dedicada a los números arolmar y similares con los arolmar cuadráticos, que son  aquellos compuestos libres de cuadrados en los que la media cuadrática de sus factores primos es otro primo.

De forma similar al desarrollo de la anterior entrada, comenzaremos por aquellos números cuya media cuadrática de factores  primos con repetición sea al menos entera. Después pasaremos a otras exigencias hasta llegar a los arolmar cuadráticos. Estos números con media entera ya están publicados en http://oeis.org/A134600

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 119, 121, 125, 128, 161, 169, 243, 256, 289, 343, 351, 361, 378, 455, 512, 527, 529, 595, 625, 721, 729, 841, 845, 918, 959, 961, 1024, 1045, 1081,…

Es fácil ver que entre ellos están las potencias de primos. Es trivial la razón. Otros son de comportamiento más complejo, como el 351, cuyos factores son 3*3*3*13, con media cuadrática RAIZ((3^2+3^2+3^2+13^2)/4)=7, número entero tal como se pedía.

Con PARI se encuentran así:

mean2(n)= my(f, s=0,t=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, for(j=1,f[i,2],s+=f[i, 1]^2;t+=1)); sqrt(s/t)
{forcomposite (n=2, 2*10^3, m=mean2(n);if(m==truncate(m), print1(n, ", ")))}

En primer lugar se define mean2 como media cuadrática y en la segunda línea se exige que sea entera m==truncate(m), con el resultado esperado:

El siguiente paso sería la exigencia de que los números sean libres de cuadrados, para evitar la repetición de factores. Nos resultaría esta subsucesión de la anterior:

119, 161, 455, 527, 595, 721, 959, 1045, 1081, 1241, 1265, 1547, 1615, 1855, 2047, 2145, 2345, 2665, 2737, 3281, 3367, 3713, 3835, 3995, 4207, 4305, 4633, 4681, 5117, 5795, 6061, 6545, 6643, 6887, 6965, 7055, 7327, 7505, 7685, 7705, 8785, 9641,

La hemos obtenido con el código PARI siguiente:

mean2(n)= my(f, s=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, s+=f[i, 1]^2); sqrt(s/m)
{forcomposite (n=2, 10^4, if(issquarefree(n),m=mean2(n);if(m==truncate(m), print1(n, ", "))))}

Para generarlos con hoja de cálculo hemos introducido la función SOPF_k en lugar de SOPF. Esta suma de factores primos sin repetición, mientras que SOPF_K los suma elevados a un exponente K. Bastaría entonces dividir esa suma entre el número de factores y exigir que el resultado sea entero y cuadrado.

Por ejemplo, en el caso de 119 los cálculos serían

=RAIZ(sopf_k(119;2)/f_omega(119))=RAIZ((7^2+17^2)/2),

con el resultado de 13, número entero.

Si has llegado hasta aquí en la lectura entenderás que los números arolmar cuadráticos se extraerán de estos exigiendo que la raíz sea prima además de entera. Con estas condiciones aparecen estos números:

119, 161, 595, 721, 959, 1045, 1081, 1241, 1547, 1855, 2737, 3281, 3367, 3995, 4681, 5795, 6545, 6643, 7505, 7705, 11845, 11935, 12319, 12455, 13585, 14147, 16999, 19199, 19873, 20735, 22591, 23345, 26605, 27265, 29555, 32219, 32239, 32795, 33787, 34255, 34505, 35105, 35929, 37241, 38213, 38335, 38645, 39923, 39997,…

Podíamos llamarles números 2_arolmar o arolmar de segundo orden.

Repasamos la definición con un ejemplo: 1045 pertenece a la sucesión porque su descomposición factorial es 5*11*19, compuesto libre de cuadrados y la media cuadrática de sus factores es RAIZ((5^2+11^2+19^2)/3) = 13, entero y primo, tal como se exige en la definición.

Con hoja de cálculo hemos organizado la búsqueda en filas y columnas. Si deseas un listado más amplio puedes usar este código PARI

mean2(n)= my(f, s=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, s+=f[i, 1]^2); sqrt(s/m)
{forcomposite (n=2, 4*10^4, if(issquarefree(n),m=mean2(n);if(m==truncate(m),if(isprime(truncate(m)), print1(n, ", ")))))}

Llama la atención que estos números, además de ser impares, por la misma razón que los arolmar normales, ninguno de ellos es múltiplo de 3. La razón tiene que ver con las congruencias módulo 3. En efecto, todo primo mayor que 3 es de la forma 3k+1 o 3k+2. En ambos casos su cuadrado es del tipo 3m+1, congruente con 1 módulo 3. Si el número N se descompone en factores primos como 3*p₁*p₂*…p_k-1, la suma de los cuadrados será congruente con k-1, pues cada sumando es congruente con 1. Si esa suma produce una media cuadrática prima, deberá ser igual a kp₀, con p₀ primo, por lo que kp₀ será congruente con k y no con k-1. No pueden ser expresiones iguales.

Todos los números 2_arolmar son impares y no múltiplos de 3.

Su tendencia no es lineal como la de los arolmar de grado 1. Si representamos el conjunto de los primeros, obtenemos una gráfica que se parece más a una parábola

Después de probar varias alternativas, el mejor ajuste que hemos conseguido es el de la función potencial y=71,157x1,631.


Función esarolmar(n;k)

Para estudiar mejor los números arolmar de orden superior basta añadir un parámetro a la función esarolmar primitiva y elevar los factores primos a k en la condición. Puede ser esta:

Public Function esarolmar(n, k)
Dim es As Boolean
Dim b

es = False
If Not esprimo(n) And partecuad(n) = 1 Then
b = sopf_k(n, k) / f_omega(n)  ‘calcula la media de las potencias
If esentero(b) And esprimpot(b) = k Then es = True ‘comprueba que resulta primo^k
End If
esarolmar = es
End Function

Con ella y un bucle generamos fácilmente los arolmar de cualquier orden. Capturamos la hoja que genera 2_arolmar:

Caso particular, el de los semiprimos

Como en el caso de los de primer orden, los 2_arolmar semiprimos presentan bastante interés. Los primeros son estos:

119, 161, 721, 959, 1081, 1241, 3281, 4681, 12319, 16999, 19199, 32239, 37241, 44801, 50279, 52319, 60119, 89239, 135001, 136441, 152401, 156479, 157601, 173639, 227959, 305959, 315439, 330881, 335239, 350479, 356921, 368519, 373319, 393119, 418801, 497681, 526921, 650879, 775799, 789559, 887321, 926999,…

Por ejemplo, 721=7*103, y se cumple que RAIZ((7²+103²)/2)=73, que es un número primo.

Todos ellos tienen la forma N=pq con p<q, ambos primos e impares y p²+q² = 2r², siendo r un número primo. Si llamamos X=(p-q)/2, e Y=(p+q)/2, ambos X e Y serán enteros, y se cumplirá: X²+Y² =(2p²+2q²)=4r²=(2r)², luego X e Y son catetos de una terna pitagórica. Si restamos sus cuadrados en lugar de sumarlos, obtenemos: Y²-X²=pq=N, luego N es diferencia de cuadrados de los catetos de una terna pitagórica. Como p,q y r son primos (por tanto también entre sí), la terna será primitiva.

Los números 2_arolmar equivalen a la diferencia de los cuadrados de dos catetos de una terna pitagórica.

Vemos esta propiedad con el 161: 161=7*23, su media cuadrática es RAIZ((7²+23²)/2)=17, que es primo. En este caso, X=8, Y=15, catetos de la terna (8,15,17), y se cumple que 161=15²-8²= 225-64=161

Por tener esta propiedad, los 2_arolmar semiprimos pertenecen también a la sucesión

7, 41, 119, 161, 239, 527, 721, 959, 1081, 1241, 1393, 1519, 2047, 3281, 3479, 3713, 4207, 4633, 4681, 4879, 5593, 6647, 6887, 7327, 8119, 9401, 9641, 10199, 11753, 12121, 12319, 12593, 16999, 19159, 19199, 19873, 20447, 22393, 23359, 24521, 24521,…, publicada en http://oeis.org/A127923

La descomposición factorial de los primeros es esta:

Ninguno es múltiplo de 2, 3 o 5. Las dos primeras condiciones ya están estudiadas. Veremos más adelante por qué no puede ser múltiplo de 5 ni de otros primos.

En los 2_arolmar semiprimos N=P*Q se cumplirá P^2+Q^2=2R^2 (P<Q) con R primo, lo que equivale a que R^2-P^2=Q^2-R^2;  (R+P)(R-P)=(Q+R)(Q-R). Por ejemplo, en el número 4681=31*151, con media cuadrática 109 se cumple que
(151+109)(151-109)=(109-31)(109+31)=260*42=78*140=10920

Esta misma igualdad P^2+Q^2=2R^2 hace que P(o Q) deba ser un número primo en el que 2 sea un resto cuadrático módulo P, ya que Q^2 debería ser congruente con 2R^2 módulo P, y esto no es posible si el 2 es no resto cuadrático. Esto restringe los números primos que pueden ser factores de un 2_arolmar semiprimo. Si recorres las descomposiciones factoriales de los mismos en la tabla de más arriba habrás echado de menos los factores 5, 11 o 13. Su ausencia se debe a que en ellos el 2 no es resto cuadrático. Sí lo es en el 7, en el 17 o el 23, por ejemplo, y estos sí figuran en las descomposiciones factoriales.

Según la teoría de restos cuadráticos el 2 es resto cuadrático respecto a los primos del tipo 8k+1 y 8k+7. Así que sólo pueden ser esos primos los factores de un semiprimo arolmar de segundo orden. Los tienes en rojo en la tabla:

Múltiplos de 2_arolmar

El semiprimo 2_arolmar 119=7*17, si se multiplica por 5 da lugar al  arolmar de tres factores 595=5*7*17, e igual ocurre con 161=7*23, que se convierte en 2737 al multiplicarlo por 17. Podemos buscar todos los casos similares, en los que un 2_arolmar se convierta en otro del mismo tipo al multiplicarlo por un primo adecuado. Eliminamos la condición de que sea semiprimo y nos resulta esta tabla

En algún caso se da una cadena de múltiplos: 119 por 5 da 595, y éste por 11, 6545, que a su vez se puede convertir en 124355. Si seguimos resulta esta cadena:

Números arolmar de orden superior

No hemos encontrado 3_arolmar menores que 10^7, por lo que si existen serán rarezas aisladas. Igual nos ha ocurrido con órdenes superiores.