Hipotenuseando

En mis exploraciones por la página OEIS (Enciclopedia On-line de sucesiones de números enteros, http://oeis.org/?language=spanish), me encontré con la sucesión http://oeis.org/A104863

10, 30, 31, 43, 53, 68, 86, 109, 138, 175, 222, 282, 358, 455, 578, 735, 935, 1189,…

En ella, a partir de los valores a(1)=10 y a(2)=30, se van formando los siguientes como la parte entera de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los dos anteriores.

Así, el tercer elemento es igual a

ENTERO(RAIZ(10^2+30^2))=ENTERO(RAIZ(1000))=ENTERO(31,62)=31.

Prueba a justificar que el siguiente es 43.

Esta definición equivale a que cada término es la hipotenusa truncada correspondiente a los términos anteriores tomados como catetos. Por eso le hemos llamado a esta sucesión la de “hipotenusear”. Su expresión recurrente sería:

Esta sucesión presenta algunas características que le hacen merecer esta entrada:

(1) El uso de la parte entera obliga a renunciar a las fórmulas teóricas. De hecho, en términos avanzados de la sucesión, el cumplimiento del Teorema de Pitágoras es deplorable. Observa este ejemplo, en el que a(n-2)=8348, a(n-1)= 10618 y a(n)=13506. Si elevamos al cuadrado obtenemos:

13506^2=182412036
8348^2+10618^2=182431028

Restamos y nos queda un error de 18992 unidades. Así que las hipotenusas que obtengamos con esta recurrencia no son tales, aunque seguiremos llamándolas así.

(2) Como también ocurre en las recurrencias lineales, el cociente entre dos términos consecutivos se va estabilizando y tiende a un límite. Esto nos permite “razonar en el límite”, aunque sepamos que es una técnica aproximada, que sólo nos valdrá para explicar (y no demostrar) algunas conjeturas que se han afirmado para esta sucesión y otras similares.

(3) La sucesión presentada es sólo un caso particular de toda una familia en la que podemos fijar a(1) y a(2) como deseemos. La mayoría de las propiedades se mantendrán. Vemos la primera:

Conjetura: El límite del cociente a(n+1)/a(n) es la raíz cuadrada del número áureo.

La llamamos conjetura por causa de la parte entera, que nos impide mejores razonamientos. Esta cuestión, de manejarnos entre aproximaciones y conjeturas, es uno de los objetivos de esta entrada.

Podemos comprobar lo anterior con hoja de cálculo. Escribimos dos catetos uno debajo de otro, como 2 y 5, y después, en columna rellenamos la fórmula

=ENTERO(RAIZ(CATETO1^2+CATETO2^2)).

No es difícil de organizar. Después, en la columna de la derecha calculamos los cocientes entre dos términos consecutivos. Algo así:

Al llegar al término 14 ya se adivina el valor deseado. Si seguimos bajando, la aproximación mejora mucho

Podemos razonarlo en el límite. Llamamos k al cociente a(n+1)/a(n). Por tanto, en la expresión de a(n) podemos escribir:

O bien, pasando a(n-1) al primer miembro,

Elevando al cuadrado y agrupando, tenemos que k se debe aproximar a la solución de la ecuación k⁴ – k² – 1 = 0, una bicuadrada cuya solución es el límite sugerido, la raíz cuadrada del número áureo.

Incluimos las cuatro soluciones tal como las da WolframAlpha:

Elegimos la real positiva, y, efectivamente, resulta 1,27201964951407…

Manteniendo el razonamiento en el límite, si a(n-1) y a(n) se comportan como cateto e hipotenusa respectivamente con esa razón dada, el otro cateto, a(n-2), se podrá aproximar (también en el límite) de esta forma:

Plantéate como ejercicio demostrar el último paso. Recuerda que F-1=1/F
En esta sucesión a(n) tiende en el límite a a(n-2)*F

Lo hemos demostrado en el párrafo anterior. También lo podemos razonar mediante la idea de que si el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima a la raíz del número áureo, el correspondiente a a(n) y a(n-2) será dicho número F.

Por tanto, en el límite, cada tres términos consecutivos forman un triángulo rectángulo cuyos lados son proporcionales a (1, 1,272019…, 1,618033…) y cuyo ángulo menor es de 38,17º.

Un ejercicio: ¿Cuál es, en el límite, el cociente entre el área del triángulo (a(n+1), a(n), a(n-1)) y el correspondiente a (a(n), a(n-1), a(n-2))?

Para quienes conozcáis el lenguaje PARI, con una línea de código similar a esta podéis estudiar la sucesión hasta términos más avanzados:

a=1;b=7;for(i=1,30,c=truncate(sqrt(a^2+b^2));a=b;b=c;print1(c,", "))

Podéis estudiar los cocientes añadiendo el código adecuado.

Conjetura: A partir de un término mínimo, a(n) se diferencia de a(n-2)+a(n-4) en a lo sumo una unidad.

Esta conjetura está publicada en la página OEIS citada para el caso a(1)=10 y a(2)=30, en el que la diferencia se estabiliza en 1. Su verificación no depende de los términos iniciales, salvo, quizás, el tope inferior de 1. Por ejemplo, lo comprobaremos con hoja de cálculo y los términos iniciales a(1)=4 y a(2)=7:

En este caso vemos que a(n) tiende a coincidir con a(n-2)+a(n-4)-1

En el límite se puede justificar usando todos los cocientes presentados más arriba:

a(n-2)+a(n-4) = a(n)/F+a(n)/F^2 = a(n)*(F+1)/F^2 = a(n)

Así que en el límite la coincidencia es exacta: a(n-2)+a(n-4) = a(n), y la unidad como error aparece por los truncamientos.

Puedes cambiar la función ENTERO por la de REDONDEAR. Así lo hacen las sucesiones A104803,  A104804, A104805 y A104806, con resultados similares.