Como todos los años, al llegar julio interrumpimos la publicación de entradas hasta septiembre. Esto nos sirve para descansar y planificar la siguiente temporada del blog, que será ya la novena. Por acumulación de material, las tres últimas entradas tratan del mismo tema, pero era bueno terminarlo en el mismo ciclo. Deseo un buen descanso en estos dos meses a quienes me siguen.
Terminamos la serie dedicada a los números arolmar y similares con los arolmar cuadráticos, que son aquellos compuestos libres de cuadrados en los que la media cuadrática de sus factores primos es otro primo.
De forma similar al desarrollo de la anterior entrada, comenzaremos por aquellos números cuya media cuadrática de factores primos con repetición sea al menos entera. Después pasaremos a otras exigencias hasta llegar a los arolmar cuadráticos. Estos números con media entera ya están publicados en http://oeis.org/A134600
4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 119, 121, 125, 128, 161, 169, 243, 256, 289, 343, 351, 361, 378, 455, 512, 527, 529, 595, 625, 721, 729, 841, 845, 918, 959, 961, 1024, 1045, 1081,…
Es fácil ver que entre ellos están las potencias de primos. Es trivial la razón. Otros son de comportamiento más complejo, como el 351, cuyos factores son 3*3*3*13, con media cuadrática RAIZ((3^2+3^2+3^2+13^2)/4)=7, número entero tal como se pedía.
Con PARI se encuentran así:
mean2(n)= my(f, s=0,t=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, for(j=1,f[i,2],s+=f[i, 1]^2;t+=1)); sqrt(s/t)
{forcomposite (n=2, 2*10^3, m=mean2(n);if(m==truncate(m), print1(n, ", ")))}
En primer lugar se define mean2 como media cuadrática y en la segunda línea se exige que sea entera m==truncate(m), con el resultado esperado:
El siguiente paso sería la exigencia de que los números sean libres de cuadrados, para evitar la repetición de factores. Nos resultaría esta subsucesión de la anterior:
119, 161, 455, 527, 595, 721, 959, 1045, 1081, 1241, 1265, 1547, 1615, 1855, 2047, 2145, 2345, 2665, 2737, 3281, 3367, 3713, 3835, 3995, 4207, 4305, 4633, 4681, 5117, 5795, 6061, 6545, 6643, 6887, 6965, 7055, 7327, 7505, 7685, 7705, 8785, 9641,
La hemos obtenido con el código PARI siguiente:
mean2(n)= my(f, s=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, s+=f[i, 1]^2); sqrt(s/m)
{forcomposite (n=2, 10^4, if(issquarefree(n),m=mean2(n);if(m==truncate(m), print1(n, ", "))))}
Para generarlos con hoja de cálculo hemos introducido la función SOPF_k en lugar de SOPF. Esta suma de factores primos sin repetición, mientras que SOPF_K los suma elevados a un exponente K. Bastaría entonces dividir esa suma entre el número de factores y exigir que el resultado sea entero y cuadrado.
Por ejemplo, en el caso de 119 los cálculos serían
=RAIZ(sopf_k(119;2)/f_omega(119))=RAIZ((7^2+17^2)/2),
con el resultado de 13, número entero.
Si has llegado hasta aquí en la lectura entenderás que los números arolmar cuadráticos se extraerán de estos exigiendo que la raíz sea prima además de entera. Con estas condiciones aparecen estos números:
119, 161, 595, 721, 959, 1045, 1081, 1241, 1547, 1855, 2737, 3281, 3367, 3995, 4681, 5795, 6545, 6643, 7505, 7705, 11845, 11935, 12319, 12455, 13585, 14147, 16999, 19199, 19873, 20735, 22591, 23345, 26605, 27265, 29555, 32219, 32239, 32795, 33787, 34255, 34505, 35105, 35929, 37241, 38213, 38335, 38645, 39923, 39997,…
Podíamos llamarles números 2_arolmar o arolmar de segundo orden.
Repasamos la definición con un ejemplo: 1045 pertenece a la sucesión porque su descomposición factorial es 5*11*19, compuesto libre de cuadrados y la media cuadrática de sus factores es RAIZ((5^2+11^2+19^2)/3) = 13, entero y primo, tal como se exige en la definición.
Con hoja de cálculo hemos organizado la búsqueda en filas y columnas. Si deseas un listado más amplio puedes usar este código PARI
mean2(n)= my(f, s=0); f=factor(n);m= matsize(f)[1]; for(i=1, m, s+=f[i, 1]^2); sqrt(s/m)
{forcomposite (n=2, 4*10^4, if(issquarefree(n),m=mean2(n);if(m==truncate(m),if(isprime(truncate(m)), print1(n, ", ")))))}
Llama la atención que estos números, además de ser impares, por la misma razón que los arolmar normales, ninguno de ellos es múltiplo de 3. La razón tiene que ver con las congruencias módulo 3. En efecto, todo primo mayor que 3 es de la forma 3k+1 o 3k+2. En ambos casos su cuadrado es del tipo 3m+1, congruente con 1 módulo 3. Si el número N se descompone en factores primos como 3*p1*p2*…pk-1, la suma de los cuadrados será congruente con k-1, pues cada sumando es congruente con 1. Si esa suma produce una media cuadrática prima, deberá ser igual a kp0, con p0 primo, por lo que kp0 será congruente con k y no con k-1. No pueden ser expresiones iguales.
Todos los números 2_arolmar son impares y no múltiplos de 3.
Su tendencia no es lineal como la de los arolmar de grado 1. Si representamos el conjunto de los primeros, obtenemos una gráfica que se parece más a una parábola
Después de probar varias alternativas, el mejor ajuste que hemos conseguido es el de la función potencial y=71,157x1,631.
Función esarolmar(n;k)
Para estudiar mejor los números arolmar de orden superior basta añadir un parámetro a la función esarolmar primitiva y elevar los factores primos a k en la condición. Puede ser esta:
Public Function esarolmar(n, k)
Dim es As Boolean
Dim b
es = False
If Not esprimo(n) And partecuad(n) = 1 Then
b = sopf_k(n, k) / f_omega(n) ‘calcula la media de las potencias
If esentero(b) And esprimpot(b) = k Then es = True ‘comprueba que resulta primo^k
End If
esarolmar = es
End Function
Con ella y un bucle generamos fácilmente los arolmar de cualquier orden. Capturamos la hoja que genera 2_arolmar:
Caso particular, el de los semiprimos
Como en el caso de los de primer orden, los 2_arolmar semiprimos presentan bastante interés. Los primeros son estos:
119, 161, 721, 959, 1081, 1241, 3281, 4681, 12319, 16999, 19199, 32239, 37241, 44801, 50279, 52319, 60119, 89239, 135001, 136441, 152401, 156479, 157601, 173639, 227959, 305959, 315439, 330881, 335239, 350479, 356921, 368519, 373319, 393119, 418801, 497681, 526921, 650879, 775799, 789559, 887321, 926999,…
Por ejemplo, 721=7*103, y se cumple que RAIZ((72+1032)/2)=73, que es un número primo.
Todos ellos tienen la forma N=pq con p<q, ambos primos e impares y p2+q2 = 2r2, siendo r un número primo. Si llamamos X=(p-q)/2, e Y=(p+q)/2, ambos X e Y serán enteros, y se cumplirá: X2+Y2 =(2p2+2q2)=4r2=(2r)2, luego X e Y son catetos de una terna pitagórica. Si restamos sus cuadrados en lugar de sumarlos, obtenemos: Y2-X2=pq=N, luego N es diferencia de cuadrados de los catetos de una terna pitagórica. Como p,q y r son primos (por tanto también entre sí), la terna será primitiva.
Los números 2_arolmar equivalen a la diferencia de los cuadrados de dos catetos de una terna pitagórica.
Vemos esta propiedad con el 161: 161=7*23, su media cuadrática es RAIZ((72+232)/2)=17, que es primo. En este caso, X=8, Y=15, catetos de la terna (8,15,17), y se cumple que 161=152-82= 225-64=161
Por tener esta propiedad, los 2_arolmar semiprimos pertenecen también a la sucesión
7, 41, 119, 161, 239, 527, 721, 959, 1081, 1241, 1393, 1519, 2047, 3281, 3479, 3713, 4207, 4633, 4681, 4879, 5593, 6647, 6887, 7327, 8119, 9401, 9641, 10199, 11753, 12121, 12319, 12593, 16999, 19159, 19199, 19873, 20447, 22393, 23359, 24521, 24521,…, publicada en http://oeis.org/A127923
La descomposición factorial de los primeros es esta:
Ninguno es múltiplo de 2, 3 o 5. Las dos primeras condiciones ya están estudiadas. Veremos más adelante por qué no puede ser múltiplo de 5 ni de otros primos.
En los 2_arolmar semiprimos N=P*Q se cumplirá P^2+Q^2=2R^2 (P<Q) con R primo, lo que equivale a que R^2-P^2=Q^2-R^2; (R+P)(R-P)=(Q+R)(Q-R). Por ejemplo, en el número 4681=31*151, con media cuadrática 109 se cumple que
(151+109)(151-109)=(109-31)(109+31)=260*42=78*140=10920
Esta misma igualdad P^2+Q^2=2R^2 hace que P(o Q) deba ser un número primo en el que 2 sea un resto cuadrático módulo P, ya que Q^2 debería ser congruente con 2R^2 módulo P, y esto no es posible si el 2 es no resto cuadrático. Esto restringe los números primos que pueden ser factores de un 2_arolmar semiprimo. Si recorres las descomposiciones factoriales de los mismos en la tabla de más arriba habrás echado de menos los factores 5, 11 o 13. Su ausencia se debe a que en ellos el 2 no es resto cuadrático. Sí lo es en el 7, en el 17 o el 23, por ejemplo, y estos sí figuran en las descomposiciones factoriales.
Según la teoría de restos cuadráticos el 2 es resto cuadrático respecto a los primos del tipo 8k+1 y 8k+7. Así que sólo pueden ser esos primos los factores de un semiprimo arolmar de segundo orden. Los tienes en rojo en la tabla:
Múltiplos de 2_arolmar
El semiprimo 2_arolmar 119=7*17, si se multiplica por 5 da lugar al arolmar de tres factores 595=5*7*17, e igual ocurre con 161=7*23, que se convierte en 2737 al multiplicarlo por 17. Podemos buscar todos los casos similares, en los que un 2_arolmar se convierta en otro del mismo tipo al multiplicarlo por un primo adecuado. Eliminamos la condición de que sea semiprimo y nos resulta esta tabla
En algún caso se da una cadena de múltiplos: 119 por 5 da 595, y éste por 11, 6545, que a su vez se puede convertir en 124355. Si seguimos resulta esta cadena:
Números arolmar de orden superior
No hemos encontrado 3_arolmar menores que 10^7, por lo que si existen serán rarezas aisladas. Igual nos ha ocurrido con órdenes superiores.
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