Se estudiaron en la entrada anterior las sumas de Lemoine, en
las que los números impares superiores a 5 se descomponen como p+2q, siendo p y
q primos. Si 2q lo sustituimos por q-1+q+1, podremos preguntarnos por la
posibilidad de que q-1 y q+1 sean los primos (en este caso gemelos), en lugar
de q. Es prácticamente el mismo problema, pero más exigente. Existen más
números dobles de primos que parejas de primos gemelos. Para estudiar estas
sumas bastará modificar ligeramente la función que usamos para las sumas de
Lemoine (ver la entrada anterior), pero modificando alguna de las líneas del
código. Puede ser esta:
Function sumlemoine00(n)
Dim i, j, m
Dim s$
s = ""
If n Mod 2 = 0 Then sumlemoine00 = "NO":
Exit Function
m = 0
i = 2
While m = 0 And i <= n - 8
If esprimo(i) Then
j = (n - i) / 2 ‘Al llegar aquí, se busca un par de primos
gemelos
If esprimo(j + 1) And esprimo(j - 1) Then m = m + 1:
s$ = s$ + "#" + Str$(i) + "+" + Str$(j - 1) + "+"
+ Str$(j + 1)
End If ‘El resto
del código es muy similar al de las sumas de Lemoine
i = i + 1
Wend
If s = "" Then s = "NO" Else s =
Str$(m) + "--" + s
sumlemoine00 = s
End Function
Al aplicar esta función a los primeros impares, no todos
presentan una suma de un número primo con un par de primos gemelos:
3 NO
5 NO
7 NO
9 NO
11 1--#
3+ 3+ 5
13 1--#
5+ 3+ 5
15 1--#
3+ 5+ 7
17 1--#
5+ 5+ 7
19 1--#
7+ 5+ 7
21 1--#
13+ 3+ 5
23 1--#
11+ 5+ 7
25 1--#
13+ 5+ 7
27 1--#
3+ 11+ 13
29 1--#
5+ 11+ 13
31 1--#
7+ 11+ 13
33 NO
35 1--#
11+ 11+ 13
37 1--#
13+ 11+ 13
39 1--#
3+ 17+ 19
41 1--#
5+ 17+ 19
43 1--#
7+ 17+ 19
45 1--#
37+ 3+ 5
47 1--#
11+ 17+ 19
49 1--#
13+ 17+ 19
51 1--#
43+ 3+ 5
53 1--#
17+ 17+ 19
55 1--#
19+ 17+ 19
57 NO
59 1--#
23+ 17+ 19
61 1--#
37+ 11+ 13
Vemos que los de una cifra, el 33 y el 57 no admiten ese
tipo de suma. De hecho, la gran mayoría de los impares admite la suma p+q+r con
p primo y (q,r) par de primos gemelos.
No es fácil encontrar todos los números que no admiten esas
sumas. Los primeros son estos:
1, 3, 5, 7, 9, 33, 57, 93, 99, 129, 141, 153, 177, 183, 195,
213, 225, 243, 255, 261, 267, 273, 297, 309, 327, 333, 351, 369, 393, 411, 423,
435, 453, 477, 489, 501, 513, 519, 525, 537, 561, 573, 591, 597, 603, 633, 645,
657, 663, 675, 687, 693, 705, 711, 723, 729, 753, 771, 783, 789, 801, 807, 813,
825,…
Estaban inéditos y los hemos publicado en
Para encontrarlos hemos usado el siguiente código PARI:
for(n = 0, 500, m = 2*n+1; v = 0; forprime(i = 3, m-8, j = (m-i)/2;
if(isprime(j-1) && isprime(j+1), v = 1)); if(v == 0, print1(m,",
")))
En él recorremos los impares (m=2*n+1) y después los primos.
Para cada primo analizamos si existe un par de primos gemelos en la suma. La
variable v recoge el éxito (v=1) o el fracaso (v=0) en la búsqueda. Al final se
imprimen los números en los que v=0.
Estudio de un número concreto
con CARTESIUS
Con un planteo similar al del anterior tema, podemos
encontrar fácilmente las descomposiciones del tipo que estudiamos para un
número concreto. Por ejemplo, 61 hemos visto que admite 37+11+13.
Usamos ahora
xtotal=2
xt=1..59
xt=filtro(primo)
ES
PRIMO(x1+2)
ES
x1+x1+2+x2=61
(La condición ES PRIMO no está implementada en el
archivo descargable)
Exigimos que x1+2 sea primo (gemelo con x1), y el
resto queda casi igual que en el anterior:
Obtenemos:
Así que aparece otra solución: 3+5+53=61
Si el número no es muy grande, se puede descomponer con este
método. En la imagen vemos las descomposiciones de 121:
En las cinco soluciones los dos primeros sumandos son primos
gemelos.
Pares de primos de
Sophie Germain
Por último, podemos exigir que dos de los tres primos de la
suma sean un par de Sophie Germain, es decir, que sea primo p y también 2p+1,
dejando libre el tercer sumando.
En este caso, están bastante equilibrados el conjunto de los
que admiten esta descomposición y los que no:
Los primeros que sí la admiten son estos:
9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 27,
29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 57, 59, 60,
63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 83, 86, 87,…
Por ejemplo, 87 se puede descomponer como:
87=5+11+71=11+23+53=23+47+17
En las tres sumas los dos primeros sumandos son pares de
primos de Sofhie Germain.
Los hemos conseguido con Cartesius:
xtotal=2
xt=1..87
xt=filtro(primo)
es
primo(2*x1+1)
es
x1+2*x1+1+x2=87
Los primeros que no admiten ese tipo de suma son:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 16, 22, 25, 28, 31, 32, 34, 40,
42, 43, 46, 49, 52, 55, 56, 58, 61, 62, 64, 67, 70, 76, 79, 82, 84, 85, 88,…
Por ejemplo, estas son las descomposiciones en tres primos
del número 43:
3 3 37
3 11 29
3 17 23
5 7 31
5 19 19
7 7 29
7 13 23
7 17 19
11 13 19
13 13 17
En ninguna de ellas aparece una par de primos de Sophie
Germain.
Se pueden idear otros condicionamientos con las sumas de
Goldbach, pero a ninguna le hemos visto interés. Intenta, por ejemplo, sumas en
las que los tres primos formen una progresión aritmética, y llegarás a una
trivialidad, y es que coinciden con los triples de los números primos.
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