martes, 28 de abril de 2020

Sumas de Goldbach, Lemoine y otras (2)



Se estudiaron en la entrada anterior las sumas de Lemoine, en las que los números impares superiores a 5 se descomponen como p+2q, siendo p y q primos. Si 2q lo sustituimos por q-1+q+1, podremos preguntarnos por la posibilidad de que q-1 y q+1 sean los primos (en este caso gemelos), en lugar de q. Es prácticamente el mismo problema, pero más exigente. Existen más números dobles de primos que parejas de primos gemelos. Para estudiar estas sumas bastará modificar ligeramente la función que usamos para las sumas de Lemoine (ver la entrada anterior), pero modificando alguna de las líneas del código. Puede ser esta:

Function sumlemoine00(n)
Dim i, j, m
Dim s$

s = ""
If n Mod 2 = 0 Then sumlemoine00 = "NO": Exit Function
m = 0
i = 2
While m = 0 And i <= n - 8
If esprimo(i) Then
j = (n - i) / 2   ‘Al llegar aquí, se busca un par de primos gemelos
If esprimo(j + 1) And esprimo(j - 1) Then m = m + 1: s$ = s$ + "#" + Str$(i) + "+" + Str$(j - 1) + "+" + Str$(j + 1)
End If  ‘El resto del código es muy similar al de las sumas de Lemoine
i = i + 1
Wend
If s = "" Then s = "NO" Else s = Str$(m) + "--" + s
sumlemoine00 = s
End Function

Al aplicar esta función a los primeros impares, no todos presentan una suma de un número primo con un par de primos gemelos:
3          NO
5          NO
7          NO
9          NO
11        1--# 3+ 3+ 5
13        1--# 5+ 3+ 5
15        1--# 3+ 5+ 7
17        1--# 5+ 5+ 7
19        1--# 7+ 5+ 7
21        1--# 13+ 3+ 5
23        1--# 11+ 5+ 7
25        1--# 13+ 5+ 7
27        1--# 3+ 11+ 13
29        1--# 5+ 11+ 13
31        1--# 7+ 11+ 13
33        NO
35        1--# 11+ 11+ 13
37        1--# 13+ 11+ 13
39        1--# 3+ 17+ 19
41        1--# 5+ 17+ 19
43        1--# 7+ 17+ 19
45        1--# 37+ 3+ 5
47        1--# 11+ 17+ 19
49        1--# 13+ 17+ 19
51        1--# 43+ 3+ 5
53        1--# 17+ 17+ 19
55        1--# 19+ 17+ 19
57        NO
59        1--# 23+ 17+ 19
61        1--# 37+ 11+ 13

Vemos que los de una cifra, el 33 y el 57 no admiten ese tipo de suma. De hecho, la gran mayoría de los impares admite la suma p+q+r con p primo y (q,r) par de primos gemelos.

No es fácil encontrar todos los números que no admiten esas sumas. Los primeros son estos:

1, 3, 5, 7, 9, 33, 57, 93, 99, 129, 141, 153, 177, 183, 195, 213, 225, 243, 255, 261, 267, 273, 297, 309, 327, 333, 351, 369, 393, 411, 423, 435, 453, 477, 489, 501, 513, 519, 525, 537, 561, 573, 591, 597, 603, 633, 645, 657, 663, 675, 687, 693, 705, 711, 723, 729, 753, 771, 783, 789, 801, 807, 813, 825,…

Estaban inéditos y los hemos publicado en


Para encontrarlos hemos usado el siguiente código PARI:

for(n = 0, 500, m = 2*n+1; v = 0; forprime(i = 3, m-8, j = (m-i)/2; if(isprime(j-1) && isprime(j+1), v = 1)); if(v == 0, print1(m,", ")))

En él recorremos los impares (m=2*n+1) y después los primos. Para cada primo analizamos si existe un par de primos gemelos en la suma. La variable v recoge el éxito (v=1) o el fracaso (v=0) en la búsqueda. Al final se imprimen los números en los que v=0.

Estudio de un número concreto con CARTESIUS

Con un planteo similar al del anterior tema, podemos encontrar fácilmente las descomposiciones del tipo que estudiamos para un número concreto. Por ejemplo, 61 hemos visto que admite 37+11+13.

Usamos ahora

xtotal=2
xt=1..59
xt=filtro(primo)
ES PRIMO(x1+2)
ES x1+x1+2+x2=61

(La condición ES PRIMO no está implementada en el archivo descargable)

Exigimos que x1+2 sea primo (gemelo con x1), y el resto queda casi igual que en el anterior:
Obtenemos:
  


Así que aparece otra solución: 3+5+53=61

Si el número no es muy grande, se puede descomponer con este método. En la imagen vemos las descomposiciones de 121:


En las cinco soluciones los dos primeros sumandos son primos gemelos.

Pares de primos de Sophie Germain

Por último, podemos exigir que dos de los tres primos de la suma sean un par de Sophie Germain, es decir, que sea primo p y también 2p+1, dejando libre el tercer sumando.

En este caso, están bastante equilibrados el conjunto de los que admiten esta descomposición y los que no:

Los primeros que sí la admiten son estos:

9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 57, 59, 60, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 83, 86, 87,…

Por ejemplo, 87 se puede descomponer como:

87=5+11+71=11+23+53=23+47+17

En las tres sumas los dos primeros sumandos son pares de primos de Sofhie Germain.

Los hemos conseguido con Cartesius:

xtotal=2
xt=1..87
xt=filtro(primo)
es primo(2*x1+1)
es x1+2*x1+1+x2=87

Los primeros que no admiten ese tipo de suma son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 16, 22, 25, 28, 31, 32, 34, 40, 42, 43, 46, 49, 52, 55, 56, 58, 61, 62, 64, 67, 70, 76, 79, 82, 84, 85, 88,…

Por ejemplo, estas son las descomposiciones en tres primos del número 43:

3             3             37
3             11          29
3             17          23
5             7             31
5             19          19
7             7             29
7             13          23
7             17          19
11          13          19
13          13          17

En ninguna de ellas aparece una par de primos de Sophie Germain.
Se pueden idear otros condicionamientos con las sumas de Goldbach, pero a ninguna le hemos visto interés. Intenta, por ejemplo, sumas en las que los tres primos formen una progresión aritmética, y llegarás a una trivialidad, y es que coinciden con los triples de los números primos.

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