Sumas de Goldbach, Lemoine y otras (1)

La conjetura de Lemoine afirma que todo número impar mayor que 5 se puede expresar como la suma p+2q, donde p y q son números primos. Se ha comprobado para N<10^13, y no se ha demostrado cuando escribo esto.

Esta conjetura es más fuerte que la segunda de Goldbach, que afirma que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos. Aquí no se exige que dos de los primos sean iguales.

Estas dos conjeturas admiten ampliaciones y variantes. Por ejemplo, podemos exigir que dos de los primos sean gemelos, o bien otras más complicadas que podremos tratar si no se alargan las primeras.

En esta entrada estudiaremos las soluciones que presenta cada número impar en estas dos conjeturas.

Sumas de Lemoine

Usaremos una función que cuente o presente todas las sumas del tipo p+2q previstas en la conjetura para un número dado. Comenzaremos presentando las sumas además de contarlas. Para ello usaremos la función:

Function sumlemoine(n)

Dim i, j, m

Dim s$

If n Mod 2 = 0 Then sumlemoine = "NO": Exit Function ‘Si n es par, salimos

m = 0 ‘Contador de soluciones

For i = 2 To n - 4

If esprimo(i) Then ‘Se recorren los primos

j = (n - i) / 2 ‘Se analiza la posible solución para el segundo primo

If esprimo(j) Then m = m + 1: s$ = s$ + "#" + Str$(i) + "+2 *" + Str$(j)

‘Si ambos son primos, se incrementa el contador m y se presentan las sumas

End If

Next i

s = Str$(m) + "--" + s

sumlemoine = s

End Function

Con esta función podemos recorrer un conjunto de números impares y comprobar que todos presentan soluciones del tipo N=p+2q. En la tabla figuran los siguientes a 50

En los valores de la función se lee, en primer lugar, el número de soluciones. Así, vemos que 55 presenta 3 y 57, 7. A continuación se escriben las sumas posibles:

55=17+2*19=29+2*13+41+2*7

Este formato es muy ilustrativo, pero en las estadísticas que vamos a estudiar, es un estorbo. Por eso, iremos modificando el resultado, que una vez será el número de soluciones y, en otras ocasiones, máximo, mínimos o diferencias. Sobre la marcha se irá decidiendo.

Número de sumas de Lemoine

Podemos eliminar en la anterior función toda referencia a la cadena de texto s$ y dejar que devuelva solo el número de soluciones. La tabla anterior quedaría así:

De esta forma simplificada se puede crear una lista con los valores en los primeros números impares:

Estos valores ya están publicados en http://oeis.org/A046927

A046927                            Number of ways to express 2n+1 as p+2q where p and q are primes.         

0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 6, 4, 4, 7, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 7, 5, 7, 4, 4, 8, 7, 5, 8, 4, 7, 8, 7, 4, 11, 5, 6, 9, 6, 5, 12, 6, 6, 10, 8, 6, 11, 7, 5, 11, 8, 6, 10, 6, 6, 13, 8, 5, 13, 6, 9, 12, 8, 6, 14, 8, 6, 11, 10, 9, 16, 5, 8, 13, 9, 9, 14, 7, 6, 14

Podemos crear un gráfico que compare el valor de cada impar con el número de sumas de Lemoine que presenta:

Observamos que sigue de forma aproximada una tendencia potencial 0,4562x^0,5892, pero con una correlación no muy fuerte, de R²=0,7014. Esto nos marca una tendencia al crecimiento atenuado en el número de soluciones.

Exploración con CARTESIUS

La obtención de las diversas sumas es un problema combinatorio, y en este tipo de cuestiones puede resultar útil nuestra hoja de cálculo Cartesius

(Descarga desde http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Por ejemplo, por las tablas anteriores sabemos que el número 57 admite siete descomposiciones de Lemoine. Lo comprobamos en Cartesius con este planteo:

xtotal=2

xt=1..55

xt=filtro(primo)

ES 2*x1+x2=57

Podemos traducirlo como que

Se usan dos variables

Ambas variarán entre 1 y 55

Se filtran solo los primos

La suma del doble de la primera con la segunda ha de dar 57

El resultado es el previsto, siete posibilidades:

El primer primo es el que se multiplica por 2. Así, 2*2+53=57, 2*5+47=57,…

Comparación con las sumas de Golbach

Podemos adaptar la función que hemos presentado al recuento de las soluciones para las sumas de Goldbach para impares, formadas por tres números primos. Tal como se afirmó en los primeros párrafos, se obtendrán valores mayores que en los obtenidos a partir de la conjetura de Lemoine.

Se puede usar la siguiente función:

Function sumgoldbach(n)

Dim i, j, m

If n Mod 2 = 0 Then sumgoldbach = 0: Exit Function

m = 0

For i = 2 To n - 4

If esprimo(i) Then

j = 2

While j <= i And j <= n - i

If esprimo(j) And esprimo(n - i - j) And j >= n - i - j Then m = m + 1

j = j + 1

Wend

End If

Next i

sumgoldbach = m

End Function

Con ella podemos contar el número de sumas de Goldbach para cada número impar. Están ya publicadas en http://oeis.org/A054860

A054860                            Number of ways of writing 2n+1 as p + q + r where p, q, r are primes with p <= q <= r.                 

0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 6, 9, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13, 12, 15, 16, 14, 17, 16, 16, 19, 21, 20, 20, 22, 21, 22, 28, 24, 25, 29, 27, 29, 33, 29, 33, 35, 34, 30, 38, 36, 35, 43, 38, 37, 47, 42, 43, 50, 46, 47, 53, 50, 45, 57, 54, 47, 62, 53, 49, 65, 59, 55,…

Evidentemente, el número de sumas de Lemoine es inferior al de las de Goldbach. En esta gráfica hemos hecho coincidir ambas:

La línea azul sigue las sumas de Goldbach y la roja las de Lemoine. Se observa cómo se ampliando la diferencia entre ellas al crecer los números impares. De hecho, esta es la gráfica de los cocientes de ambas sumas:

En las oscilaciones influyen más las sumas de Goldbach, que son más irregulares en su crecimiento.