Un número como diferencia entre potencias (1)

Antecedentes

En este blog se han estudiado varios tipos de diferencias de potencias. Por ejemplo, ya hemos visto aquí las diferencias de cuadrados, como puedes buscar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/

También se han tratado las de cubos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html

O bien de cubos menos cuadrados y también el caso en el que los dos exponentes son iguales:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2025/01/regresos-13-diferencia-de-potencias.html

Por último, algunas curiosidades sobre diferencias de potencias, como, por ejemplo. Acercamientos entre potencias

https://hojaynumeros.blogspot.com/2018/10/acercamiento-entre-potencias.html

En mi reciente publicación “Números y potencias” están contenidas varias cuestiones interesantes (descargable desde

https://www.hojamat.es/publicaciones/numpot.pdf)

Diferencias entre potencias de distinto exponente

No he abordado nunca (creo que es así, porque a mi edad la memoria falla), la diferencia entre dos potencias de distinto exponente. Aprovecharé el tema para presentar varias alternativas.

Función ESPOTENCIA

Hay varias formas de identificar una potencia perfecta. La más directa es la de descomponer el número en factores primos y encontrar el MCD de sus exponentes. Si este es mayor que 1, estaremos ante una potencia. Por ejemplo, 576=2⁶*3². EL MCD de 6 y 2 es 2, luego 576 es un cuadrado. Esta técnica nos da el mayor exponente si el número es multipotencia, como el 64, que lo catalogará como sexta potencia. Para la cuestión actual lo que nos interesa es que sea verdaderamente una potencia.

Para sacar los factores primos disponemos de nuestra función SACAPRIMOS, que la puedes encontrar en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/06/numeros-con-cifras-crecientes-o_02105820646.html

Esta función te devuelve los factores primos en el vector primo() y sus exponentes en expo(), además de indicar el número de esos factores en NUMOMEGA.

Esas variables se han de declarar de forma global en VBasic:

Global primo(50), expo(50)

Global numomega

 

Esta es la función ESPOTENCIA:

Public Function espotencia(n)

Dim i, j, s, p

 

If n = 1 Or n = 0 Then espotencia = 1: Exit Function

p = n

j = sacaprimos(p) ‘Explicado en el párrafo anterior

s = expo(1) ‘El vector expo está también explicado

If j > 1 Then

For i = 2 To j

s = mcd(s, expo(i)) ‘Calcula el MCD

Next i

End If

If s = 1 Then s = 0 ‘Si MCD es 1, no es potencia

espotencia = s ‘Devuelve el exponente o un cero

End Function

 

Búsqueda de diferencias con la función ESPOTENCIA

Haré uso de mi función ESPOTENCIA y de la correspondiente ISPOWER del lenguaje PARI. Esta última me permitirá llegar a números grandes con más facilidad.

La idea para buscar diferencias de potencias que coincidan con N será la de recorrer todos los números K hasta un tope prefijado, y estudiar si K y K+N son potencias. En caso afirmativo, habremos dado con una solución. Se les halla la raíz exacta y se incorporan al resultado.

La función quedaría así:

Function difepote$(n, tope)

Dim b, m, p, q, r, t

Dim s$

 

s = "" ‘Contenedor de soluciones

m = 0 ‘Contador de soluciones

For b = 1 To tope – n ‘El tope es parámetro prefijado

q = espotencia(b) ‘Daría cero o un exponente

p = espotencia(b + n) ‘Daría cero o un exponente

If p > 0 And q > 0 Then ‘Si no dan cero, es que son potencias

r = raiz_exacta(b + n, p)

t = raiz_exacta(b, q)

m = m + 1 ‘Nueva solución

s = s + "=" + ajusta(r) + "^" + ajusta(p) + "-" + ajusta(t) + "^" + ajusta(q)

End If

Next b

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + ": " + s

difepote = s

End Function

La función RAIZ_EXACTA también se basa en los vectores PRIMO y EXPO. Para quien tenga interés, adjunto su código sin comentarios:

Function raiz_exacta(n, k)

Dim p, r, i

 

If n = 1 Or n = 0 Then raiz_exacta = n: Exit Function

p = espotencia(n)

If p Mod k = 0 Then

r = 1

For i = 1 To numomega

r = r * primo(i) ^ (expo(i) / k)

Next i

End If

If r = 1 Then r = 0

raiz_exacta = r

End Function

Un ejemplo del uso de esta función DIFEPOTE lo vemos con el número 28 y tope 200000:

Difepote(28;200000)=7:=2^5-2^2=6^2-2^3=2^6-6^2=2^7-10^2=2^9-22^2=37^3-15^4=2^17-362^2

Nos indica que ha encontrado siete soluciones y escribe sus desarrollos.

No es un algoritmo rápido. En el caso del 28 sí devuelve el resultado en pocos segundos, pero con un tope mayor puede tardar.

Elijo ahora el número 120 para destacar dos resultados que pueden resultar:

120=11^2-1^1=2^7-2^3=13^2-7^2=17^2-13^2=31^2-29^2

Una de las bases puede ser 1 (en ese caso tendrá exponente 1) y las dos bases pueden ser iguales, como en 2^7-2^3. Es normal que esto ocurra.

Versión en PARI

Para lograr más rapidez y llegar a números más grandes, he traducido la función DIFEPOTE al lenguaje PARI. No necesita explicación, salvo que en él es preferible presentar los resultados como lista y no como cadena de texto.

Una novedad en este lenguaje es que ISPOWER, además de devolver el exponente, guarda la base en una variable. Así, ispower(343,,&k) devolverá 3, porque es un cubo, y guardará la base 7 en la variable k. Tiene el inconveniente de que no maneja bien al caso del 1, pues lo considera siempre potencia de exponente cero. Esto se puede ignorar o intentar corregirlo en el código. He elegido esta última posibilidad, aunque el código se alarga demasiado. Es este:

difepote(n,tope)={my(b,b1,s=List(),r1,r2);p=ispower(n+1,,&r1);if(p>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,1);listput(~s,1);listput(~s,"#"));for(b=2,tope-n,q=ispower(b,,&r2);b1=b+n;p=ispower(b1,,&r1);if(p<>0&&q<>0,listput(~s,r1);listput(~s,p);listput(~s,r2);listput(~s,q);listput(~s,"#")));s}

print(difepote(132608,2000000))

Aquí se trocea en líneas, pero hay que escribirlo sin saltos de línea. Este es el resultado en la web de PARI:

He elegido este ejemplo porque en él se destaca la mayor potencia de cálculo de PARI, ya que Excel tardaría más. Una solución más restringida, con un tope menor, es

4: =372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2

Si llegamos a un tope de 2000000, tarda sus buenos minutos en Excel, y al final devuelve:

10:=372^2-76^2=52^3-20^3=387^2-131^2=408^2-184^2=522^2-374^2=582^2-454^2=648^2-536^2=933^2-859^2=1068^2-1004^2=1212^2-34^4

El mismo resultado, pero con más lentitud.

Es una preferencia personal el pasar o no a PARI en esta cuestión.

Seguiré con el tema en la siguiente entrada.