Algunos números enteros positivos son diferencia de dos cubos, también enteros y positivos. Por ejemplo, 3367 lo es de tres formas diferentes: 3367=343-333=163-93=153-23. Otros números, como 8624, no coinciden con ninguna diferencia de cubos. En esta entrada aprenderemos a descubrir ejemplos y estudiar algunos casos especiales.
Cuando se trata con
diferencias, el estudio previo que se debe emprender es el de encontrar una
cota para los números que se restan. En este caso, además de ello, podremos
añadir una condición que deban cumplir minuendo y sustraendo. Es un tema
algebraico sencillo en este caso. Llamemos a+k
a la base del cubo mayor y a a la
del menor, siendo además N el valor
de la diferencia entre ambos cubos. Tendremos entonces:
(a+k)3-
a3 = 3a2k+3ak2+k3 = k(3a2+3ak+k2)
= N
Esta
igualdad nos indica que N ha de ser múltiplo de k.
Esto nos da una cota para la diferencia entre bases, junto con la condición de
que sea un divisor de N. Por otra parte, no es difícil acotar las bases de los
cubos:
3a2+3ak+k2
= N/k
3a2
< 3a(a+k) = N/k-k2 < N/k
De aquí deducimos que una
cota de a es la raíz cuadrada de N/(3k)
Si recorremos los valores de los divisores de N, obtendremos valores posibles de k, y con esta cota podremos encontrar valores de a para comprobar si (a+k)3- a3 = N
Estas condiciones se usan en
la siguiente función de VBasic, que nos devolverá las descomposiciones en
diferencia de cubos que presente un número N:
Function difcubos$(n)
Dim k, a, t, m
Dim s$
s = "" ‘Contenedor
de soluciones
m = 0 ’Número
de soluciones
For k = 1 To n / 2
If n / k = n \ k Then ‘k ha de ser divisor de N
t = Sqr(n / k / 3) ‘Cota
para a
For a = 1 To t
If (a + k) ^ 3 - a ^ 3 = n
Then m = m + 1: s = s + "a=" + Str$(a) + " k=" + Str$(a +
k) ‘Si es una solución, se incorpora
Next a
End If
Next k
If s = "" Then
difcubos = "NO" Else difcubos = ajusta(m) + " " + s ‘Si
no hay solución devuelve un NO
End Function
Con esta función encontraremos los números enteros que son diferencia de cubos, con el dato del número de soluciones que presenten. Por ejemplo, en la siguiente tabla figuran los resultados desde 720 hasta 730:
Observamos que sólo dos
números cumplen la condición, y, en este caso, con dos soluciones cada uno. Las
diferencias son divisores de N. En el caso de 721, son 1 y 7, y, en el caso de
728, 2 y 8, divisores en ambos números.
Una idea nos viene al
momento, y es que si N es primo, la única diferencia posible es 1:
Si
un número primo es diferencia de dos cubos, ambos han de ser consecutivos.
Lo comprobamos con la
función anterior añadiendo la condición de ser primo:
Se trata de los “primos cubanos”, que son objeto de estudio en otra entrada en nuestro blog
(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/primos-cubanos.html
Están publicados también en https://oeis.org/A002407
Los primeros números
que son diferencia de cubos de una, dos o tres formas son estos:
7, 19, 26, 37, 56, 61, 63,
91, 98, 117, 124, 127, 152, 169, 189, 208, 215, 217, 218, 271, 279, 296, 316,
331, 335, 342, 386, 387, 397, 448, 469, 485, 488, 504, 511, 513, 547, 602, 604,
Están publicados en https://oeis.org/A038593,
y parece ser que serán muy raros los que presenten más de tres soluciones. Como
en nuestra función el primer carácter representa el número de soluciones, no es
difícil separar esta tabla según este dato.
Una sola solución:
https://oeis.org/A014439
Dos diferencias de cubos:
https://oeis.org/A014440
Tres diferencias:
Observamos que van disminuyendo los casos.
Segunda versión de búsqueda
En la función propuesta
hemos usado un bucle de búsqueda para k
y otro para a. Este último se puede
evitar despejando a en 3a2+3ak+k2-N/k.
Así lo hemos efectuado en PARI, y se consigue más velocidad de proceso, pero
para números con tres soluciones sigue siendo lento. Lo copiamos aquí por si
alguien desea experimentar:
difcubos(n)={my(m=0,k,a,q);for(k=1,n/2,if(n%k==0,q=9*k^2-12*(k^2-n/k);if(issquare(q),a=(-3*k+sqrt(q))/6;if(a==truncate(a)&&a>0,m+=1))));m}
for(i=1,10^6,if(difcubos(i)==3,print(i)))
Se exige en él que a sea entera y positiva. Cambiando el 3
de la última línea se puede intentar buscar números con cuatro soluciones, si
se dispone de un equipo potente.
Casos particulares en la diferencia
En nuestras publicaciones en
Twitter o X nos aparecen casos en los que un cuadrado y un cubo están
relacionados por una identidad. En este apartado comenzaremos por estudiar el
caso en el que una diferencia de cubos es cuadrada. Para ello cambiaremos un
poco nuestra función básica, en el sentido de exigir al principio que N sea un
cuadrado. El resultado, ya conocido, es
La segunda columna está publicada en https://oeis.org/A038597
Hay un caso interesante en
la tabla, y es 14^3-7^3=7^4, y esto nos anima a buscar otras diferencias entre
cubos que sean potencia de cualquier exponente. Para ello disponemos de la
función en Excel ESPOTENCIA, que devuelve el exponente mínimo de una potencia,
o cero si no es de ese tipo. Con ella encontramos diferencias que son cuartas
potencias:
Con esta búsqueda hemos descubierto una propiedad interesante: si N es diferencia entre dos cubos, su cuarta potencia también lo es:
La razón es sencilla: Si en una diferencia de cubos con resultado N multiplicamos ambos cubos por N3, resultará otra diferencia de cubos con resultado N4. Ocurrirá igual con N7 o N10.
Podemos observar que los
datos de la cuarta columna coinciden con los de la segunda multiplicados por N.
Otros
tipos de diferencias de cubos
Esta última parte del
estudio la desarrollaremos con brevedad salvo que surja alguna propiedad
interesante.
Diferencias
que son números primos
Ya advertimos que, en este
caso, las bases de los cubos han de ser consecutivas y los primos son los
llamados “cubanos”:
Diferencias
de cubos triangulares
Los primeros son estos:
No descubrimos particularidades, luego pasamos a otro caso.
Diferencia
de cubos igual a suma de cubos
Aprovechando una pequeña función disponible, SUMCUBOS, se puede exigir que la diferencia de cubos coincida con la suma de otros dos. Los primeros resultados son:
Están publicados en https://oeis.org/A225908
Como se señala en esta página, estos datos dan lugar a identidades en las que un cubo es suma de otros tres, pues basta pasar de miembro el cubo que aparece restando:
6^3-4^3=3^3+5^3 da lugar a
6^3=3^3+4^3+5^3.
Esto explica que en la
segunda columna aparezcan repetidos tres veces algunos cubos mayores de cada
caso, como el 6, el 9 o el 12, ya que la suma da lugar a tres diferencias.
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