Simétricos de un esfénico

En esta entrada estudiaremos la relación entre los factores primos de un número esfénico y los de su simétrico, el que posee cifras simétricas a las de ese número en el sistema de numeración decimal.

Números esfénicos

Los números esfénicos son los que poseen tres factores primos distintos, como se explica en este mismo blog.

(Ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/09/blog-post.html)

En muchos lenguajes de programación se define la función OMEGA como el total de factores primos distintos que posee un número, y BIGOMEGA, al mismo total si se cuentan los primos repetidos. Esto nos da un criterio para conocer si un número N es esfénico, y es que OMEGA(N)=3 y BIGOMEGA(N)=3. Así se “prohíbe” que se repitan primos. Lo expresamos en lenguaje PARI:

print(omega(42)==3&&bigomega(42)==3)

En el caso del 42=2*3*7, no se cumple la propiedad que buscamos en el simétrico, porque 24=2*2*2*3. Sin embargo, 165=3*5*11 daría lugar a 561=3*11*17, con lo que el simétrico es también esfénico.

Aquí ya se ha usado la función ESFENICO, que detecta si un número es de esta clase:

Public Function esfenico(n) As Boolean

Dim a, b, c, d, m

 

m = 0

a = 2

While a <= n / 2 And m = 0

If esprimo(a) And n Mod a = 0 Then

b = n / a

If Not esprimo(b) Then

c = a + 1

While c <> a And c <= b / 2 And m = 0

If esprimo(c) And b Mod c = 0 Then

d = b / c

If esprimo(d) And d <> c And d <> a And a <> c Then m = 1

End If

c = c + 1

Wend

End If

End If

a = a + 1

Wend

 

If m = 1 Then esfenico = True Else esfenico = False

End Function

Con esta función podemos detectar qué números siguen siendo esfénicos al invertir sus cifras. No consideraremos los capicúas. Basta usar la condición

ESFENICO(N) AND ESFENICO(CIFRAINVER(N)) AND NOT ESCAPICUA(N)

Con ella descubrimos los esfénicos cuyo simétrico también lo es. Los recogemos en esta tabla:

En los corchetes, el 1 es el exponente del primo correspondiente.

Están publicados en https://oeis.org/A270175

En esa sucesión les llaman Cinehps numbers, buscando la palabra simétrica a la de sphenic. En español podrían llamarse ocinefse, pero es una palabra poco atractiva, por lo que no la usaré.

Dentro de esta sucesión podríamos extraer ejemplos múltiplos de un semiprimo determinado, como sería el 15. Observaremos que no son escasos:

Esta tabla nos sugiere que cada semiprimo posee una lista de primos, aquí 11, 19, 29, …, que le hacen poseer la propiedad que estamos tratando. Parece que todos los semiprimos la poseerán, pero dejamos esta posibilidad para quien desee estudiarla.

En los comentarios a esa sucesión se hace notar que un múltiplo de 10 sólo pertenecería a ella si el primo N/10 es simétrico de un esfénico. Esto nos abre una puerta a otros casos.

Primos simétricos de esfénicos

Podemos cambiar la exigencia de que el número sea esfénico por el de que sea primo. Sería un pequeño cambio fácil de realizar, y seguiríamos sin contar con los capicúas. El resultado sería:

Están publicados en https://oeis.org/A271799

Por ejemplo, si 269 lo multiplicamos por 10, lo convertiremos en esfénico, y su simétrico, 0962=962, también lo sería.

Ya puestos a buscar casos, podríamos emparejar semiprimos con esfénicos.

 

Semiprimos simétricos de esfénicos

Como ejemplo de las búsquedas que se pueden desarrollar buscamos los números semiprimos que se convierten en esfénicos al invertir sus cifras. Un sencillo cambio de definición los consigue. El resultado es

No parecen estar publicadas las dos sucesiones.