Números esfénicos

Definición

Los números esfénicos (del griego sphen, “cuña”) son aquellos naturales que equivalen a un producto de tres números primos diferentes, como 42=2*3*7. Si los factores son distintos, el número será “libre de cuadrados” y su número de divisores (función TAU) será 8, porque se calcula multiplicando los exponentes de sus factores primos aumentados todos en una unidad. Así, TAU(42)=(1+1)(1+1)(1+1)=2*2*2=8.

Todos los números esfénicos tienen ocho divisores.

Así, los divisores de 42 son ocho: 42, 21, 14, 7, 6, 3, 2 y 1

La afirmación inversa no es cierta. Por ejemplo, 24 no es esfénico (24=2³*3) y tiene ocho divisores, pues TAU(24)=(3+1)(1+1)=8.

En muchos lenguajes de programación se define la función OMEGA como el total de factores primos distintos que posee un número, y BIGOMEGA, al mismo total si se cuentan los primos repetidos. Esto nos da un criterio para conocer si un número N es esfénico, y es que OMEGA(N)=3 y BIGOMEGA(N)=3. Así se “prohíbe” que se repitan primos. Lo expresamos en lenguaje PARI:

print(omega(42)==3&&bigomega(42)==3)

Si ingresas esta expresión en su página web https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html obtendrás un 1, que significa VERDADERO.

 

Si lo aplicas al 24 obtendrás un cero (FALSO).

Como este blog va de hoja de cálculo, podemos construir una función en VBASIC que determine, sin acudir a ninguna función, salvo ESPRIMO (la encuentras fácilmente en este blog), si un número es esfénico o no. Esta sería una función adecuada:

Public Function esfenico(n) As Boolean

Dim a, b, c, d, m

m = 0

a = 2

While a <= n / 2 And m = 0 ‘Busca un primo divisor de n

If esprimo(a) And n Mod a = 0 Then

b = n / a     ‘Cociente entre n y su divisor a

If Not esprimo(b) Then ‘Si el cociente b es compuesto, seguimos

c = a + 1 ‘Buscamos el segundo primo, que ha de ser distinto

While c <> a And c <= b / 2 And m = 0

If esprimo(c) And b Mod c = 0 Then

d = b / c ‘Si el cociente es primo, ya tenemos tres divisores

If esprimo(d) And d <> c And d <> a And a <> c Then m = 1 ‘Es esfénico, y m=1

End If

c = c + 1

Wend

End If

End If

a = a + 1

Wend

Si filtramos los primeros números naturales con esta función obtendremos el listado de los primeros esfénicos:

 

Observamos que todos son producto de tres primos (elevados a la unidad)

En forma de lista:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195,…

Coinciden con los publicados en http://oeis.org/A007304

Una curiosidad

Con nuestro programa Cartesius podemos encontrar los primeros esfénicos (http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/hoja/cartesius.xlsm)

Usaremos el siguiente código:

xtotal=3

xt=1..73

xt=filtro(primo)

es (x2-x1)*(x3-x2)>0

Explicamos su significado: Declara que combinaremos tres números, que irán desde 1 hasta 73 (el primo de Sheldon). En la tercera línea se filtran solo los primos, y en la siguiente se exige que sean distintos y crecientes.

A continuación, en la hoja Producto, especificamos que el resultado que deseamos debe ser el producto.

 

Una vez programado, pulsamos el botón de Iniciar o el de Reiterar y aparecerán los primeros 2660 esfénicos, pero desordenados:

En el mismo Excel podemos ordenar la lista, con lo que coincidirá con la que conocemos.

Esfénicos con otro carácter más

Estos números, además de esfénicos podrán ser otros tipos

Cuadrados no pueden ser, ni cubos ni ninguna potencia, por ser libres de cuadrados.

Triangulares

Un esfénico puede ser triangular, del tipo N(N+1)/2. Basta con que N y N+1 sean ambos semiprimos libres de cuadrados. Ya que los números consecutivos son primos entre sí, los factores primos de N y N+1 serán diferentes. Como uno de ellos es par, al dividir su producto entre 2 quedarán tres primos diferentes. Por ejemplo, T(14)=14*15/2=2*7*3*5/2=3*5*7=105, que es esfénico. No es la única posibilidad, pero demuestra que es posible.

Los primeros esfénicos triangulares son:

66, 78, 105, 190, 231, 406, 435, 465, 561, 595, 741, 861, 903, 946,…

Están publicados en http://oeis.org/A128896

Se pueden obtener en PARI de esta forma:

esfetriang(n)={omega(n)==3&&bigomega(n)==3&&issquare(8*n+1)}

for(i=2,1000,if(esfetriang(i),print(i)))

Hay que recordar que el criterio para saber si N es triangular es que sea un cuadrado la expresión 8N+1

Oblongos

Existen oblongos, tipo N(N+1) que son esfénicos. Basta con que se cumpla que el que sea par entre ellos dos, N y N+1, sea semiprimo libre de cuadrados, y que el otro sea primo. Por ejemplo, 22*23=2*11*23.

Si en el código PARI anterior sustituimos 8*n+1 por 4*n+1 estaremos exigiendo que el número sea oblongo.

Estos son los primeros oblongos esfénicos:

En todos ellos, N o N+1 es primo, tal como razonamos más arriba.

Esfénicos “arolmar”

Nuestros números AROLMAR (http://oeis.org/A187073) son libres de cuadrados y el promedio de sus divisores primos es también primo. Nada se opone a que sean además esfénicos, si tienen tres divisores primos. Los primeros son estos

105, 195, 231, 465, 483, 609, 627, 645, 663, 861, 897, 915, 935, 969, 987, 1185, 1221, 1239, 1265, 1419, 1545, 1581, 1599, 1653, 1729, 1743, 1887

Por ejemplo, 1419=3*11*43 y (3+11+43)/3=19, que es primo.

Con PARI

sopf(n)= {my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); s }

is(n)=bigomega(n)==3&&omega(n)==3&&sopf(n)%3==0&&isprime(sopf(n)/3)

for(i=2,2000,if(is(i),print(i)))

Exige que OMEGA Y BIGOMEGA valgan 3, que el promedio de los primos sea entero y que sea primo.

El resultado es:

 

Esfénicos con factores consecutivos

Los factores de un esfénico pueden ser primos consecutivos. Es muy fácil encontrarlos, pues basta realizar un listado con

prime(k)*prime(k+1)*prime(k+2)

Estos serían los primeros:

Si los tres primos forman progresión aritmética, serán también de tipo AROLMAR.

 

Esfénicos consecutivos

En alguna publicación sobre esfénicos se destacan aquellos que son consecutivos, y se da como primer ejemplo el par 230 = 2*5*23 y 231 = 3*7*11 y como ejemplo de tres consecutivos la terna 1309 = 7*11*17, 1310 = 2*5*131, y 1311 = 3*19*23. También se razona que no puede haber cuatro, porque uno de ellos sería múltiplo de 4=2*2, con lo que no sería libre de cuadrados.

Con nuestra función ESFENICO se pueden completar estas búsquedas. Damos el resultado e invitamos a reproducirlo:

Dos esfénicos consecutivos:

En la tabla figuran los dos consecutivos y sus descomposiciones en tres primos (hay que recordar que los 1 que figuran son exponentes. Si no tuvieran ese valor no serían libres de cuadrados).

Tres esfénicos consecutivos

Los primeros son estos:

Un reto es prolongar estas dos tablas según lo aprendido en párrafos anteriores.