Repitunos y progresiones geométricas

Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:

31=1+2+4+8+16
31=1+5+25

Estas igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno” en las bases 2 y 5:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Ya he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.

Equivalencia de sumas de primeras potencias

Este tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:

Function essumapot$(n) ‘Función string

Dim tope, i, k, m, r

Dim s$

 

tope = Int((Sqr(4 * n - 3) - 1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2

r = 0 ‘Número de soluciones

For i = 2 To tope ‘Posibles bases de potencias

k = 1 ‘Primer exponente a probar

m = 1 + I ‘Primera suma de potencias

Do Until m > n

k = k + 1 ‘Siguiente exponente

m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente suma

If m = n Then s = s + " # " + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay una solución

Loop

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución

essumapot = s

End Function

 

Con esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de cuántas formas. Los primeros detectados son estos:

Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.

Están publicados en  https://oeis.org/A053696

Todos son “números brasileños”, como puedes comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.

https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os

Lo que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un valor superior a 1.

Tal como se podía sospechar por anteriores trabajos sobre temas afines, sólo se encuentran dos soluciones, 31 y 8191, ambos primos de Mersenne (31=2^5-1 y 8191=2^13-1. No existen más entre los números menores de 2^44.

Puedes ampliar el tema en https://oeis.org/A119598

Progresiones geométricas múltiples

Estos dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo de cualquiera de ellos dos.

Por ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya sabemos:

403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208

403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325

Hemos expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:

Existen infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de progresiones geométricas con el mismo término inicial.

 
Coincidencia de dos progresiones en general

Si eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar, esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9

Function pg$(n) 'Es suma de una o más progresiones geométricas

Dim i, j, a, s

Dim ss$

 

ss = "" ‘Contenedor de soluciones

For i = 2 To 9 ‘Razón de la progresión

j = 1

s = 1 ‘Inicios

While j < 10 And s <= n

s = s + i ^ j ‘Se suma la progresión

a = n / s ‘Posible inicio de la progresión

If a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + " sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"

j = j + 1 ‘Número de sumandos

Wend

Next i

pg = ss

End Function

Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:

1001 ## 3 sumandos  2 razón  143 Inicio## 3 sumandos  3 razón  77 Inicio## 3 sumandos  9 razón  11 Inicio

En efecto:

1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81

Es claro que cambia el término inicial en cada suma.