Existen números, como el 31, que equivalen simultáneamente a dos o más sumas distintas de las primeras potencias de un número natural. En este caso son:
31=1+2+4+8+16
31=1+5+25
Estas
igualdades se pueden interpretar como que 31 tiene como expresión un “repituno”
en las bases 2 y 5:
31(10
= 11111(2 = 111(5
Ya
he usado estos números en entradas antiguas, pero hoy buscaremos los que, como
el 31, presentan esta propiedad en dos o más bases distintas.
Equivalencia
de sumas de primeras potencias
Este
tema se puede tratar de forma algebraica, pero parece preferible la
algorítmica, porque además de descubrir qué números son de este tipo se pueden
contar las sumas a las que equivalen. Usaré esta función:
Function essumapot$(n) ‘Función
string
Dim tope, i, k, m, r
Dim
s$
tope = Int((Sqr(4 * n - 3) -
1) / 2) ‘Este tope se basa en el caso a=2
r = 0 ‘Número
de soluciones
For i = 2 To tope ‘Posibles
bases de potencias
k = 1 ‘Primer
exponente a probar
m = 1 + I ‘Primera
suma de potencias
Do Until m > n
k = k + 1 ‘Siguiente
exponente
m = m + potencia(i, k) ‘Siguiente
suma
If m = n Then s = s + " #
" + ajusta(i) + ", " + ajusta(k): r = r + 1 ‘Hay
una solución
Loop
Next
i
If
s <> "" Then s = ajusta(r) + " ## " + s ‘Se construye la solución
essumapot = s
End Function
Con
esta función se determina qué números son “repitunos” en alguna base y de
cuántas formas. Los primeros detectados son estos:
Se observa que el 31 es suma de potencias de 2 hasta la cuarta y del 5 hasta el cuadrado, como ya sabíamos. La inclusión del número de soluciones al principio nos facilitará las búsquedas.
Están
publicados en https://oeis.org/A053696
Todos son “números brasileños”, como puedes
comprobar en la entrada de este blog dedicada a esos números.
https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=brasile%C3%B1os
Lo
que nos interesa aquí es la existencia de soluciones múltiples, como en el caso
del 31. Bastará buscar las soluciones en las que el primer carácter tenga un
valor superior a 1.
Puedes
ampliar el tema en https://oeis.org/A119598
Progresiones
geométricas múltiples
Estos
dos números, 31 y 8191 pueden sea base para encontrar los primeros elementos de
progresiones geométricas con el mismo término inicial. Basta elegir un múltiplo
de cualquiera de ellos dos.
Por
ejemplo, elegimos 31 por 13, es decir, 403. Tomamos 13 como término inicial de
una progresión geométrica, y desarrollamos 31 de dos formas distintas, como ya
sabemos:
403=13*31=13*(1+2+4+8+16)=13+26+52+104+208
403=13*31=13*(1+5+25)=13+65+325
Hemos
expresado el 403 como suma de dos progresiones geométricas. Podemos efectuar
idénticas operaciones con múltiplos de 8191. Por tanto:
Existen
infinitos números naturales que se pueden expresar como dos sumas distintas de
progresiones geométricas con el mismo término inicial.
Si
eliminamos la condición de igualdad del término inicial en las progresiones
geométricas, el problema sería totalmente distinto, con muchos más parámetros a
considerar. En mis cálculos diarios encuentro muchos casos de varias
progresiones geométricas que coinciden en su suma. Si quieres experimentar,
esta función detecta estas progresiones para razones entre 2 y 9
Function pg$(n) 'Es
suma de una o más progresiones geométricas
Dim
i, j, a, s
Dim
ss$
ss = "" ‘Contenedor
de soluciones
For i = 2 To 9 ‘Razón
de la progresión
j
= 1
s
= 1 ‘Inicios
While
j < 10 And s <= n
s = s + i ^ j ‘Se
suma la progresión
a = n / s ‘Posible
inicio de la progresión
If
a = Int(a) And j > 1 Then ss = ss + "##" + Str$(j + 1) + "
sumandos " + Str$(i) + " razón " + Str$(a) + " Inicio"
j = j + 1 ‘Número
de sumandos
Wend
Next
i
pg
= ss
End
Function
Con él se pueden detectar sumas múltiples para cualquier número, si es que existen. Por ejemplo, el número 1001 es suma de tres progresiones geométricas distintas:
1001 ## 3 sumandos
2 razón 143 Inicio## 3
sumandos 3 razón 77 Inicio## 3 sumandos 9 razón
11 Inicio
En
efecto:
1001=143+143*2+143*4
1001=77+77*3+77*9
1001=11+11*9+11*81
Es
claro que cambia el término inicial en cada suma.
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