Números triangulares impares

En una entrada de este blog se han estudiado los triangulares de orden par, en contraposición a los de impar, que resultan ser también hexagonales

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/09/triangulares-de-lado-par.html)

Era una entrada interesante, pero ahora nuestro interés no está en el orden (o lado), sino en la paridad del mismo triangular. En concreto estudiaremos los de carácter impar, que presentan curiosidades atractivas. Los primeros triangulares impares son 1, 3, 15, 21, 45, 55, … 

Están publicados en https://oeis.org/A014493. Aquí estudiaremos también otros aspectos de estos números que no están contemplados en esa sucesión.

Caracterización de estos números

Para descubrir si un número cualquiera es triangular impar bastará unir ambas exigencias. Un número N se caracteriza fácilmente como triangular con la condición de que 8N+1 sea cuadrado, y el ser impar con N MOD 2 = 1 (existen otras condiciones equivalentes).

Así en PARI podremos usar la función

es(n)=issquare(8*n+1)&&n%2==1

Con nuestras funciones para Excel, podría quedar

ES(N)=Y(ESCUAD(8*N+1);RESIDUO(M;2)=1)

Existen muchas variantes.

Nuestro Buscador de Naturales los encuentra fácilmente

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)

Han bastado las condiciones TRIANGULAR y NO PAR.

Distribución

Un número triangular N(N+1)/2 es impar cuando su factor N o el N+1 son pares del tipo 4k+2 o 4k-2, es decir, que son múltiplos de 2 pero no de 4, mientras el otro factor consecutivo será impar. Así, al dividir entre 2 el producto N(N+1) el resultado será impar, porque el producto poseerá el factor 2 sólo una vez, y se simplificará. Así ocurre con el 15, que proviene de 5*6/2, y como el 6 no es múltiplo de 4, se simplificará entre 2 quedando un impar: 5*3=15

Por conveniencia de comenzar en el 1, elegiremos 4k-2 como factor par, por lo que los triangulares impares se formarán con uno de estos dos productos:

(4k-2)(4k-1)/2=(2k-1)(4k-1)

(4k-2)(4k-3)/2=(2k-1)(4k-3)

Esto, en la práctica, produce un emparejamiento de dos triangulares impares, como son 1 con 3, 15 con 21 o 45 con 55. El orden del primer elemento será del tipo 4k-2 o 4k-3 (o bien, si se prefiere, 4m+1 o 4m+2)

Los triangulares impares se presentan en grupos de dos consecutivos, y comparten un mismo factor (el (4k-2)/2=2k-1). El orden del primero será 4k-3 y el del segundo 4k-2

Un ejemplo de lo anterior lo tenemos en el par de triangulares consecutivos 91 y 105, que comparten el factor 7: 91=7*13 y 105=7*15. El 7 proviene de 2k-1, siendo k el número de orden del par de triangulares, que en este caso sería 4, luego 7=2*4-1. El orden general del 91 será 4*4-3=13 y el del segundo, 105, 4*4-2=14

Si sumamos los dos elementos del par nos resulta un cuadrado, como ocurre en todos los triangulares, pero aquí le damos otra justificación:

(2k-1)(4k-1)+(2k-1)(4k-3)=(2k-1)(8k-4)=2²(2k-1)²=(4k-2)²

Así, tenemos que 1+3=4=2², 15+21=36=6², 45+55=100=10², 91+105=196=14²

Estudio algebraico

Seguimos llamando k al número de orden del par, y usaremos la variable n para el número de orden propio del triangular estudiado y N al orden general del triangular. De esta forma quedará esta identidad, que resume lo expuesto anteriormente:

T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ)                

Si k es el orden del par, n es el orden dentro de los triangulares impares y N el orden general como triangulares

En el primer elemento del par n=2k-1 y N=4k-3 y k=(n+1)/2

En el segundo elemento n=2k y N=4k-2 y k=n/2

Por ejemplo:

En el 45 k=3, n=2*3-1=5, N=4*3-3=9

En el 55 k=3, n=2*3=6, N=4*3-2=10

En el 91 k=4, n=2*4-1=7 y N=4*4-3=13

En el 105 k=4, n=2*4=8 y N=4*4-2=14

Partiendo de la igualdad T(n)=(2k-1)(4k-2+(-1)ⁿ) tendremos:

Si N es impar k=(n+1)/2

T(n)=(2*(n+1)/2 -1)(4(n+1)/2-3)=n(2n+2-3)=n*(2n-1)

Estos triangulares serán también hexagonales, pues la fórmula de estos es l(2l-1)

(ver mi publicación

https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf)

Si es par, k=n/2

SI N es par: T(n)=(n-1)(2n-2+1)=(n-1)*(2n-1)

Las dos expresiones de pueden unificar:

T(n)=(2n-1)(2n-1-(-1)ⁿ)/2

Esta expresión interna al conjunto de los triangulares impares nos permite sumar los primeros, por ejemplo. La he usado con mi función SUMAFUN para demostrar que el número 10425 es la suma de los 25 primeros:

 10425=sumafun(1;25;"(2*x-1)*(2*x-1-(-1)^x)/2")

 Triangulares pares

No estaría este estudio completo si no se confrontaran los triangulares impares con los pares. Con todo lo estudiado hasta ahora, es fácil de comprender que triangulares pares habrá de dos tipos, alrededor de un múltiplo de 4, condición para que no se simplifique el factor 2. Así que existirán dos tipos de triangulares pares:

T(k)=4k(4k+1)/2=2k(4k+1) El orden de este triangular será N=4k

T(k)=4k(4k-1)/2=2k(4k-1) Su orden será 4k-1 o tipo 4k+3

Así ya tenemos completos los triangulares, pues los de orden tipo 4k+1 y 4k+2 serán impares, y los de 4k y 4k+3, pares. Según lo visto anteriormente, la mitad de cada grupo corresponderá también a números hexagonales.