Formas de acceder a un par de primos gemelos

Uno de los conceptos más populares en Teoría de números es el de primos gemelos. Generalmente se consideran de ese tipo dos números primos impares que se diferencian en dos unidades, como (5, 7) o (17, 19). La forma más sencilla de llegar a ellos, a partir del  (5, 7), es buscar pares del tipo (6n-1, 6n+1), porque son los únicos en los que ambos elementos pueden ser primos, salvo (3, 5). En esta entrada buscaremos otras rutas en las que podemos encontrar esos pares de primos de forma más o menos casual.

Búsqueda directa con 6n-1 y 6n+1

Si deseamos encontrar primos gemelos en un rango dado, bastará recorrer los múltiplos de 6 y averiguar si sus números vecinos son ambos primos. Es algo muy sencillo, y si se incluye aquí es por comenzar con lo más directo. Con esta rutina en VBasic de Excel podemos encontrar los pares de primos gemelos incluidos en cualquier rango y en la primera hoja, si escribimos los extremos de ese rango en las celdas J1 y J2 respectivamente:

 

Sub gemelos()

Dim n, fila, a, b

Dim r$

 

a = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(1, 10).Value ‘Se lee el rango

b = ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(2, 10).Value

fila = 3 ‘Fila de inicio

n = a - a Mod 6+6 ‘Se busca un múltiplo de 6

Do While n <= b ‘Se avanza entre los múltiplos de 6

If esprimo(n - 1) And esprimo(n + 1) Then ‘Los números vecinos son primos

r = Str$(n - 1) + ", " + Str$(n + 1) ‘Se imprime una solución

fila = fila + 1 ‘Siguiente fila

ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 10).Value = r

End If

n = n + 6 ‘Siguiente múltiplo de 6 

Loop

End Sub

En la siguiente imagen podemos observar los pares de primos gemelos entre 3000000 y 3001000. El proceso es muy rápido, aunque el rango abarca mil números.

Con esto se da por terminado este tipo de búsqueda directa. Vemos otros caminos más enrevesados.

A través de un múltiplo de un primo

Existen muchas sucesiones en OEIS (Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros) en las que unos números primos, multiplicados por un múltiplo de 6 dan lugar a un par de primos gemelos. Es una búsqueda que relaciona tres números primos y algo más compleja que la anterior.

Por ejemplo, vemos los primeros pares engendrados por el número primo 13 y los múltiplos de 48*13:

Una variante sería usar una expresión sobre un número primo, como por ejemplo, todos los pares de números primos gemelos formados a partir de la expresión p³-p, donde p es un número primo. Cambiando un poco la rutina se consiguen:

Los valores de esos primos, 2, 11, 31, …están publicados en https://oeis.org/A158295

Podríamos inventar muchas variantes de este tipo, pero no aportarían mucho.

 

Mediante una concatenación

Aquí pasamos a otras curiosidades. Por ejemplo, comenzamos con un caso que ya está publicado, que consiste en concatenar 2n con 2n-1 y también 2n con 2n+1, y averiguar si ambas concatenaciones constituyen un par de primos gemelos. Como el proceso es rápido, no nos preocuparemos de que el número intermedio sea múltiplo de 6.

La siguiente sencilla función usa la concatenación de Excel, que consiste simplemente en el uso del signo “+” entre cadenas de texto:

Function concat_gem$(n)

Dim a, b

Dim s$

 

s = ""

‘Las siguientes líneas concatenan las expresiones numéricas en modo texto, para después volver a modo numérico con la función VAL. Esas líneas se cambiarán cuando se desee otra concatenación.

a = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n - 1))

b = Val(Str$(2 * n) + Str$(2 * n + 1))

If esprimo(a) And esprimo(b) Then s = Str$(a) + ", " + Str$(b) Else s = "NO" ‘ Si ambas concatenaciones producen primos gemelos, se comunica mediante la variable s.

concat_gem = s

End Function

 

Con esta función reproducimos la lista publicada en https://oeis.org/A102478

 

No abarcaríamos aquí las posibilidades de concatenaciones curiosas sobre este tema. La siguiente tabla recoge algunos primos gemelos de cinco cifras provenientes de concatenar un número consigo mismo:

 

Con ello los gemelos se forman con el número, su siguiente y su anterior.

Si usamos el lenguaje PARI podemos intentar este código para el mismo caso, fácilmente adaptable a otros:

concat_gem(n)=my(a,b,v=[0,0]);a=eval(concat(Str(n),Str(n-1)));b=eval(concat(Str(n),Str(n+1)));if(isprime(a)&&isprime(b),v=[a,b];print1(v));v

for(i=1,1000,if(concat_gem(i)<>[0,0],print(" ",i)))

Esta versión nos daría los primeros casos:

Por la forma de programarlo, el valor de N aparece al final.

Podemos seguir jugando. En los siguientes hemos concatenado N con su simétrico en cifras:

Con estos ejemplos se adivina que quedan muchas posibilidades por explorar en la concatenación, pero serían necesarias otras funciones sobre cifras.

 Intercalando funciones

Podemos buscar una forma de encontrar primos gemelos a partir de N, pero intercalando funciones. Por ejemplo, buscando SIGMA(N)±1:

Observamos que son abundantes los casos encontrados. Tienes más en https://oeis.org/A072282

Un caso curioso es aquel en el que N es primo, pues entonces SIGMA(N)=N+1, con lo que un posible primo gemelo es el mismo N, como podemos observar en la tabla con 5, 11, 17 y 29. Todos ellos tienen en común que SIGMA es múltiplo de 6.

Si exigimos que N no sea primo, nos quedan

Estos resultados figuran en https://oeis.org/A068017. Es fácil razonar que son aquellos casos en los que SIGMA(N) es múltiplo de 6. Como un valor de SIGMA puede ser compartido por varios números, es lógico que el par (71, 73) aparezca repetido.

 Objetivos dobles

Podríamos pretender encontrar un par de primos gemelos, pero que una expresión creada a partir de ellos también constituyera otro par de primos gemelos. Un ejemplo sería que n+1 y n-1 formaran par y también fueran gemelos n²+5 y n²+7, por ejemplo (buscamos en lo posible centrarnos en múltiplos de 6):

Con estos ejemplos nos podemos dar una idea de búsquedas diferentes que se pueden emprender en talleres de Matemáticas.