Hoy haremos un ejercicio de “dar vueltas” a un tema, técnica muy usada en los primeros tiempos de este blog y que hemos ido abandonando a lo largo de sus temporadas. Consiste en tomar un concepto y buscarle propiedades desde varios puntos de vista.
Hoy daremos vueltas a los números
que son el doble de un cuadrado, como 2, 8, 72 o 288. Su expresión es,
evidentemente, D(n)=2n2, donde los hemos representado con la D de
doble. Simultáneamente, son mitad de otro cuadrado, ya que 2n2=(2n)2/2,
lo que los convierte en el área de un triángulo isósceles de lado 2n, o de un
cuadrado de diagonal 2n.
Es una expresión muy simple, pero
que nos puede llevar a varios territorios muy diferentes entre sí.
Están publicados en http://oeis.org/A001105, y de esa página
extraeeremos algunas ideas.
Relación con números figurados
Es evidente que estos números son
también figurados (representables con una figura geométrica), como los
triangulares o pentagonales, pero especiales, no pertenecientes a la categoría
general de números poligonales. Simplemente están formados por dos cuadrados
adosados, tal como se ve en la siguiente imagen.
En la imagen se han usado los
triangulares T(4) y T(5) para formar el número 50=2*52=2(T(4)+T(5))=2(10+15)=50
Por tanto, además de ser dobles de
cuadrados, estos números son suma de dobles de triangulares, como era de
esperar. Al contrario, también son mitad de una suma de triangulares
consecutivos, según la figura siguiente:
Todo
doble de cuadrado es el promedio de dos números triangulares consecutivos:
2n2=(T(2n-1)+T(2n))/2=(2n(2n-1)+2n(2n+1)/4=2n*4n/4=2n2
Es decir D(n)=(T(2n-1)+T(2n))/2
Así: 2=(1+3)/2, 8=(6+10)/2,
18=(15+21)/2
Como los números triangulares,
multiplicados por 8 y aumentados en una unidad se convierten en cuadrados
(8T(n)+1=(2n+1)2), como ocurre, por ejemplo, en 8*15+1=121=112,
la propiedad anterior nos indica que si efectuamos la misma operación con los
dobles de cuadrados, resultará el promedio de dos cuadrados:
8D(n)+1=(8T(2n-1)+1+8T(2n)+1)/2=((4n-1)2+(4n+1)2)/2
Ejemplo: 8*D(4)+1=8*32+1=257
(152+172)/2=(225+289)/2=514/2=257
Si a un doble de cuadrado lo multiplicamos por 8 y le añadimos una unidad, resulta el promedio de dos cuadrados diferenciados en dos unidades.
La anterior operación desemboca en
un cuadrado más la unidad, ya que 8D(n)+1=16n2+1=(4n)2+1.
Así ha ocurrido en el ejemplo anterior.
El
cuadrado de un número múltiplo de 4 más la unidad es el promedio de dos
cuadrados m2 y (m+2)2.
Por ejemplo, 1024+1=1025=(312+332)/2
Con esto finalizamos la “vuelta” a este
tipo de números figurados y sus propiedades algebraicas.
Relación con sumas
D(n) es el resultado de sumar todas las particiones de 2n en exactamente dos partes(Wesley Ivan Hurt, Jun 01 2013).
Es sencillo demostrarlo, pues en
cada paréntesis de los siguientes figura una partición de 2n:
(1+2n-1)+(2+2n-2)+…(n+n)=n*2n=2n2=D(n)
La suma de enteros consecutivos entre D(n) y D(n+1)-1, ambos inclusive, es un cubo (Patrick J. McNab, Dec 24 2016).
En efecto, entre 8 y 32, por
ejemplo, esa suma es 8+9+10+11+…30+31, y es igual a 343=73. En
general:
Los primeros números consecutivos
suman un triangular, luego esa suma será igual a S=T(D(n+1)-1)-T(D(n)-1).
Desarrollando:
S=T(2(n+1)2-1)-T(2n2-1)=T(2n2+4n+1)-T(2n2-1)
que es igual a
S=(2n2+4n+1)*(2n2+4n+2)/2-(2n2-1)*(2n2)/2.
Le damos este dato a Wolfram Alfha
Vincenzo Librandi propone la
siguiente, en la que se mezcla a(n-1) con la variable n
a(n) = 4*n + a(n-1) - 2
No es difícil comprobarla con hoja
de cálculo. Basta crear una columna con los valores 1, 2, 3, …y comenzar con
a(1)=2, para después ir aplicando la relación hacia abajo:
Es preferible una recurrencia lineal homogénea, en la que a(n) depende de los términos anteriores sin implicar al número de orden. Muchos números figurados siguen una relación de recurrencia con los coeficientes 1, -3, 3, y en este caso es válida. Para demostrarlo hemos acudido a nuestra herramienta ecurecurre,xlsm, accesible desde la página
http://www.hojamat.es/sindecimales/otros.htm
En el listado sobre el blog que
contiene hay que buscar ecurecurre.xlsm
Con ella se comprueba que los
propuestos son los coeficientes válidos:
Para confirmarlo hemos acudido a otra de nuestras herramientas, la que estudia relaciones de recurrencia de segundo orden:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2
Al pedir la sucesión observamos que se reproduce la sucesión D(n):
Volvemos a acudir a Wolfram Alfha y
nos da la igualdad como verdadera.
Con nuestro Buscador de naturales
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)
es sencillo
crear la subsucesión de D(n) formadas por aquellos términos de base prima.
Está publicada en http://oeis.org/A079704
Los podemos representar como 2p2
En ellos, la falta de pautas en la
sucesión de primos hace inviables las recurrencias lineales, pero presentan
algunas curiosidades.
Funciones TAU, SIGMA y PHI
TAU (número de divisores) tiene le
valor de 6 en todos los términos, porque depende solo de los exponentes, y
según su fórmula, TAU(2p2)=(1+1)(1+2)=6
SIGMA (suma de divisores) posee un
desarrollo parecido: SIGMA(2p2)=(1+2)(1+p+p2)
Por ejemplo,
SIGMA(242)=SIGMA(2*112)=(1+2)(1+11+112)=3*133=399
PHI (cuenta coprimos con N y menores
que él), según también su fórmula usual, tendría en este caso la siguiente:
PHI(2p2)= 2p2(1-1/2)(1-1/p)=p(p-1)
En el caso de 98=2*72, se
cumplirá PHI(98)=7*6=42
Podríamos seguir: OMEGA(2p2)=2,
BIGOMEGA(2p2)=3, …
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