Como todos los años, damos la bienvenida al nuevo año 2022 mediante una colección de propiedades.
Primeras propiedades
El número 2022 se descompone como 2×3×337. Una buena forma
de iniciar sus propiedades es presentar su expresión con cifras simétricas:
2022=337×(3+3)
2022 se puede expresar mediante dos escalas de cifras crecientes:
Del 1 al 9: 2022=1×2×3×(4^5-678-9)
Del 1 al 11: 2022=(1+2)/3×(4+5+6)×(7+8)×9-(1+0+1+1)
Otras dos escalas de cifras para 2022:
Decreciente: 2022=9×(8+7)×(6+5+4)-3-2^1×0
Sube y baja: 2022=1×(2+3+4+5+67)×(8+9+8)-(7+6+5)/(4+3+2)-1
Desarrollos con una
cifra
Los desarrollos “monocifra” son clásicos en mis cálculos
sobre el nuevo año. Suelo publicar los más simples que consigo:
Cifra 1: 2022=(1111-111+11)(1+1)
Cifra 2: 2022=2222-222+22
Desarrollos de 2022 con las cifras 3, 4 y 5:
Cifra 3: 2022=(3^3)(3×3+3!^3)/3-3
Cifra 4: 2022=(4444-444+44)(4+4)/4/4
Cifra 5: 2022=(5+5/5)((55+5+5)×5+5!/(5+5))
2022 con las cifras 6 y 7:
Cifra 6: 2022=6×(6+66+6)×6-66-6!
Cifra 7: 2022=777+777+77×7-77+7-7/7
2022 con las cifras 8 y 9:
Cifra 8: 2022=88×(8+8+8)-88-(8+8)/8
Cifra 9: 2022=999+999+9+9+9-(9+9+9)/9
Propiedades respecto
a números de cierto tipo
2022 se puede formar con siete factoriales:
2022=(6!+5!+5!+4!+4!)×2!+3!
Los once primeros números primos, en su orden creciente,
generan 2022 con las operaciones adecuadas:
2022=2×3×(5×7!/(11+13+17+19)-23-29-31)
2022 es hipotenusa en la terna pitagórica (1050, 1728, 2022)
y cateto en esta otra (2022, 2696, 3370)
2022 posee siete divisores propios, que lo generan de varias
formas:
2022=(1011+1+337)×6/3-2-674
2022=1011+674+337-6+3+2+1
2022=(1011+1)(674+6)/(3+337)-2
2022, por tener un solo divisor primo par (el 2) y dos
impares (3 y 337) cumple que la suma de sus divisores pares es el doble que la
de los impares:
Pares: 2022+674+6+2=2704
Impares: 1011+337+3+1=1352=2704/2
Sumas notables
2022 es el total de sumas de dos sumandos del mismo tipo
(1):
Triangulares: 2022=T(3)+T(63)=3×4/2+63×64/2
Oblongos (1) : 2022=O(6)+O(44)=6×7+44×45
Oblongos(2) : 2022=O(21)+O(39)=21×22+39×40
2022 es el total de sumas de dos sumandos del mismo tipo
(2):
Capicúas: 2022=141+1881
Primos consecutivos: 2022=1009+1013
2022 es el resultado de dos sumas distintas de números
anagramáticos cada una:
2022=1002+1020
2022=1011+1011
Todo número es suma de a lo más cuatro cuadrados, y 2022
sólo necesita tres:
2022=2^2+13^2+43^2
2022=5^2+29^2+34^2
2022=7^2+23^2+38^2
2022=10^2+31^2+31^2
Hay más sumas.
Todo número es suma de a lo más tres números triangulares.
Es el caso de 2022:
2022=18×19/2+41×42/2+44×45/2
2022=24×25/2+41×42/2+41×42/2
2022=27×28/2+38×39/2+42×43/2
Todo número es suma de a lo más tres capicúas (Javier Cilleruelo).
En el caso de 2022 existen 18 posibilidades. Seleccionamos cuatro:
2022=9+11+2002
2022=33+878+1111
2022=989+44+989
2022=99+262+1661
Tres sumas algebraicas de potencias con exponentes
decrecientes generan 2022. Podían ser más.
2022=3^5+12^3+7^2+2^1
2022=4^5+10^3+3^2-11^1
2022=2^7+2^6+3^5+4^4+11^3
Cinco sumas de cinco cuadrados simétricos cada una tienen un
total de 2022:
2022=8^2+15^2+38^2+15^2+8^2
2022=12^2+25^2+22^2+25^2+12^2
2022=12^2+23^2+26^2+23^2+12^2
2022=15^2+28^2+2^2+28^2+15^2
2022=12^2+17^2+34^2+17^2+12^2
2022 no admite descomposición en suma de cubos positivos con
menos de cinco sumandos. Con cinco presenta una solución:
2022=3^3+3^3+5^3+8^3+11^3
2022 necesita cinco números de Fibonacci para ser total de
su suma. Hay dos posibilidades:
2022=F(2)+F(7)+F(9)+F(14)+F(17)=1+13+34+377+1597
2022=F(2)+F(7)+F(9)+F(16)+F(16)=1+13+34+987+987
2022 es suma de tres números pentagonales de dos formas
distintas:
2022=P(10)+P(22)+P(28)=145+715+1162
2022=P(12)+P(18)+P(30)=210+477+1335
2022 también es suma de tres números hexagonales:
2022=H(6)+H(18)+H(26)=66+630+1326
Tres sumas distintas de tres cubos enteros tienen un total
de 2022:
2022=(-472)^3+(-331)^3+(521)^3
2022=(-415)^3+(-355)^3+(488)^3
2022=(-37)^3+(-13)^3+(38)^3
2022 también equivale a dos sumas distintas de cuadrados con
diferencias simétricas en sus bases:
2022=(22-9)^2+22^2+(22+15)^2
2022=(26-15)^2+26^2+(26+9)^2
Diferencias 9 y 15.
Cifras de los números
notables
Les toca el turno ahora a los números importantes. Hoy con
las primeras cifras de π y “e”:
2022=314×(1+5)+92+6×5+3×5-8+9
2022=2718-(2+81)×8-28-4
Las primeras cifras del número áureo y las raíces cuadradas
de 2 y 3:
2022=1618+0+33×9+8×8-7+49-8+9
2022=1414+(213-5)×6/2-3-7+3+0-9
2022=1732+(-0!+5+0)(80-7)+5-6-8/8
Los números de plata y bronce también aportan sus primeras
cifras para formar el número 2022:
2022=2414-21-356+2×3-7×3
2022=3×30×27-7×56-37+7×3
Propiedades más
teóricas
2022 es un número de Smith de orden 3, porque la suma de sus
cifras es la tercera parte de la suma de las de sus factores primos:
Sus cifras: 2+0+2+2=6
Las de sus factores primos: 2+3+3+3+7=18, y 18/6=3
El 2022 y sus tres siguientes, 2023, 2924 y 2025, son números Harshad o de Niven, porque son
divisibles entre la suma de sus cifras:
2022/(2+0+2+2)=337
2023/(2+0+2+3)=289
(2024)/(2+0+2+4)=253
2025/(2+0+2+5)=225
El primo número 2022 es 17581, y le sumo o
le resto 2022 se convierte en otro primo:
17581+2022=19603, y 17581-2022=15559 son
ambos primos.
La expresión de 2022 en base de numeración
decimal está contenida en la de base 3:
2022(10 = 2202220(3
2022 es igual a la suma de su tres mayores
divisores propios 2022=1011+674+337
2022 concatena dos números pares
consecutivos:
2022 = 20//22 = 10×2//11×2
El cuadrado de 2022, 4088484, es el
simétrico en cifras del cuadrado del simétrico de 2022, pues 2202^2=4848804
2022 es una solución para z en la ecuación
diofántica x^2 + y^6 = z^2, pues se cumple que 1050^2+12^6=2022^2
La función PHI en 2022 tiene el valor de
672 y la función SIGMA 4056, y se cumple que PHI(2022)=PHI(SIGMA(2022)-2022),
es decir, 672=PHI(4056-2022)
(PHI número de coprimos con 2022 y menores
que él y SIGMA, suma de sus divisores)
2022 es un número interprimo, al ser promedio
de dos primos consecutivos: 2022=(2017+2027)/2
2022 es un número poligonal de 675 lados
con medida 3 y piramidal de 506 caras con el mismo lado 3.
2022 es el lado mayor del triángulo
heroniano
(2022, 1050, 1044)
Se llama así porque sus lados son enteros
y su área, 275184, también.
Esta es la representación de Zeckendorf
para 2022 (sumandos de Fibonacci):
2022=F(17)+F14)+F(9)+F(7)+F(2)=1597+377+34+13+1
Se necesitan cinco sumandos.
Final palindrómico
Esta suma palindrómica con total 2022 sólo
usa las cifras 7 y 8 de forma alterna:
2022=787+8×7×8+787
Cuatro capicúas que comienzan y terminan
con la cifra 9 forman sumas palindrómicas generadoras de 2022:
2022=939+4×9×4+939
2022=979+4×4×4+979
2022=989+44+989
2022=999+2×6×2+999
Esta suma palindrómica con total 2022 sólo
usa las cifras 7 y 8 de forma alterna:
2022=787+8×7×8+787
Con ella termina nuestra bienvenida al
nuevo año 2022
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