Números triangulares (2) Primeras propiedades y significados varios

Continuamos el tema de los números triangulares con propiedades sencillas y algún significado. No se tratarán de forma exhaustiva, sino que se elegirán las que mejor se adapten a las técnicas usadas en este blog.

Propiedades sencillas

 Los números triangulares terminan en 0, 1, 3, 5, 6 u 8.

Aquí tienes los desarrollos en todos los casos posibles según la última cifra:

1*2/2=1, 2*3/2=3, 3*4/2=6, 4*5/2=10, 5*6/2=15, 6*7/2=21, 7*8/2=28, 8*9/2=36, 9*10/2=45

Las terminaciones son las previstas.

 

La suma de Tn y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Lo vemos con la fórmula:

Ahora lo entenderemos mejor con una imagen:

 

Estos dos triangulares son consecutivos, uno de lado 4 y otro de lado 5, y adosados forman un cuadrado.

Inserción de paréntesis

Un número triangular, al ser también un número combinatorio, se puede interpretar como el número de formas de insertar un par de paréntesis entre varias letras. Por ejemplo, entre tres letras XYZ se pueden insertar así: (X)YZ (XY)Z (XYZ) X(Y)Z X(YZ) XY(Z), que son seis, al igual que el número triangular T(4)=4*3/2.

En general, si tenemos k letras, los paréntesis se pueden situar en k+1 huecos y como han de ir de dos en dos, serán combinaciones de k+1 objetos sobre 2. Son combinaciones porque los símbolos “(“ y “)” no se pueden intercambiar.

 

Relación con un cubo

Todo cubo equivale a la diferencia entre los cuadrados de dos triangulares consecutivos.

Por ejemplo, 8 es la diferencia entre 3^2 y 1^2, los primeros triangulares.

No es difícil demostrarlo. Aquí tienes el desarrollo:

T(n+1)²-T(n)²= (n+1)²(n+2)²/4-(n+1)²n²/4 = (n+1)²(4n+4)/4 = (n+1)³

  

Apretones de manos

Por ser un número combinatorio, los triangulares resuelven el problema del número de apretones de manos distintos que se pueden dar en una reunión. Si asisten N personas, se podrán dar la mano de  N(N-1)/2 formas, lo que equivale a T(n-1).

 

Equivalencias entre triangulares

 

T(a+b)=T(a)+T(b)+ab

Algebraicamente se deduce con facilidad:

 

En la imagen, el triángulo total equivale a T(7)=21, Los círculos rojos, T(3)=6, los verdes, T(4)=10, y los cuadrados, 3*4=12. Se cumple esta igualdad: T(3+4)=T(3)+T(4)+3*4

 

 

Triangular del producto

T(ab)=T(a)*T(b)+T(a-1)*T(b-1)

Lo demostramos algebraicamente:

Restamos los primeros productos y comprobamos que la diferencia coincide con el tercer producto:

T(ab)-T(a)*T(b)=ab*(ab+1)/2-a(a+1)/2*b(b+1)/2=(2a²b²+2ab-(a²+a)(b²+b))/4=(2a²b²+2ab-a²b²-a²b-ab²-ab)/2=(a²b²-a²b-ab²+ab)/4=ab(a-1)(b-1)/4=T(a-1)*T(b-1)

Por ejemplo:

T(3)=6, T(4)=10, T(3*4)=T(12)=12*13/2=78

T(3)*T(4)=6*10=60, T(3-1)=T(2)=3, T(4-1)=T(3)=6, luego 78=6*10+3*6=60+18=78.

 

Triangulares que son cuadrados

Hay triangulares, como 1 y 36, que son también cuadrados. Los primeros son:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881,… (http://oeis.org/A001110)

Puedes profundizar este concepto en mi entrada de blog

https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html

y en su siguiente.

En ellas se deducen varias recurrencias basadas en una ecuación de Pell. La más popular, que coincide con Wikipedia, es A(n)=34A(n-1)-A(n-2)+2. Con ella es fácil obtener todos los triangulares cuadrados a partir del o y el 1. Se puede construir con hoja de cálculo.

 

Suma de los primeros números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el enésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares.

 

Su expresión es:

 

Si escribimos un número triangular como (n²+n)/2, podemos separar la suma de triangulares en la mitad de la de los cuadrados y de los enteros. Para cada uno le aplicamos la fórmula correspondiente:

S(n)=(1²+2²+3²+4²+….n²+1+2+3+4+…n)/2=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(2n+1+3)/12=n(n+1)(n+2)/6

Es fácil ver que esta suma coincide con un número combinatorio:

 

Por ejemplo, 1+3+6+10+15+21=56, que es el número combinatorio de 8 sobre 3 (se puede comprobar en Excel con COMBINAT(8;3)

 

Límite de la suma de inversos

Otro resultado muy interesante es el de que la suma de los inversos

de los números triangulares tiende a 2. Si quieres desarrollarlo

basta que pienses que 1/3 = (2/2 - 2/3), 1/6 = (2/3 - 2/4) y así

sucesivamente. Desarrolla la suma y verás anularse términos.

 

Los triangulares en la suma de cubos

La suma de los n primeros cubos equivale al cuadrado del triangular de orden n

Es fácil demostrarlo por inducción. Se cumple en los primeros casos

1=1²

1+8=3²

1+8+27=6²

 Para completar la inducción a T(n)² le sumamos otro cubo y se convierte en T(n+1)². Esta equivalencia se puede comprobar con la calculadora Wiris:

 

En una tercera entrada completaremos las propiedades más básicas de los números triangulares.